FANDOM


Совокупность функций, действующих из множества в множество Edit

Множество $ a $совокупность функций (англ. set of functions, нем. Menge der Funktionen), действующих из множества $ b $ в множество $ c $, или кратко совокупность функций, если множество $ a $ состоит из упорядоченных троек множеств $ b,c $ и некоторого подмножества прямого произведения множеств $ b,c $ таких, что для любого элемента множества $ b $ существует единственный элемент множества $ c $ такой, что упорядоченная пара данного элемента множества $ b $ и данного элемента множества $ c $ принадлежит данному подмножеству прямого произведения множеств $ b,c $:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Phi(a,b,c,d)\\ \Phi(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists e \quad \begin{cases} e\subseteq \mathrm{CartProd}(\langle b,c \rangle)\\ d = \langle b,c,e \rangle\\ \forall f \quad f\in b \Rightarrow \Bigl( \ \exists g \quad g\in c \ \land \ \langle f,g \rangle \in e \ \land \ \bigl(\, \forall h \quad (h\in c \ \land \ \langle f,h \rangle \in e) \Rightarrow h = g \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(b,c) $.

Функция, действующая из множества в множество Edit

Множество $ a $функция (англ. function, нем. Funktion), действующая из множества $ b $ в множество $ c $, или кратко функция, если множество $ a $ является элементом совокупности функций, действующих из множества $ b $ в множество $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \mathrm{Function}(b,c) \Rightarrow a\in d $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Function}(b,c) $.

Связанные статьи Edit

Область определения функции;

Область допустимых значений функции;

График функции;

Значение функции;

Область значений функции.

Таким образом, функцию, действующую из множества $ b $ в множество $ c $, будем также называть функцией с областью определения $ b $ и областью допустимых значений $ c $ или кратко функцией.

Замечания Edit

Порой под функцией мы будем понимать график данной функции, подразумевая известными её область определения и область допустимых значений, и, следовательно, имея возможность однозначного построения функции (в первоначальном значении данного определения) по данным трём множествам.

Примеры Edit

Операция;

Отображение;

Функционал;

Оператор;

Кортеж;

Матрица;

Метрика;

Норма.

Постоянная функция со значением, действующая из множества Edit

Множество $ a $постоянная функция (англ. constant function, нем. konstante Funktion) со значением $ c $, действующая из множества $ b $, если множество $ a $ является функцией, действующей из множества $ b $ в единичное множество множества $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \{c\} \Rightarrow a\in \mathrm{Function}(b,d) $

Из теоремы о равенстве постоянных функций с одинаковыми значениями следует справедливость следующего обозначения для постоянной функции $ a $ со значением $ c $, действующей из множества $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}\bigl( b,\{c\} \bigr) $

Совокупность функций, действующих из координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества Edit

Множество $ a $совокупность функций (англ. set of functions, нем. Menge der Funktionen), действующих из координат кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $, если множество $ a $ состоит из функций, действующих из некоторой координаты кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в некоторую координату кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in a \Leftrightarrow \Biggl( \exists i \ \exists j \quad \Bigl( i\in e \ \land \ j\in e \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall k \ \forall l \quad \bigl( k = f(i) \ \land \ l = g(j) \bigr) \Rightarrow h\in \mathrm{Function}(k,l) \Bigr) \Biggr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup\limits_{\epsilon, \vartheta\in e} \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\vartheta) \bigr) $.

Совокупность кортежей функций, действующих из координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества Edit

Множество $ a $совокупность кортежей функций (англ. set of tuples of functions, нем. Menge der Tupeln der Funktionen), действующих из координат кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $, если множество $ a $ состоит из кортежей длины $ e $ элементов совокупности функций, действующих из координат кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $[1] таких, что для любого элемента элемента $ e $ множества-бесконечности $ d $[2] i-ая координата кортежа $ h $ является функцией, действующей из $ i $-й координаты кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в $ i $-ю координату кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in a \Leftrightarrow \Bigl( \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h) \Rightarrow \Chi(a,b,c,d,e,f,g,h) \Bigr)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \quad i = \bigcup\limits_{\epsilon, \vartheta\in e} \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\vartheta) \bigr) \Rightarrow h\in \mathrm{Function}(e,i)\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \quad i\in e \Rightarrow \Bigl( \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \bigl( (j = f(i) \ \land \ k = g(i)) \ \land \ l = h(i) \bigr) \Rightarrow l\in \mathrm{Function}(j,k) \Bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in e} $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный кортеж длины $ e $ элементов совокупности функций, действующих из координат кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $ кортежем $ h $
  2. для определённости назовём данный элемент элемента $ e $ множества-бесконечности $ d $ множеством $ i $

Кортеж функций, действующих из координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества Edit

Множество $ a $кортеж функций (англ. tuple of functions, нем. Tupel der Funktionen), действующих из координат кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $, если множество $ a $ является элементом совокупности кортежей функций, действующих из координат кортежа $ f $ длины $ e $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ g $ длины $ e $ элементов множества $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h = \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in e} \Rightarrow a\in h $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in e} $.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.