FANDOM


Умножение на множестве Edit

Множество $ a $умножение (англ. multiplication, нем. Multiplikation) на множестве $ c $ или кратко умножение, если множество $ a $ является интерпретацией символа операции $ \cdot $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \, \cdot_{\ b} $

Связанные определения Edit

Значение умножения от элементов множества $ b $произведение (англ. product, нем. Produkt) элементов множества $ b $.

Умножение вектора векторного пространства на скаляр Edit

Функция $ a $, действующая из прямого произведения $ n $ носителя $ e $ поля $ d $ и множества $ c $ в множество $ c $умножение (англ. multiplication, нем. Multiplikation) вектора векторного пространства $ b $ на скаляр или кратко умножение вектора на скаляр.

Связанные определения Edit

Значение умножения вектора векторного пространства $ b $ над полем $ d $ на скаляр — произведение (англ. product, нем. Produkt) вектора векторного пространства $ b $ на скаляр или кратко произведение вектора на скаляр.

Скалярное умножение векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов Edit

Функция $ a $, действующая из декартова квадрата $ r $ носителя $ b $ векторного пространства $ q $ в носитель $ d $ линейно упорядоченного поля $ c $скалярное (или внутреннее) умножение (англ. scalar multiplication, inner multiplication or dot multiplication, нем. Skalarmultiplikation, inneres Multiplikation oder Punktmultiplikation) векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $ p $ или кратко скалярное умножение векторов.

Связанные определения Edit

Значение скалярного умножения векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $ p $скалярное (или внутреннее) произведение ((англ. scalar product, inner product or dot product, нем. Skalarprodukt, inneres Produkt oder Punktprodukt) векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $ p $ или кратко скалярное произведение векторов.

Векторное умножение векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов Edit

Бинарная операция $ a $ на носителе $ b $ векторного пространства $ p $ со скалярным умножением векторов $ r $векторное умножение (англ. vector multiplication or cross multiplication, нем. Vectormultiplikation, Kreuzmultiplikation, vektorielles Multiplikation oder äußeres Multiplikation) векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов $ p $ или кратко векторное умножение векторов.

Связанные определения Edit

Значение векторного умножения векторов векторного пространства со скалярным и ваекторным умножением векторов $ p $векторное произведение ((англ. vector product or cross product, нем. Vectorprodukt, Kreuzprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt) векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов $ p $ или кратко векторное произведение векторов.

Совокупность упорядоченных пар строк и столбцов элементов множества Edit

Множество $ a $совокупность упорядоченных пар строк и столбцов (англ. set of ordered pairs of rows and columns, нем. Menge von geordneten Paaren von Zeilen und Spalten) элементов множества $ b $, если множество $ a $ состоит из элементов прямого произведения {совокупности функций, действующих из прямого произведения единичного множества некоторого элемента множества-бесконечности $ c $[1] и некоторого элемента множества-бесконечности $ c $[2] в множество $ b $}, и {совокупности функций, действующих из прямого произведения множества $ f $ и некоторого элемента множества-бесконечности $ c $[3]}:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \ \exists g \quad \bigl( (e\in c \ \land \ f\in c) \ \land \ g\in c \bigr) \ \land \ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \Bigr)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \ \forall i \ \forall j \ \forall k \ \forall l \ \forall m \ \forall n \quad \begin{cases} h = \{e\}\\ i = \{g\}\\ j = \mathrm{CartProd}(\langle h,f \rangle)\\ k = \mathrm{CartProd}(\langle f,i \rangle)\\ l = \mathrm{Function}(j,b)\\ m = \mathrm{Function}(k,b)\\ n = \mathrm{CartProd}(l,m)\\ \end{cases} \Rightarrow d\in n\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{OrdPairOfRowsAndColumns}(b) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный элемент множеством $ e $
  2. для определённости назовём данный элемент множеством $ f $
  3. для определённости назовём данный элемент множеством $ g $

Мультипликатор строк и столбцов элементов множества над стандартным полукольцом Edit

Функция $ a $, действующая из совокупности упорядоченных пар строк и столбцов $ i $ носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ в носитель $ c $ стандартного полукольца $ b $мультипликатор (англ. multiplier, нем. Multiplikator) строк и столбцов элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $, если для любых трёх натуральных чисел[1] значение функции $ a $ {произвольной функции, действующей из прямого произведения единичного множества натурального числа $ j $ и натурального числа $ k $[2]}, и {произвольной функции, действующей из прямого произведения натурального числа $ k $ и единичного множества натурального числа $ l $[3]}, определено индукцией по натуральному числу $ k $:

  1. если натуральное число $ k $ равно нулю, то значение функции $ a $ от функций $ m,n $ равно некоторому нейтральному элементу сложения на множестве $ c $;
  2. если натуральное число $ l $ является последователем некоторого натурального числа[4], то значение функции $ a $ от функций $ m,n $ равно сумме {значения функции $ a $ от {сужения функции $ m $ на прямое произведение единичного множества натурального числа $ j $ и натурального числа $ o $} и {сужения функции $ n $ на прямое произведение натурального числа $ o $ и единичного множества натурального числа $ l $}} и {произведения {значения функции $ m $ от натурального числа $ j $ и натурального числа $ o $} и {значения функции $ n $ от натурального числа $ o $ и натурального числа $ l $}}:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \bigl(\, (j\in \mathbb{N} \ \land \ k\in \mathbb{N}) \ \land \ l\in \mathbb{N} \,\bigr) \Rightarrow \bigl(\, \forall m \ \forall n \quad \Phi(a,\ldots,n) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,n) \,\bigr)\\ \\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \ \forall t \qquad \begin{cases} o = \{j\}\\ p = \{l\}\\ q = \mathrm{CartProd}(\langle o,k \rangle)\\ r = \mathrm{CartProd}(\langle k,p \rangle)\\ s = \mathrm{Function}(q,c)\\ t = \mathrm{Function}(r,c)\\ \end{cases} \Rightarrow (m\in s \ \land n\in t)\\ \\ \Chi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} k = \mathfrak{0} \Rightarrow \bigl(\, \exists o \quad o\in \mathrm{Neutral}(+_b) \ \land \ a(m,n) = o \,\bigr)\\ \exists o \quad \bigl(\, o\in \mathbb{N} \ \land \ k = \mathfrak{s}(o) \,\bigr) \Rightarrow \Psi(a,\ldots,o)\\ \end{cases}\\ \\ \Psi(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \qquad \begin{cases} p = \{j\}\\ q = \{l\}\\ r = \mathrm{CartProd}(\langle p,o \rangle)\\ s = \mathrm{CartProd}(\langle o,q \rangle)\\ \end{cases} \Rightarrow a(m,n) = +_b\Bigl( a\bigl( m\bigr|_r, n\bigr|_s \bigr), \cdot_b\bigl( m(j,o),n(o,l) \bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MultiplierOfRowsAndColumns}_b $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём одно из данных натуральных чисел натуральным числом $ j $, другое натуральное число - натуральным числом $ k $, оставшееся натуральное число - натуральным числом $ l $
  2. для определённости назовём данную функцию функцией $ m $
  3. для определённости назовём данную функцию функцией $ n $
  4. для определённости назовём данное натуральное число натуральным числом $ o $

Мультипликатор матриц элементов носителя стандартного полукольца Edit

Функция $ a $, действующая из совокупности упорядоченных пар согласованных матриц $ i $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ в совокупность всех матриц $ j $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $мультипликатор (англ. multiplier, нем. Multiplikator) матриц элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $, если для любых трёх натуральных чисел[1] значение функции $ a $ от {произвольной матрицы размера $ k $ на $ l $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $[2]} и {произвольной матрицы размера $ l $ на $ m $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $[3]} является матрицей размера $ k $ на $ m $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $[4] такой, что для любого натурального числа[5], который является элементом натурального числа $ k $, и для любого натурального числа[6], который является элементом натурального числа $ m $, значение матрицы $ p $ от натуральных чисел $ q,r $ является значением мультипликатора строк и столбцов элементов множества $ b $ над стандартным полукольцом $ b $ от {сужения матрицы $ n $ на прямое произведение единичного множества натурального числа $ q $ и натурального числа $ l $} и {сужения матрицы $ o $ на прямое произведение натурального числа $ l $ и единичного множества натурального числа $ r $}:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \ \forall l \ \forall m \quad \bigl(\, (k\in \mathbb{N} \ \land \ l\in \mathbb{N}) \ \land \ m\in \mathbb{N} \,\bigr) \Rightarrow \Bigl( \ \forall n \ \forall o \quad \bigl(\, n\in \mathrm{Matrix}_{\langle k,l \rangle}(c) \ \land \ o\in \mathrm{Matrix}_{\langle l,m \rangle}(c) \,\bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,o) \ \Bigr)\\ \\ \Phi(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad a(n,o) = p \Leftrightarrow \begin{cases} p\in \mathrm{Matrix}_{\langle k,m \rangle}(c)\\ \forall q \ \forall r \quad \bigl(\, (q\in \mathbb{N} \ \land \ r\in \mathbb{N}) \ \land \ (q\in k \ \land \ r\in m) \,\bigr) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,r) \end{cases}\\ \\ \Chi(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \ \forall t \ \forall u \ \forall v \ \forall w \qquad \begin{cases} s = \{q\}\\ t = \{r\}\\ u = \mathrm{CartProd}(\langle s,l \rangle)\\ v = \mathrm{CartProd}(\langle l,t \rangle)\\ w = \mathrm{MultiplierOfRowsAndColumns}_b\\ \end{cases} \Rightarrow p(q,r) = w\bigl( n\bigr|_u, o\bigr|_v \bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MultiplierOfMatrices}_b $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём одно из данных натуральных чисел натуральным числом $ k $, другое натуральное число - натуральным числом $ l $, оставшееся натуральное число - натуральным числом $ m $
  2. для определённости назовём данную матрицу элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ матрицей $ n $
  3. для определённости назовём данную матрицу элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ матрицей $ o $
  4. для определённости назовём данную матрицу размера $ k $ на $ m $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ матрицей $ p $
  5. для определённости назовём данное натуральное число натуральным числом $ q $
  6. для определённости назовём данное натуральное число натуральным числом $ r $

Умножение матриц над стандартным полукольцом Edit

Функция $ a $, действующая из прямого произведения $ o $ совокупности матриц $ l $ размера $ i $ на $ j $ и совокупности матриц $ m $ размера $ j $ на $ k $ в совокупность матриц $ n $ размера $ i $ на $ k $умножение (англ. multiplication, нем. Multiplikation) матриц размера $ i $ на $ j $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ на матрицы размера $ j $ на $ k $ элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ или кратко умножение матриц над стандартным полукольцом $ b $, если множество $ a $ является сужением мультипликатора матриц элементов носителя $ c $ стандартного полукольца $ b $ на прямое произведение $ o $ совокупностей матриц $ l,m $ элементов множества $ b $:

$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{MultiplierOfMatrices}_b \Rightarrow a = r\bigr|_q $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.