Сужение

Сужение функции на множество

• $a,b,c,d,e$ - множества,
• $e\subseteq c$ - подмножество множества,
• $b\in \mathrm {Function} (c,d)$ - функция.

Множество $a$ — сужение (англ. restriction, нем. Einschränkung) функции $b$ на множество $e$ или кратко сужение функции $b$, если множество $a$ является функцией, действующей из множества $e$ в множество $d$, причём график функции $a$ является подмножеством графика функции $b$:

$\Upsilon (a,b,c,d,e)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {Function} (e,d)\ \land \ {\bigl (}\ \forall g\ \forall h\quad (\,g=\mathrm {Graph} (a)\ \land \ h=\mathrm {Graph} (b)\,)\Rightarrow g\subseteq h\ {\bigr )}$

Обозначим $\Upsilon (a,b,c,d,e)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=b{\bigr |}_{e}$.

Сужение алгебраической структуры до сигнатуры

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$ - множества,
• $d=\mathrm {\Sigma } (e,f,g),j=\mathrm {\Sigma } (k,l,m)$ - сигнатуры,
• $e\subseteq k$ - подмножество алфавита отношений,
• $f\subseteq l$ - подмножество алфавита операций,
• $n=e\cup f$ - объединение алфавита отношений и алфавита операций,
• $g=m{\bigr |}_{n}$ - сужение функции местности,
• $a=\mathrm {AlgStruct} (b,c,d),h=\mathrm {AlgStruct} (b,i,j)$ - алгебраические структуры.

Алгебраическая структура $a$ — сужение (англ. restriction, нем. Einschränkung) алгебраической структуры $h$ до сигнатуры $d$, если алгебраическая структура $a$ удовлетворяет следующему условию: функция интерпретации $c$ сигнатуры $d$ на множестве $b$ равна сужению функции интерпретации $i$ сигнатуры $j$ на множестве $b$:

$\Upsilon (a,\ldots ,n)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ c=i{\bigr |}_{n}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,n)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=h{\bigr |}_{d}$.