Прямое произведение

Прямое произведение двух множеств

Первичное определение

• $a,b,c$ – множества.

Множество $a$ — прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt oder Mengenprodukt) множеств $b, c$, если множество $a$ состоит из пар элемента множества $b$ и элемента множества $c$:

$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad \bigl( e\in b \ \land \ f\in c \bigr) \ \land \ d = \{e,f\} \Bigr)$

Из теоремы об эквивалентности пары множеств и упорядоченной пары множеств следует справедливость следующего обозначения для прямого произведения множеств $b, c$:

$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(\{b,c\})$

Эквивалентное определение

• $a,b,c$ – множества.

Множество $a$ — прямое произведение (или декартово произведение) множеств $b, c$, если множество $a$ состоит из упорядоченных пар с первой координатой, которая является элементом множества $b$, и второй координатой, которая является элементом множества $c$:

$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad \bigl( e\in b \ \land \ f\in c \bigr) \ \land \ d = \langle e,f \rangle \Bigr)$

Из теоремы о существовании и единственности прямого произведения двух множеств следует справедливость следующего обозначения для прямого произведения множеств $b, c$:

$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(\langle b,c \rangle)$

Замечание

Всюду, где не будет оговорено, под прямым произведением множеств будем понимать эквивалентное определение.

Совокупность прямых произведений элементов двух множеств

• $a,b,c$ - множества.

Множество $a$ — совокупность прямых произведений (или совокупность декартовых произведений) (англ. set of cartesian products, нем. Menge der kartesische Produkten) элементов множеств $b, c$, если множество $a$ состоит из прямых произведений некоторого элемента множества $b$ и некоторого элемента множества $c$:

$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad e\in b \ \land \ f\in c \ \land \ d = \mathrm{CartProd}\bigl( \langle e,f \rangle \bigr) \Bigr)$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\{ \mathrm{CartProd}\bigl( \langle \epsilon,\iota \rangle \bigr) \Bigr\}_{\epsilon\in b \atop \iota\in c}$.

Прямое произведение координат двух кортежей элементов множеств

• $a,b,c,d,e,f,g$ - множества,
• $b = \mathrm{N}$ - множество-бесконечность,
• $c\in b$ - элемент множества бесконечности,
• $f\in \mathrm{Function}(c,d) \ \land \ g\in \mathrm{Function}(c,e)$ - кортеж элементов множества.

Множество $a$ — прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt) координат кортежа $f$ длины $c$ элементов множества $d$ и координат кортежа $g$ длины $c$ элементов множества $e$, если множество $a$ является кортежем длины $c$ элементов совокупности прямых произведений элементов {области значений кортежа $f$ длины $c$ элементов множества $d$} и {области значений кортежа $g$ длины $c$ элементов множества $e$} таким, что для любого элемента элемента $c$ множества-бесконечности $b$ $h$-ая координата кортежа $a$ является прямым произведением {$h$-й координаты кортежа $f$ длины $c$ элементов множества $d$} и {$h$-й координаты кортежа $g$ длины $c$ элементов множества $e$}:

$\begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \Rightarrow \Chi(a,b,c,d,e,f,g)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \ \forall i \quad \bigl( h = \mathrm{Range}(f) \ \land \ i = \mathrm{Range}(g) \bigr) \Rightarrow \Biggl( \forall j \quad j = \Bigl\{ \mathrm{CartProd}\bigl( \langle \epsilon,\iota \rangle \bigr) \Bigr\}_{\epsilon\in h \atop \iota\in i} \Rightarrow a\in \mathrm{Function}(c,j) \Biggr)\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in c \Rightarrow \Bigl( \forall i \ \forall j \ \forall k \quad \bigl( (i = f(h) \ \land \ j = g(h) ) \ \land \ k = a(h) \bigr) \Rightarrow k = \mathrm{CartProd}\bigl( \langle h,i \rangle \bigr) \Bigr)\\ \end{cases}$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle f(\epsilon),g(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in c}$.

Прямое произведение элементов множества

• $a,b,c,d,e$ - множества,
• $b = \mathrm{N}$ - множество-бесконечность,
• $c\in b$ - элемент множества бесконечности,
• $d\in \mathrm{Function}(c,e)$ - кортеж элементов множества.

Множество $a$ — прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt) координат кортежа $d$ длины $c$ элементов множества $e$ или кратко прямое произведение $c$ элементов множества $e$, если множество $a$ состоит из кортежей длины $c$ элементов {объединения элементов набора из $c$ элементов множества $e$, порождённого кортежем $d$}, которые удовлетворяют следующему условию: для любого элемента множества-бесконечности такого, что множество $i$ является элементом множества $c$, $i$-я координата данного кортежа принадлежит $i$-й координате кортежа $d$:

$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall f \quad f\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall g \ \forall h \quad \Bigl(\, g = \{ d(\alpha) \}_{\alpha\in c} \ \land \ h = \bigcup g \,\Bigr) \Rightarrow \Bigl(\, f\in \mathrm{Function}(c,h) \ \land \ \bigl(\forall i \quad (i\in b \ \land \ i\in c) \Rightarrow f(i)\in d(i)\bigr) \,\Bigr) \ \Bigr)$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(d)$.

Декартова степень множества

• $a,b,c,d$ - множества,
• $b = \mathrm{N}$ - множество-бесконечность,
• $c\in b$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $a$ — $c$-я декартова степень (англ. $c$-th cartesian power, нем. $c$-te kartesische Potenz oder $c$-te Mengenpotenz) множества $d$, если множество $a$ является совокупностью функций, действующих из элемента $c$ множества-бесконечности $b$ в множество $d$:

$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(c,d)$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartPower}^c(d)$.

Связанные статьи

Декарт, Рене.