FANDOM


Прямое произведение двух множеств Edit

Первичное определение Edit

Множество $ a $прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt oder Mengenprodukt) множеств $ b,c $, если множество $ a $ состоит из пар элемента множества $ b $ и элемента множества $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad \bigl( e\in b \ \land \ f\in c \bigr) \ \land \ d = \{e,f\} \Bigr) $

Из теоремы об эквивалентности пары множеств и упорядоченной пары множеств следует справедливость следующего обозначения для прямого произведения множеств $ b,c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(\{b,c\}) $

Эквивалентное определение Edit

Множество $ a $прямое произведение (или декартово произведение) множеств $ b,c $, если множество $ a $ состоит из упорядоченных пар с первой координатой, которая является элементом множества $ b $, и второй координатой, которая является элементом множества $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad \bigl( e\in b \ \land \ f\in c \bigr) \ \land \ d = \langle e,f \rangle \Bigr) $

Из теоремы о существовании и единственности прямого произведения двух множеств следует справедливость следующего обозначения для прямого произведения множеств $ b,c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(\langle b,c \rangle) $

Замечание Edit

Всюду, где не будет оговорено, под прямым произведением множеств будем понимать эквивалентное определение.

Совокупность прямых произведений элементов двух множеств Edit

Множество $ a $совокупность прямых произведений (или совокупность декартовых произведений) (англ. set of cartesian products, нем. Menge der kartesische Produkten) элементов множеств $ b,c $, если множество $ a $ состоит из прямых произведений некоторого элемента множества $ b $ и некоторого элемента множества $ c $:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad e\in b \ \land \ f\in c \ \land \ d = \mathrm{CartProd}\bigl( \langle e,f \rangle \bigr) \Bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\{ \mathrm{CartProd}\bigl( \langle \epsilon,\iota \rangle \bigr) \Bigr\}_{\epsilon\in b \atop \iota\in c} $.

Прямое произведение координат двух кортежей элементов множеств Edit

Множество $ a $прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt) координат кортежа $ f $ длины $ c $ элементов множества $ d $ и координат кортежа $ g $ длины $ c $ элементов множества $ e $, если множество $ a $ является кортежем длины $ c $ элементов совокупности прямых произведений элементов {области значений кортежа $ f $ длины $ c $ элементов множества $ d $} и {области значений кортежа $ g $ длины $ c $ элементов множества $ e $} таким, что для любого элемента элемента $ c $ множества-бесконечности $ b $[1] $ h $-ая координата кортежа $ a $ является прямым произведением {$ h $-й координаты кортежа $ f $ длины $ c $ элементов множества $ d $} и {$ h $-й координаты кортежа $ g $ длины $ c $ элементов множества $ e $}:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \Rightarrow \Chi(a,b,c,d,e,f,g)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \ \forall i \quad \bigl( h = \mathrm{Range}(f) \ \land \ i = \mathrm{Range}(g) \bigr) \Rightarrow \Biggl( \forall j \quad j = \Bigl\{ \mathrm{CartProd}\bigl( \langle \epsilon,\iota \rangle \bigr) \Bigr\}_{\epsilon\in h \atop \iota\in i} \Rightarrow a\in \mathrm{Function}(c,j) \Biggr)\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in c \Rightarrow \Bigl( \forall i \ \forall j \ \forall k \quad \bigl( (i = f(h) \ \land \ j = g(h) ) \ \land \ k = a(h) \bigr) \Rightarrow k = \mathrm{CartProd}\bigl( \langle h,i \rangle \bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle f(\epsilon),g(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in c} $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный элемент элемента $ c $ множества-бесконечности $ b $ множеством $ h $

Прямое произведение элементов множества Edit

Множество $ a $прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt) координат кортежа $ d $ длины $ c $ элементов множества $ e $ или кратко прямое произведение $ c $ элементов множества $ e $, если множество $ a $ состоит из кортежей длины $ c $ элементов {объединения элементов набора из $ c $ элементов множества $ e $, порождённого кортежем $ d $}, которые удовлетворяют следующему условию: для любого элемента множества-бесконечности[1] такого, что множество $ i $ является элементом множества $ c $, $ i $-я координата данного кортежа принадлежит $ i $-й координате кортежа $ d $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall f \quad f\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall g \ \forall h \quad \Bigl(\, g = \{ d(\alpha) \}_{\alpha\in c} \ \land \ h = \bigcup g \,\Bigr) \Rightarrow \Bigl(\, f\in \mathrm{Function}(c,h) \ \land \ \bigl(\forall i \quad (i\in b \ \land \ i\in c) \Rightarrow f(i)\in d(i)\bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(d) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный элемент множества-бесконечности множеством $ i $

Декартова степень множества Edit

Множество $ a $$ c $-я декартова степень (англ. $ c $-th cartesian power, нем. $ c $-te kartesische Potenz oder $ c $-te Mengenpotenz) множества $ d $, если множество $ a $ является совокупностью функций, действующих из элемента $ c $ множества-бесконечности $ b $ в множество $ d $:

$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(c,d) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartPower}^c(d) $.

Связанные статьи Edit

Декарт, Рене.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.