Подпространство

Подпространство векторного пространства, порождённое множеством

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$ - множества,
• $g=\mathrm {\Sigma } (h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i\ \land \ j(k)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ l\in i\ \land \ j(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $d=\mathrm {AlgStruct} (e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm {Field} (e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(c)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle e,c\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,c)$ - функция,
• $b=\langle c,d,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b=\mathrm {VectorSpace} (c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $p\subseteq c$ - подмножество носителя,
• $q\in \mathrm {Op} ^{2}(p)$ - бинарная операция,
• $s=\mathrm {CartProd} (\langle e,p\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $r\in \mathrm {Function} (s,p)$ - функция,
• $a=\langle p,d,q,r\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств.

Упорядоченная четвёрка $a$ множеств — подпространство (англ. subspace, нем. Unterraum oder Teilraum) векторного пространства $b$, порождённое множеством $p$, если выполнены следующие условия:

1. операция $q$ является сужением операции $m$ на декартов квадрат множества $p$;
2. функция $r$ является сужением функции $n$ на множество $s$:

$\Upsilon (a,\ldots ,s)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}\forall t\quad t=\mathrm {CartProd} ^{2}(p)\Rightarrow q=m{\bigr |}_{t}\\r=n{\bigr |}_{s}\\\end{cases}}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,s)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {Subspace} _{b}(p,d;q,s)$.

Связанные статьи

Линейная оболочка;

Теорема о свойствах подпространства векторного пространства, порождённого множеством.