Отношение порядка

Совокупность отношений порядка на множестве

• $a, b$ - множества.

Множество $a$ — совокупность отношений порядка (англ. set of order relations, нем. Menge der Ordnung Relationen) на множестве $b$, если произвольное бинарное отношение на множестве $b$ принадлежит множеству $a$ тогда и только тогда, когда бинарное отношение $c$ является рефлексивным отношением на множестве $b$, антисимметричным отношением на множестве $b$ и транзитивным отношением на множестве $b$:

$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \bigl( \, c\in \mathrm{ReflexRel}(b) \ \land \ c\in \mathrm{AntisymRel}(b) \ \land \ c\in \mathrm{TransitRel}(b) \, \bigr) \ \Bigr)$

Обозначим $\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{OrdRel}(b)$.

Отношение порядка на множестве

• $a, b$ - множества.

Множество $a$ — отношение порядка (англ. order relation, нем. Ordnung Relation) на множестве $b$, если множество $a$ является элементом совокупности отношений порядка на множестве $b$:

$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{OrdRel}(b) \Rightarrow a\in c$

Обозначим $\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{OrdRel}(b)$.