Отношение линейного порядка

Совокупность отношений линейного порядка на множестве

• $a, b$ - множества.

Множество $a$ — совокупность отношений линейного порядка (или совокупность отношений полного порядка) (англ. set of linear order relations or set of total order relations, set of simple order relations, set of non-strict ordering relations, нем. Menge der lineare Ordnung Relationen oder Menge der totale Ordnung Relationen, Menge der Anordnung Relationen) на множестве $b$, если произвольное бинарное отношение на множестве $b$ принадлежит множеству $a$ тогда и только тогда, когда бинарное отношение $c$ является полным отношением на множестве $b$ и отношением порядка на множестве $b$:

$\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall c\quad c\in \mathrm {Rel} ^{2}(b)\Rightarrow {\Bigl (}\ c\in a\Leftrightarrow {\bigl (}\,c\in \mathrm {TotalRel} (b)\ \land \ c\in \mathrm {OrdRel} (b)\,{\bigr )}\ {\Bigr )}$

Обозначим $\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {LinOrdRel} (b)$.

Отношение линейного порядка на множестве

• $a, b$ - множества.

Множество $a$ — отношение линейного порядка (или отношение полного порядка) (англ. linear order relation or total order relation, simple order relation, non-strict ordering relation, нем. lineare Ordnung Relation oder totale Ordnung Relation, Anordnung Relation) на множестве $b$, если множество $a$ является элементом совокупности отношений линейного порядка на множестве $b$:

$\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall c\quad c=\mathrm {LinOrdRel} (b)\Rightarrow a\in c$

Обозначим $\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {LinOrdRel} (b)$.