Отношение

Совокупность отношений на множестве

• $a,b,c,d$ – множества,
• $c = \mathrm{N}$ - множество-бесконечность,
• $d\in c$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $a$ — совокупность $d$-местных отношений (или совокупность $d$-арных отношений) (англ. set of $d$-place relations or set of $d$-ary relations, нем. Menge der $d$-stellige Relationen oder Menge der $d$-äre Relationen) на множестве $b$, если множество $a$ является множеством-степенью $d$-ой декартовой степени множества $b$:

$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{CartPower}^d(b) \Rightarrow a = \mathrm{PowerSet}(e)$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Rel}^d(b)$.

Отношение на множестве

• $a,b,c,d$ – множества,
• $c = \mathrm{N}$ - множество-бесконечность,
• $d\in c$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $a$ — $d$-местное отношение (или $d$-арное отношение) (англ. $d$-place relation or $d$-ary relation, нем. $d$-stellige Relation oder $d$-äre Relation) на множестве $b$, если множество $a$ является элементом совокупности $d$-местных отношений на множестве $b$:

$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{Rel}^d(b) \Rightarrow a\in e$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Rel}^d(b)$.

Связанные определения

Местность отношения.

Таким образом, $d$-местное отношение на множестве $b$ будем также называть отношение на множестве $b$ с местностью $d$.

Примеры

Отношение на множестве $b$ местности $0_\mathrm{N}$ — пустое отношение (англ. empty relation, нем. leere Relation) множества $b$ или кратко пустое отношение.

Отношение на множестве $b$ местности $1_\mathrm{N}$ — одноместное (или унарное) отношение (англ. unary relation, нем. unäre Relation) на множестве $b$ или кратко одноместное отношение.

Отношение на множестве $b$ местности $2_\mathrm{N}$ — двухместное (или бинарное) отношение (англ. binary relation, нем. binäre Relation) на множестве $b$ или кратко двухместное отношение.

Отношение на множестве $b$ местности $3_\mathrm{N}$ — трёхместное (или тернарное) отношение (англ. ternary relation, нем. ternäre Relation) на множестве $b$ или кратко трёхместное отношение.

Совокупность всех отношений на множестве

• $a,b,c$ – множества,
• $c = \mathrm{N}$ - множество-бесконечность.

Множество $a$ — совокупность всех отношений (англ. set of relations, нем. Menge der Relationen) на множестве $b$, если множество $a$ состоит из отношений на множестве $b$ некоторой местности:

$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \bigr( \exists e \quad e\in c \ \land \ d\in\mathrm{Rel}^e(b) \bigr)$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Rel}(b)$.

Связанные статьи

Рефлексивное отношение;

Иррефлексивное отношение;

Симметричное отношение;

Асимметричное отношение;

Антисимметричное отношение;

Транзитивное отношение;

Полное отношение;

Отношение эквивалентности;

Отношение порядка;

Отношение строгого порядка;

Отношение линейного порядка;

Теорема о существовании совокупности отношений на множестве;

Теорема о существовании совокупности всех отношений на множестве.