Операция взятия модуля

Операция взятия модуля на множестве

• $a,b,c,d,e,f,g,h$ - множества,
• $e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$ - сигнатура,
• $b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$ - алгебраическая структура,
• $\left|\circ\right|\in g$ - символ операции.

Множество $a$ — операция взятия модуля (англ. operation of taking the module, нем. Operation des Nehmens des Moduls) на множестве $c$ или кратко операция взятия модуля, если множество $a$ является интерпретацией символа операции $\left|\circ\right|$:

$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \left|\circ\right|_b$

Связанные определения

Значение операции взятия модуля от элементов множества $c$ — модуль (англ. module, нем. Modul) элементов множества $c$.

Операция взятия модуля в стандартной линейно упорядоченной аддитивной группе

• $a,b,c,d,e,f,g,h$ - множества,
• $e = \langle f,g,h \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$ - сигнатура,
• $\langle \in f \ \land \ h(\langle) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
• $\left|\circ\right| \in g \ \land \ h(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$ - символ унарной операции,
• $+ \in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарной операции,
• $b = \langle c,d,e \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$ - алгебраическая структура,
• $b \in \mathrm{LinOrdGroup}(c;i,j)$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
• $a = \left|\circ\right|_b$ - операция взятия модуля.

Операция взятия модуля $a$ на носителе $c$ стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $b$ — операция взятия модуля (англ. module operation, нем. Module Operationen) в стандартной линейно упорядоченной аддитивной группе $b$ или кратко операция взятия модуля, если для любого элемента носителя $c$ стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $b$ если упорядоченная пара {ноля стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $b$} и множества $i$ принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $\leqslant$ на множестве $c$, то значение операции $a$ от множества $i$ равно множеству $i$ или если упорядоченная пара множества $i$ и {ноля стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $b$} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $\leqslant$ на множестве $c$, то значение операции $a$ от множества $i$ является инверсией множества $i$ относительно сложения на множестве $c$ и ноля стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $b$:

$\Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \ \forall j \quad \bigl( (i\in c \ \land \ j \in c) \ \land \ j = \mathrm{Neutral}(+_b) \bigr) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \langle j,i \rangle \in \leqslant_b \Rightarrow a(i) = i\\ \langle i,j \rangle \in \leqslant_b \Rightarrow a(i) \in \mathrm{Inversion}_{+_b}^j(i)\\ \end{array} \right.$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \left|\circ\right|_{+_b}^{\leqslant_b}$ или кратко $\Upsilon(a,\ldots,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \left|\circ\right|_b$.