FANDOM


Совокупность операций на множестве Edit

Множество $ a $совокупность $ d $-местных операций (или совокупность $ d $-арных операций) (англ. set of $ d $-place operations or set of $ d $-ary operations, нем. Menge der $ d $-stellige Operationen oder Menge der $ d $-äre Operationen) на множестве $ b $, если множество $ a $ состоит из функций, действующими из $ d $-ой декартовой степени множества $ b $ в множество $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall f \quad f = \mathrm{CartPower}^d(b) \Rightarrow e\in \mathrm{Function}(f,b) \bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Op}^d(b) $.


Операция на множестве Edit

Множество $ a $$ d $-местная операция (или $ d $-арная операция) (англ. $ d $-place operation or $ d $-ary operation, нем. $ d $-stellige Operation oder $ d $-äre Operation) на множестве $ b $, если множество $ a $ является элементом совокупности $ d $-местных операций на множестве $ b $:

$ \Upsilon(a, b, c, d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{Op}^d(b) \Rightarrow a\in e $

Обозначим $ \Upsilon(a, b, c, d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Op}^d(b) $.

Замечание Edit

Всюду, где не будет оговорено, под $ 0_\mathrm{N} $-местной операцией на множестве $ b $ будем понимать значение данной $ 0_\mathrm{N} $-местной операции.

Связанные определения Edit

Местность операции.

Таким образом, $ d $-местную операцию на множестве $ b $ будем также называть операцией на множестве $ b $ местности $ d $.

Примеры Edit

Операция на множестве $ b $ местности $ 0_\mathrm{N} $константа (или постоянная) (англ. constant, нем. konstant) множества $ b $ или кратко константа.

Операция на множестве $ b $ местности $ 1_\mathrm{N} $одноместная (или унарная) операция (англ. unary operation, нем. unäre Operation) на множестве $ b $ или кратко одноместная операция.

Операция на множестве $ b $ местности $ 2_\mathrm{N} $двухместная (или бинарная) операция (англ. binary operation, нем. binäre Operation) на множестве $ b $ или кратко двухместная операция.

Операция на множестве $ b $ местности $ 3_\mathrm{N} $трёхместная (или тернарная) операция (англ. ternary operation, нем. ternäre Operation) на множестве $ b $ или кратко трёхместная операция.

Совокупность всех операций на множестве Edit

Множество $ a $совокупность всех операций (англ. set of all operations, нем. Menge der aller Operationen) на множестве $ b $, если множество $ a $ состоит из совокупностей операций на множестве $ b $ некоторой местности:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \bigr( \exists e \quad e\in c \ \land \ d\in\mathrm{Op}^e(b) \bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Op}(b) $.

Связанные статьи Edit

Коммутативная операция;

Ассоциативная операция;

Дистрибутивная операция;

Теорема о существовании совокупности операций на множестве;

Теорема о существовании совокупности всех операций на множестве.

Совокупность операций на элементах кортежа элементов множества Edit

Множество $ a $совокупность $ e $-местных операций (англ. set of $ e $-place operations, нем. Menge der $ e $-stellige Operationen) на элементах кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $, если множество $ a $ состоит из множеств[1] таких, что множество $ g $ является $ e $-местной операцией на некоторой координате кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists h \quad h\in d \ \land \ \bigl( \forall i \quad i = f(h) \Rightarrow g\in \mathrm{Op}^e(i) \bigr) \Bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup\limits_{\epsilon\in d} \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данное множество множеством $ g $

Совокупность кортежей операций на элементах кортежа элементов множества Edit

Множество $ a $совокупность кортежей $ e $-местных операций (англ. set of tuples of $ e $-place operations, нем. Menge der Tupeln der $ e $-stellige Operationen) длины $ d $ на элементах кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $, если множество $ a $ состоит из кортежей длины $ d $ элементов совокупности операций на элементах кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $[1] таких, что для любого элемента множества $ d $[2] $ h $-ая координата кортежа $ g $ является $ e $-местной операцией на $ h $-ой координате кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g\in a \Leftrightarrow \Biggl( \Bigl( \forall h \quad h = \bigcup\limits_{\epsilon\in d} \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Rightarrow g\in \mathrm{Function}(d,h) \Bigr) \Rightarrow \Bigl( \forall h \quad h\in d \Rightarrow \bigl( \forall i \ \forall j \quad (i = f(h) \ \land \ j = g(h)) \Rightarrow j\in \mathrm{Op}^e(i) \bigr) \Bigr) \Biggr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in d} $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный кортеж длины $ d $ элементов совокупности операций на элементах кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $ кортежем $ g $
  2. для определённости назовём данный элемент множества $ d $ множеством $ h $

Кортеж операций на элементах кортежа элементов множества Edit

Множество $ a $кортеж $ e $-местных операций (англ. tuple of $ e $-place operations, нем. Tupel der $ e $-stellige Operationen) длины $ d $ на элементах кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $, если множество $ a $ является элементом совокупности кортежей $ e $-местных операций длины $ d $ на элементах кортежа $ f $ длины $ d $ элементов множества $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g = \Bigl\langle \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in d} \Rightarrow a\in g $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in d} $.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.