Нормированное векторное пространство над линейно упорядоченным полем
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
,
p
,
q
,
r
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r}
множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
символ унарной операции ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
l
∈
g
∧
i
(
l
)
=
2
N
{\displaystyle l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}}
символ бинарного отношения ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
поле ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
S
t
r
u
c
t
(
d
;
l
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)}
линейно упорядоченная структура ,
r
=
|
∘
|
j
c
l
c
{\displaystyle r=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}}
операция взятия модуля ,
m
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Op}^2(b)}
o
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
прямое произведение двух множеств,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
o
,
b
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Function}(o,b)}
функция ,
p
=
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle p = \langle b,c,m,n \rangle}
упорядоченная четвёрка множеств,
p
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
)
{\displaystyle p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)}
векторное пространство ,
q
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
p
)
{\displaystyle q\in \mathrm {Functional} (p)}
функционал векторного пространства,
a
=
⟨
p
,
q
⟩
{\displaystyle a = \langle p,q \rangle}
[1] Упорядоченная пара
a
{\displaystyle a}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
нормированное векторное пространство (англ. normed vector space , нем. normierter Vektorraum ) над полем
c
{\displaystyle c}
кратко нормированное векторное пространство , если выполняются следующие условия:
для любого вектора векторного пространства
p
{\displaystyle p}
[2] значение функционала
q
{\displaystyle q}
s
{\displaystyle s}
некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции
j
{\displaystyle j}
s
{\displaystyle s}
нулевым вектором векторного пространства
p
{\displaystyle p}
для любого вектора векторного пространства
p
{\displaystyle p}
[3]
p
{\displaystyle p}
[4]
q
{\displaystyle q}
произведения вектора
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
k
{\displaystyle k}
t
{\displaystyle t}
q
{\displaystyle q}
s
{\displaystyle s}
для любых двух векторов векторного пространства
p
{\displaystyle p}
[5]
q
{\displaystyle q}
суммы векторов
s
,
t
{\displaystyle s, t}
j
{\displaystyle j}
q
{\displaystyle q}
s
{\displaystyle s}
q
{\displaystyle q}
t
{\displaystyle t}
интерпретации символа отношения
l
{\displaystyle l}
Υ
(
a
,
…
,
r
)
=
d
e
f
{
∀
s
s
∈
b
⇒
(
(
∃
t
t
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
j
c
)
∧
t
=
q
(
s
)
)
⇔
s
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
m
)
)
∀
s
∀
t
(
s
∈
b
∧
t
∈
d
)
⇒
q
(
n
(
t
,
s
)
)
=
k
c
(
r
(
t
)
,
q
(
s
)
)
∀
s
∀
t
(
s
∈
b
∧
t
∈
b
)
⇒
⟨
q
(
m
(
s
,
t
)
)
,
j
c
(
q
(
s
)
,
q
(
t
)
)
⟩
∈
l
c
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}\forall s\quad s\in b\Rightarrow {\bigl (}\,(\exists t\quad t\in \mathrm {Neutral} (j_{c})\ \land \ t=q(s))\Leftrightarrow s\in \mathrm {Neutral} (m)\,{\bigr )}\\\forall s\ \forall t\quad (s\in b\ \land \ t\in d)\Rightarrow q(n(t,s))=k_{c}(r(t),q(s))\\\forall s\ \forall t\quad (s\in b\ \land \ t\in b)\Rightarrow {\bigl \langle }q{\bigl (}m(s,t){\bigr )},j_{c}{\bigl (}q(s),q(t){\bigr )}{\bigr \rangle }\in l_{c}\\\end{cases}}}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
r
)
=
d
e
f
a
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
q
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,q)}
Примечания
↑ т.е. ввиду определения упорядоченной пары множеств, упорядоченной тройки множеств и т.д., множество
a
{\displaystyle a}
b
,
c
,
m
,
n
,
q
{\displaystyle b,c,m,n,q}
↑ для определённости назовём данный вектор вектором
s
{\displaystyle s}
↑ для определённости назовём данный вектор вектором
s
{\displaystyle s}
↑ для определённости назовём данный скаляр скаляром
t
{\displaystyle t}
↑ для определённости назовём один из данных векторов вектором
s
{\displaystyle s}
вектором
t
{\displaystyle t}
Связанные статьи Теорема о метризации нормированного векторного пространства .
