Нормированное векторное пространство над линейно упорядоченным полем
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
,
p
,
q
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q}
- множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
- сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
- символ унарной операции ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
- символы бинарных операций,
l
∈
g
∧
i
(
l
)
=
2
N
{\displaystyle l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}}
- символ бинарного отношения ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
- алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
- поле ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
S
t
r
u
c
t
(
d
;
l
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)}
- линейно упорядоченная структура ,
q
=
|
∘
|
j
c
l
c
{\displaystyle q = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}}
- операция взятия модуля ,
m
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Op}^2(b)}
- бинарная операция,
o
=
d
×
b
{\displaystyle o=d\times b}
- прямое произведение двух множеств,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
o
,
b
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Function}(o,b)}
- функция ,
p
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
b
,
d
)
{\displaystyle p\in \mathrm {Function} (b,d)}
- функция.
Множество
a
{\displaystyle a}
— нормированное векторное пространство (англ. normed vector space , нем. normierter Vektorraum ) над полем
c
{\displaystyle c}
или кратко нормированное векторное пространство , если выполняются следующие условия:
множество
a
{\displaystyle a}
является упорядоченной пятёркой множеств
b
,
c
,
m
,
n
,
p
{\displaystyle b,c,m,n,p}
;
упорядоченная четвёрка множеств
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle \left\langle b,c,m,n\right\rangle }
является векторным пространством над полем
c
{\displaystyle c}
;
для любого элемента множества
b
{\displaystyle b}
если значение функции
q
{\displaystyle q}
от данного элемента множества
b
{\displaystyle b}
равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции
j
{\displaystyle j}
, то данный элемент множества
b
{\displaystyle b}
является нейтральным элементом бинарной операции
l
{\displaystyle l}
;
для любого элемента множества
b
{\displaystyle b}
и для произвольного элемента множества
d
{\displaystyle d}
значение функции
p
{\displaystyle p}
от {значения функции
n
{\displaystyle n}
от данного элемента множества
d
{\displaystyle d}
} и данного элемента множества
b
{\displaystyle b}
равно значению интерпретации символа операции
k
{\displaystyle k}
от модуля данного элемента множества
d
{\displaystyle d}
и значения функции
n
{\displaystyle n}
от данного элемента множества
b
{\displaystyle b}
;
для любых двух элементов множества
b
{\displaystyle b}
[1] упорядоченная пара {значения функции
q
{\displaystyle q}
от {значения функции
m
{\displaystyle m}
от первого элемента множества
b
{\displaystyle b}
и второго элемента множества
b
{\displaystyle b}
}} и {значения интерпретации символа операции
j
{\displaystyle j}
от {значения функции
q
{\displaystyle q}
от первого элемента множества
b
{\displaystyle b}
} и {значения функции
q
{\displaystyle q}
от второго элемента множества
b
{\displaystyle b}
}} принадлежит интерпретации символа отношения
l
{\displaystyle l}
:
Υ
(
a
,
…
,
q
)
=
d
e
f
{
a
=
⟨
b
,
c
,
m
,
n
,
p
⟩
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
)
∀
r
r
∈
b
⇒
(
(
∃
s
s
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
j
c
)
∧
s
=
p
(
r
)
)
⇒
r
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
m
)
)
∀
r
∀
s
(
r
∈
b
∧
s
∈
d
)
⇒
p
(
n
(
s
,
r
)
)
=
k
c
(
q
(
s
)
,
p
(
r
)
)
∀
r
∀
s
(
r
∈
b
∧
s
∈
b
)
⇒
⟨
p
(
m
(
r
,
s
)
)
,
j
c
(
p
(
r
)
,
p
(
s
)
)
⟩
∈
l
c
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,q)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}a=\langle b,c,m,n,p\rangle \\\langle b,c,m,n\rangle =\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)\\\forall r\quad r\in b\Rightarrow {\bigl (}\,(\exists s\quad s\in \mathrm {Neutral} (j_{c})\ \land \ s=p(r))\Rightarrow r\in \mathrm {Neutral} (m)\,{\bigr )}\\\forall r\ \forall s\quad (r\in b\ \land \ s\in d)\Rightarrow p(n(s,r))=k_{c}(q(s),p(r))\\\forall r\ \forall s\quad (r\in b\ \land \ s\in b)\Rightarrow {\bigl \langle }p{\bigl (}m(r,s){\bigr )},j_{c}{\bigl (}p(r),p(s){\bigr )}{\bigr \rangle }\in l_{c}\\\end{cases}}}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
q
)
=
d
e
f
a
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
p
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,q)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,p)}
.
↑ для определённости назовём один из данных элементов множества
b
{\displaystyle b}
первым элементом множества
b
{\displaystyle b}
, другой элемент множества
b
{\displaystyle b}
- вторым элементом множества
b
{\displaystyle b}