Changes: Нормированное векторное пространство

Latest revision as of 09:50, 13 May 2016

Нормированное векторное пространство над стандартным линейно упорядоченным полем[]

$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$ - множества,
$f = \langle g,h,i \rangle$ - упорядоченна тройка множеств,
$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$ - сигнатура,
$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$ - символ унарной операции,
$(+\in h \ \land \ i(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in h \ \land \ i(\cdot) = 2_\mathrm{N})$ - символы бинарных операций,
$\leqslant\in g \ \land \ i(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
$c = \langle d,e,f \rangle$ - упорядоченна тройка множеств,
$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$ - алгебраическая структура,
$c\in \mathrm{LinOrdField}(d;\leqslant,+\cdot)$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
$o = \left|\circ\right|_{+_c}^{\leqslant_c}$ - операция взятия модуля,
$j\in \mathrm{Op}^2(b)$ - бинарная операция,
$l = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$ - прямое произведение носителя стандартного линейно упорядоченного поля и множества,
$k\in \mathrm{Function}(l,b)$ - функция,
$m = \langle b,c,j,k \rangle$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
$m = \mathrm{VectorSpace}(b,c;j,k)$ - векторное пространство,
$n\in \mathrm{Functional}(m)$ - функционал,
$a = \langle m,n \rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала векторного пространства^[1].

Упорядоченная пара $a$ векторного пространства $m$ и функционала $n$ векторного пространства $m$ — нормированное векторное пространство (англ. normed vector space, нем. normierter Vektorraum) над стандартным линейно упорядоченным полем $c$ или кратко нормированное векторное пространство, если выполняются следующие условия:

для любого вектора векторного пространства $m$ ^[2] значение функционала $n$ от вектора $p$ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $j$ тогда и только тогда, когда вектор $p$ является нулевым вектором векторного пространства $m$ ;
для любого вектора векторного пространства $m$ ^[3] и для произвольного скаляра векторного пространства $m$ ^[4] значение функционала $n$ от {произведения вектора $p$ на скаляр $q$ } равно значению интерпретации символа операции $k$ от модуля скаляра $q$ и значения функционала $n$ от вектора $p$ ;
функционал $n$ является субаддитивным функционалом векторного пространства $m$ над стандартным линейно упорядоченным полем $c$ :

${\displaystyle \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall p \quad p\in b \Rightarrow \bigl(\, (\exists q \quad q\in \mathrm{Neutral}(+_c) \ \land \ q = n(p)) \Leftrightarrow p\in \mathrm{Neutral}(j) \,\bigr)\\ \forall p \ \forall q \quad (p\in b \ \land \ q\in d) \Rightarrow n(k(q,p)) = \cdot_{\, c}(o(q),n(p))\\ n\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(m)\\ \end{cases} }$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;j,k,n)$ .

Примечания[]

↑ т.е. ввиду определения упорядоченной пары множеств, упорядоченной тройки множеств и т.д., множество $a$ является упорядоченной пятёркой множеств $b,c,j,k,n$
↑ для определённости назовём данный вектор вектором $p$
↑ для определённости назовём данный вектор вектором $p$
↑ для определённости назовём данный скаляр скаляром $q$

Связанные статьи[]

Норма;

Теорема о метризации нормированного векторного пространства.

[1] т.е. ввиду определения упорядоченной пары множеств, упорядоченной тройки множеств и т.д., множество $a$ является упорядоченной пятёркой множеств $b,c,j,k,n$

[2] для определённости назовём данный вектор вектором $p$

[3] для определённости назовём данный вектор вектором $p$

[4] для определённости назовём данный скаляр скаляром $q$

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-== Нормированное векторное пространство над линейно упорядоченным полем ==
+== Нормированное векторное пространство над стандартным линейно упорядоченным полем ==
-*<math>a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q</math> - [[Множество|множества]],
+*<math>a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o</math> - [[Множество|множества]],
+*<math>f = \langle g,h,i \rangle</math> - [[Кортеж#Кортеж элементов множества|упорядоченна тройка]] множеств,
-*<math>f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)</math> - [[сигнатура]],
+*<math>f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)</math> - [[Сигнатура#Сигнатура, образованная множествами|сигнатура]],
-*<math>\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\omega</math> - [[Символ операции|символ]] [[Операция#Операция на множестве|унарной операции]],
+*<math>\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}</math> - [[Символ операции|символ]] [[Операция#Операция на множестве|унарной операции]],
-*<math>j\in h \ \land \ i(j) = 2_\omega \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\omega</math> - символы бинарных операций,
+*<math>(+\in h \ \land \ i(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in h \ \land \ i(\cdot) = 2_\mathrm{N})</math> - символы бинарных операций,
-*<math>l\in g \ \land \ i(l) = 2_\omega</math> - [[Символ отношения|символ]] [[Бинарное отношение|бинарного отношения]],
+*<math>\leqslant\in g \ \land \ i(\leqslant) = 2_\mathrm{N}</math> - [[Символ отношения|символ]] [[Бинарное отношение|бинарного отношения]],
-*<math>c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)</math> - [[алгебраическая структура]],
-*<math>c\in \mathrm{Field}(d;j,k)</math> - [[поле]],
+*<math>c = \langle d,e,f \rangle</math> - упорядоченна тройка множеств,
-*<math>c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)</math> - [[линейно упорядоченная структура]],
+*<math>c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)</math> - [[Алгебраическая структура#Алгебраическая структура сигнатуры, образованная множествами|алгебраическая структура]],
+*<math>c\in \mathrm{LinOrdField}(d;\leqslant,+\cdot)</math> - [[Линейно упорядоченное поле#Линейно упорядоченное поле по отношению и операциям|стандартное линейно упорядоченное поле]],
-*<math>q = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}</math> - [[Операция взятия модуля#Операция взятия модуля в линейно упорядоченной группе|операция взятия модуля]],
+*<math>o = \left|\circ\right|_{+_c}^{\leqslant_c}</math> - [[Операция взятия модуля#Операция взятия модуля в линейно упорядоченной группе|операция взятия модуля]],
-*<math>m\in \mathrm{Op}^2(b)</math> - бинарная операция,
+*<math>j\in \mathrm{Op}^2(b)</math> - бинарная операция,
-*<math>o = d\times b</math> - [[Прямое произведение#Прямое произведение двух множеств|прямое произведение]],
+*<math>l = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)</math> - [[Прямое произведение#Прямое произведение двух множеств|прямое произведение]] [[Носитель#Носитель алгебраической структуры|носителя]] стандартного линейно упорядоченного поля и множества,
-*<math>n\in \mathrm{Function}(o,b)</math> - [[Функция#Функция, действующая из множества в множество|функция]],
-*<math>p\in \mathrm{Function}(b,d)</math> - функция.
+*<math>k\in \mathrm{Function}(l,b)</math> - [[Функция#Функция, действующая из множества в множество|функция]],
+*<math>m = \langle b,c,j,k \rangle</math> - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
+*<math>m = \mathrm{VectorSpace}(b,c;j,k)</math> - [[Векторное пространство#Векторное пространство над полем|векторное пространство]],
+*<math>n\in \mathrm{Functional}(m)</math> - [[Функционал#Функционал векторного пространства|функционал]],
+*<math>a = \langle m,n \rangle</math> - упорядоченная пара векторного пространства и функционала векторного пространства<ref>т.е. ввиду определения упорядоченной пары множеств, упорядоченной тройки множеств и т.д., множество <math>a</math> является упорядоченной пятёркой множеств <math>b,c,j,k,n</math></ref>.
-Множество <math>a</math> — '''нормированное векторное пространство''' ([[англ.]] ''normed vector space'', [[нем.]] ''normierter Vektorraum'') '''над полем''' <math>c</math> или [[Краткая запись|кратко]] '''нормированное векторное пространство''', если выполняются следующие условия:
+Упорядоченная пара <math>a</math> векторного пространства <math>m</math> и функционала <math>n</math> векторного пространства <math>m</math> — '''нормированное векторное пространство''' ([[англ.]] ''normed vector space'', [[нем.]] ''normierter Vektorraum'') '''над стандартным линейно упорядоченным полем''' <math>c</math> или [[Краткая запись|кратко]] '''нормированное векторное пространство''', если выполняются следующие условия:
+#для [[Всеобщность|любого]] [[Вектор#Вектор векторного пространства|вектора]] векторного пространства <math>m</math><ref>для определённости назовём данный вектор ''вектором'' <math>p</math></ref> [[Значение функции#Значение функции от множества|значение]] функционала <math>n</math> от вектора <math>p</math> равно [[Существование|некоторому]] [[Нейтральный элемент#Нейтральный элемент бинарной операции|нейтральному элементу]] [[Интерпретация символа операции#Интерпретация символа операции на множестве|интерпретации]] символа бинарной операции <math>j</math> тогда и только тогда, когда вектор <math>p</math> является [[Вектор#Нулевой вектор векторного пространства|нулевым вектором]] векторного пространства <math>m</math>;
-#множество <math>a</math> является [[Кортеж#Кортеж множеств|упорядоченной пятёркой]] множеств <math>b,c,m,n,p</math>,
+#для любого вектора векторного пространства <math>m</math><ref>для определённости назовём данный вектор ''вектором'' <math>p</math></ref> и для произвольного скаляра векторного пространства <math>m</math><ref>для определённости назовём данный скаляр ''скаляром'' <math>q</math></ref> значение функционала <math>n</math> от {[[Умножение#Умножение вектора векторного пространства на скаляр|произведения]] вектора <math>p</math> на скаляр <math>q</math>} равно значению интерпретации символа операции <math>k</math> от модуля скаляра <math>q</math> и значения функционала <math>n</math> от вектора <math>p</math>;
-#упорядоченная четвёрка множеств <math>\left\langle b,c,m,n \right\rangle</math> является [[Векторное пространство#Векторное пространство над полем|векторным пространством]] над полем <math>c</math>,
+#функционал <math>n</math> является [[Аддитивная функция#Субаддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем|субаддитивным функционалом]] векторного пространства <math>m</math> над стандартным линейно упорядоченным полем <math>c</math>:
-#для [[Всеобщность|любого]] [[Элемент#Элемент множества|элемента]] множества <math>b</math> если [[Значение функции|значение функции]] <math>q</math> от данного элемента множества <math>b</math> равно [[Существование|некоторому]] [[Нейтральный элемент#Нейтральный элемент бинарной операции|нейтральному элементу]] [[Интерпретация символа операции|интерпретации]] символа бинарной операции <math>j</math>, то данный элемент множества <math>b</math> является нейтральным элементом бинарной операции <math>l</math>;
-#для любого элемента множества <math>b</math> и для произвольного элемента множества <math>d</math> значение функции <math>p</math> от {значения функции <math>n</math> от данного элемента множества <math>d</math>} и данного элемента множества <math>b</math> равно значению интерпретации символа операции <math>k</math> от модуля данного элемента множества <math>d</math> и значения функции <math>n</math> от данного элемента множества <math>b</math>;
-#для любых двух элементов множества <math>b</math><ref>для определённости назовём один из данных элементов множества <math>b</math> ''первым элементом множества'' <math>b</math>, другой элемент множества <math>b</math> - ''вторым элементом множества'' <math>b</math></ref> упорядоченная пара {значения функции <math>q</math> от {значения функции <math>m</math> от первого элемента множества <math>b</math> и второго элемента множества <math>b</math>}} и {значения интерпретации символа операции <math>j</math> от {значения функции <math>q</math> от первого элемента множества <math>b</math>} и {значения функции <math>q</math> от второго элемента множества <math>b</math>}} принадлежит [[Интерпретация символа отношения|интерпретации]] символа отношения <math>l</math>:
 <center>
 <math>
-\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases}
+\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases}
+\forall p \quad p\in b \Rightarrow \bigl(\, (\exists q \quad q\in \mathrm{Neutral}(+_c) \ \land \ q = n(p)) \Leftrightarrow p\in \mathrm{Neutral}(j) \,\bigr)\\
-\langle b,c,m,n \rangle = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)\\
-\forall r \quad r\in b \Rightarrow \bigl(\, (\exists s \quad s\in \mathrm{Neutral}(j_c) \ \land \ s = p(r)) \Rightarrow r\in \mathrm{Neutral}(m) \,\bigr)\\
+\forall p \ \forall q \quad (p\in b \ \land \ q\in d) \Rightarrow n(k(q,p)) = \cdot_{\, c}(o(q),n(p))\\
+n\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(m)\\
-\forall r \ \forall s \quad (r\in b \ \land \ s\in d) \Rightarrow p(n(s,r)) = k_c(q(s),p(r))\\
-\forall r \ \forall s \quad (r\in b \ \land \ s\in b) \Rightarrow \bigl\langle p \bigl( m(r,s) \bigr), j_c \bigl( p(r),p(s) \bigr) \bigr\rangle \in l_c\\
 \end{cases}
 </math>
 </center>
-Обозначим <math>\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,p)</math>.
+Обозначим <math>\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;j,k,n)</math>.
+=== Примечания ===
 <references/>
+=== Связанные статьи ===
+[[Норма#Норма нормированного векторного пространства|Норма]];
+[[Теорема о метризации нормированного векторного пространства]].
 [[Category:Векторное пространство]]