Нормированное векторное пространство

Нормированное векторное пространство над стандартным линейно упорядоченным полем

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$ - множества,
• $f = \langle g,h,i \rangle$ - упорядоченна тройка множеств,
• $f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$ - символ унарной операции,
• $(+\in h \ \land \ i(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in h \ \land \ i(\cdot) = 2_\mathrm{N})$ - символы бинарных операций,
• $\leqslant\in g \ \land \ i(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
• $c = \langle d,e,f \rangle$ - упорядоченна тройка множеств,
• $c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $r=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля,
• $m\in \mathrm{Op}^2(b)$ - бинарная операция,
• $o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm{Function}(o,b)$ - функция,
• $p = \langle b,c,m,n \rangle$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
• $p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $q\in \mathrm {Functional} (p)$ - функционал векторного пространства,
• $a = \langle p,q \rangle$ - упорядоченная пара множеств.

Упорядоченная пара $a$ векторного пространства $p$ и функционала $q$ — нормированное векторное пространство (англ. normed vector space, нем. normierter Vektorraum) над полем $c$ или кратко нормированное векторное пространство, если выполняются следующие условия:

1. для любого вектора векторного пространства $p$ значение функционала $q$ от вектора $s$ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $j$ тогда и только тогда, когда вектор $s$ является нулевым вектором векторного пространства $p$;
2. для любого вектора векторного пространства $p$ и для произвольного скаляра векторного пространства $p$ значение функционала $q$ от {произведения вектора $s$ на скаляр $t$} равно значению интерпретации символа операции $k$ от модуля скаляра $t$ и значения функционала $q$ от вектора $s$;
3. для любых двух векторов векторного пространства $p$ упорядоченная пара {значения функционала $q$ от {суммы векторов $s, t$}} и {значения интерпретации символа операции $j$ от {значения функционала $q$ от вектора $s$} и {значения функционала $q$ от вектора $t$}} принадлежит интерпретации символа отношения $l$:

$\Upsilon (a,\ldots ,r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}\forall s\quad s\in b\Rightarrow {\bigl (}\,(\exists t\quad t\in \mathrm {Neutral} (j_{c})\ \land \ t=q(s))\Leftrightarrow s\in \mathrm {Neutral} (m)\,{\bigr )}\\\forall s\ \forall t\quad (s\in b\ \land \ t\in d)\Rightarrow q(n(t,s))=k_{c}(r(t),q(s))\\\forall s\ \forall t\quad (s\in b\ \land \ t\in b)\Rightarrow {\bigl \langle }q{\bigl (}m(s,t){\bigr )},j_{c}{\bigl (}q(s),q(t){\bigr )}{\bigr \rangle }\in l_{c}\\\end{cases}}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,q)$.

Связанные статьи

Норма;

Теорема о метризации нормированного векторного пространства.