FANDOM


Нормированное векторное пространство над стандартным линейно упорядоченным полем Edit

Упорядоченная пара $ a $ векторного пространства $ m $ и функционала $ n $ векторного пространства $ m $нормированное векторное пространство (англ. normed vector space, нем. normierter Vektorraum) над стандартным линейно упорядоченным полем $ c $ или кратко нормированное векторное пространство, если выполняются следующие условия:

  1. для любого вектора векторного пространства $ m $[2] значение функционала $ n $ от вектора $ p $ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $ j $ тогда и только тогда, когда вектор $ p $ является нулевым вектором векторного пространства $ m $;
  2. для любого вектора векторного пространства $ m $[3] и для произвольного скаляра векторного пространства $ m $[4] значение функционала $ n $ от {произведения вектора $ p $ на скаляр $ q $} равно значению интерпретации символа операции $ k $ от модуля скаляра $ q $ и значения функционала $ n $ от вектора $ p $;
  3. функционал $ n $ является субаддитивным функционалом векторного пространства $ m $ над стандартным линейно упорядоченным полем $ c $:

$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall p \quad p\in b \Rightarrow \bigl(\, (\exists q \quad q\in \mathrm{Neutral}(+_c) \ \land \ q = n(p)) \Leftrightarrow p\in \mathrm{Neutral}(j) \,\bigr)\\ \forall p \ \forall q \quad (p\in b \ \land \ q\in d) \Rightarrow n(k(q,p)) = \cdot_{\, c}(o(q),n(p))\\ n\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(m)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;j,k,n) $.

Примечания Edit

  1. т.е. ввиду определения упорядоченной пары множеств, упорядоченной тройки множеств и т.д., множество $ a $ является упорядоченной пятёркой множеств $ b,c,j,k,n $
  2. для определённости назовём данный вектор вектором $ p $
  3. для определённости назовём данный вектор вектором $ p $
  4. для определённости назовём данный скаляр скаляром $ q $

Связанные статьи Edit

Норма;

Теорема о метризации нормированного векторного пространства.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.