FANDOM


Линейно упорядоченное поле по отношению и операциям Edit

Алгебраическая структура $ a $ сигнатуры $ d $, образованная множествами $ b,c $линейно упорядоченное поле (англ. linearly ordered field, нем. linear geordnete Körper) по отношению $ h $ и операциям $ i,j $ или кратко линейно упорядоченное поле, если алгебраическая структура $ a $ является линейно упорядоченной структурой по отношению $ h $ и алгебраическая структура $ a $ является полем по операциям $ i,j $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdStruct}(b;h) \ \land \ a\in \mathrm{Field}(b;i,j) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdField}(b;h;i,j) $.

Замечание Edit

Линейно упорядоченное поле по отношению $ \leqslant $ и операциям $ +, \cdot $ будем называть стандартным линейно упорядоченным полем (англ. standard linearly ordered field, нем. standard linear geordnete Körper).

Согласованное по сложению стандартное линейно упорядоченное поле Edit

Стандартное линейно упорядоченное стандартное поле $ a $согласованное по сложению стандартное линейно упорядоченное поле (англ. associated by addition standard linearly ordered field, нем. angeschlossen beim Addition standard linear geordnete Körper), если для любых четырёх элементов носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $[1] если {упорядоченная пара множеств $ i,j $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $} и {упорядоченная пара множеств $ k,l $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $}, то упорядоченная пара {суммы множеств $ i,k $} и {суммы множеств $ j,l $} принадлежит интерпретации символа операции $ \leqslant $ на множестве $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \ \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \bigl( (i\in b \ \land \ j\in b) \ \land \ (k\in b \ \land \ l\in b) \bigr) \Rightarrow \Bigl( \bigl( \langle i,j \rangle\in \leqslant_a \ \land \ \langle k,l \rangle\in \leqslant_a \bigr) \Rightarrow \bigr\langle +(i,k), +(j,l) \bigr\rangle\in \leqslant_a \Bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,\leqslant) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddAssocLinOrdField}(b;\leqslant;+,\cdot) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём один из данных элементов носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ множеством $ i $, другой элемент носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ - множеством $ j $, остальной элемент носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ - множеством $ k $, оставшийся элемент носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ - множеством $ l $

Согласованное по умножению стандартное линейно упорядоченное поле Edit

Стандартное линейно упорядоченное поле $ a $согласованное по умножению стандартное линейно упорядоченное поле (англ. associated by multiplication standard linearly ordered field, нем. angeschlossen beim Multiplikation standard linear geordnete Körper), если выполняются следующие условия:

  1. для любого элемента носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $[1], который не равен нолю стандартного линейно упорядоченного поля, {если упорядоченная пара множества $ i $ и ноля стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $, то упорядоченная пара инверсии множества $ i $ и ноля стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $}, и {если упорядоченная пара ноля стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ и множества $ i $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $, то упорядоченная пара ноля стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ и инверсии множества $ i $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $},
  2. для любых двух элементов носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $[2] если упорядоченная пара множеств $ i,j $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $, то для любого элемента носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $[3] справедливы следующие утверждения:
    1. если {упорядоченная пара множества $ k $ и ноля стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $}, то упорядоченная пара {произведения множеств $ j,k $} и {произведения множеств $ i,k $} принадлежит интерпретации символа операции $ \leqslant $ на множестве $ b $,
    2. если {упорядоченная пара ноля стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ и множества $ k $ принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ b $}, то упорядоченная пара {произведения множеств $ j,k $} и {произведения множеств $ i,k $} принадлежит интерпретации символа операции $ \leqslant $ на множестве $ b $:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Bigl( h \neq \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \bigl( \forall i \quad i = \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \bigr) \Bigr)\\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \Bigl( \langle h,i \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl( \forall j \quad j\in b \Rightarrow (\Chi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \land \ \Psi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)) \bigr) \Bigr) \end{cases}\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \langle h,i \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl( \forall j \quad j = \mathrm{Inverse}_{\,\cdot_{\, a}}(h) \Rightarrow \langle j,i \rangle\in \leqslant_a \bigr)\\ \langle i,h \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl( \forall j \quad j = \mathrm{Inverse}_{\,\cdot_{\, a}}(h) \Rightarrow \langle i,j \rangle\in \leqslant_a \bigr)\\ \end{cases}\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \Bigl( \langle j,k \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl\langle \cdot_{\, a}(i,j),\cdot_{\, a}(h,j) \bigr\rangle\in \leqslant_a \Bigr)\\ \Psi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \Bigl( \langle k,j \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl\langle \cdot_{\, a}(h,j),\cdot_{\, a}(i,j) \bigr\rangle\in \leqslant_a \Bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{MultAssocLinOrdField}(b;\leqslant;+,\cdot) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный элемент носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ множеством $ i $
  2. для определённости назовём один из данных элементов носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ множеством $ i $, другой элемент носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ - множеством $ j $
  3. для определённости назовём данный элемент носителя $ b $ стандартного линейно упорядоченного поля $ a $ множеством $ k $

Согласованное стандартное линейно упорядоченное поле Edit

Линейно упорядоченное стандартное поле $ a $согласованное стандартное линейно упорядоченное поле (англ. associated standard linearly ordered field, нем. angeschlossen standard linear geordnete Körper), если стандартное линейно упорядоченное поле $ a $ является согласованным по сложению стандартным линейно упорядоченным полем и стандартное линейно упорядоченное поле $ a $ является согласованным по умножению стандартным линейно упорядоченным полем:

$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddAssocLinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot) \ \land \ a\in \mathrm{MultAssocLinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AssocLinOrdField}(b;\leqslant;+,\cdot) $.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.