Линейная оболочка

Совокупность носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$ - множества,
• $g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$ - символы бинарных операций,
• $d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm{Op}^2(c)$ - бинарная операция,
• $o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm{Function}(o,c)$ - функция,
• $b = \langle c,d,m,n \rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $p\subseteq c$ - подмножество носителя векторного пространства,
• $q = \mathrm{PowerSet}(c)$ - множество-степень носителя векторного пространства,
• $a\subseteq q$ - подмножество множества-степени носителя векторного пространства.

Множество $a$ — совокупность носителей подпространств (англ. set of basic sets of subspaces, нем. Menge von Basis-Sets von Unterräume) векторного пространства $b$, содержащих множество $p$, если выполняются следующие условия:

1. каждый элемент множества $a$ является надмножеством множества $p$;
2. для произвольного элемента множества $a$ существует бинарная операция на множестве $r$ и функция, действующая из {прямого произведения носителя $e$ поля $d$ и множества $r$} в множество $r$, такие, что упорядоченная четвёрка множеств $r,d,s,t$ является подпространством, порождённым множеством $r$:

$\begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall r \quad r\in a \Leftrightarrow \bigl( r\supseteq p \ \land \ \Phi(a,\ldots,r) \bigr)\\ \Phi(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists s \ \exists t \quad \Bigl(\, s\in \mathrm{Op}^2(r) \ \land \ \bigl( \forall u \quad u = \mathrm{CartProd}(\langle e,r \rangle) \Rightarrow t\in \mathrm{Function}(u,r) \bigr) \,\Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall v \quad v = \langle r,d,s,t \rangle \Rightarrow v = \mathrm{Subspace}_b(r,d;s,t) \Bigr)\\ \end{cases}$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{SetOfBasicSetsOfSubspaces}_b(p)$.

Линейная оболочка множества

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$ - множества,
• $g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$ - символы бинарных операций,
• $d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm{Op}^2(c)$ - бинарная операция,
• $o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm{Function}(o,c)$ - функция,
• $b = \langle c,d,m,n \rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $p\subseteq c$ - подмножество носителя векторного пространства,
• $q = \mathrm{PowerSet}(c)$ - множество-степень носителя векторного пространства,
• $r\subseteq q$ - подмножество множества-степени носителя векторного пространства,
• $r = \mathrm{SetOfBasicSetsOfSubspaces}_b(p)$ - совокупность носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество,
• $s = \bigcap r$ - пересечение элементов совокупности носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество,
• $t\in \mathrm{Op}^2(s)$ - бинарная операция,
• $v = \mathrm{CartProd}(\langle e,s \rangle)$ - прямое произведение двух множеств,
• $u\in \mathrm{Function}(v,s)$ - функция,
• $a = \langle s,d,t,u \rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств.

Упорядоченная четвёрка $a$ множеств — линейная оболочка (англ. linear span or linear hull, нем. lineare Spann oder lineare Hülle) подмножества $p$ носителя $c$ векторного пространства $b$ или кратко линейная оболочка множества $p$, если выполнены следующие условия:

1. операция $t$ является сужением операции $m$ на декартов квадрат множества $s$;
2. функция $u$ является сужением функции $n$ на множество $v$:

$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall w \quad w = \mathrm{CartProd}^2(s) \Rightarrow t = m\bigr|_w\\ u = n\bigr|_v\\ \end{cases}$

Из теоремы о существовании и единственности линейной оболочки множества следует справедливость следующего обозначения для линейной оболочки множества $p$ $\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinearSpan}_b(p)$.

Связанные статьи

Теорема о свойствах линейной оболочки множества.