Линейная оболочка

Совокупность носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$ - множества,
• $g=\mathrm {\Sigma } (h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i\ \land \ j(k)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ l\in i\ \land \ j(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $d=\mathrm {AlgStruct} (e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm {Field} (e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(c)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle e,c\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,c)$ - функция,
• $b=\langle c,d,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b=\mathrm {VectorSpace} (c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $p\subseteq c$ - подмножество носителя векторного пространства,
• $q=\mathrm {PowerSet} (c)$ - множество-степень носителя векторного пространства,
• $a\subseteq q$ - подмножество множества-степени носителя векторного пространства.

Множество $a$ — совокупность носителей подпространств (англ. set of basic sets of subspaces, нем. Menge von Basis-Sets von Unterräume) векторного пространства $b$, содержащих множество $p$, если выполняются следующие условия:

1. каждый элемент множества $a$ является надмножеством множества $p$;
2. для произвольного элемента множества $a$ существует бинарная операция на множестве $r$ и функция, действующая из {прямого произведения носителя $e$ поля $d$ и множества $r$} в множество $r$, такие, что упорядоченная четвёрка множеств $r,d,s,t$ является подпространством, порождённым множеством $r$:

${\begin{cases}\Upsilon (a,\ldots ,q)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall r\quad r\in a\Leftrightarrow {\bigl (}r\supseteq p\ \land \ \Phi (a,\ldots ,r){\bigr )}\\\Phi (a,\ldots ,r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \exists s\ \exists t\quad {\Bigl (}\,s\in \mathrm {Op} ^{2}(r)\ \land \ {\bigl (}\forall u\quad u=\mathrm {CartProd} (\langle e,r\rangle )\Rightarrow t\in \mathrm {Function} (u,r){\bigr )}\,{\Bigr )}\ \land \ {\Bigl (}\forall v\quad v=\langle r,d,s,t\rangle \Rightarrow v=\mathrm {Subspace} _{b}(r,d;s,t){\Bigr )}\\\end{cases}}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,q)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {SetOfBasicSetsOfSubspaces} _{b}(p)$.

Линейная оболочка множества

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$ - множества,
• $g=\mathrm {\Sigma } (h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i\ \land \ j(k)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ l\in i\ \land \ j(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $d=\mathrm {AlgStruct} (e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm {Field} (e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(c)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle e,c\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,c)$ - функция,
• $b=\langle c,d,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b=\mathrm {VectorSpace} (c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $p\subseteq c$ - подмножество носителя векторного пространства,
• $q=\mathrm {PowerSet} (c)$ - множество-степень носителя векторного пространства,
• $r\subseteq q$ - подмножество множества-степени носителя векторного пространства,
• $r=\mathrm {SetOfBasicSetsOfSubspaces} _{b}(p)$ - совокупность носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество,
• $s=\bigcap r$ - пересечение элементов совокупности носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество,
• $t\in \mathrm {Op} ^{2}(s)$ - бинарная операция,
• $v=\mathrm {CartProd} (\langle e,s\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $u\in \mathrm {Function} (v,s)$ - функция,
• $a=\langle s,d,t,u\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств.

Упорядоченная четвёрка $a$ множеств — линейная оболочка (англ. linear span or linear hull, нем. lineare Spann oder lineare Hülle) подмножества $p$ носителя $c$ векторного пространства $b$ или кратко линейная оболочка множества $p$, если выполнены следующие условия:

1. операция $t$ является сужением операции $m$ на декартов квадрат множества $s$;
2. функция $u$ является сужением функции $n$ на множество $v$:

$\Upsilon (a,\ldots ,v)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}\forall w\quad w=\mathrm {CartProd} ^{2}(s)\Rightarrow t=m{\bigr |}_{w}\\u=n{\bigr |}_{v}\\\end{cases}}$

Из теоремы о существовании и единственности линейной оболочки множества следует справедливость следующего обозначения для линейной оболочки множества $p$ $\Upsilon (a,\ldots ,v)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {LinearSpan} _{b}(p)$.

Связанные статьи

Теорема о свойствах линейной оболочки множества.