FANDOM


Упорядоченная пара множеств Edit

Множество $ a $упорядоченная пара (англ. ordered pair, нем. geordnetes Paar) множеств $ b,c $, если множество $ a $ состоит из единичного множества множества $ b $ и пары множеств $ b,c $[1]:

$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \bigl(\, d = \{b\} \ \lor \ d = \{b,c\} \,\bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \langle b,c \rangle $.

Примечания Edit

  1. данное определение было предложено Казимиром Куратовским

Связанные определения Edit

Первая координата упорядоченной пары множеств;

Вторая координата упорядоченной пары множеств.

Из теоремы о свойствах координат упорядоченной пары множеств следует законность того, что упорядоченную пару множеств $ b,c $ будем также называть упорядоченной парой с первой координатой $ b $ и второй координатой $ c $ или кратко упорядоченной парой с координатами $ b,c $ (или упорядоченной парой).

Кортеж элементов множества Edit

Множество $ a $кортеж (англ. tuple, нем. Tupel) из $ d $ элементов множества $ b $, если множество $ a $ является функцией, действующей из множества $ d $ в множество $ b $:

$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Function}(d,b) $

Связанные определения Edit

Длина кортежа;

Координата кортежа.

Таким образом, кортеж из $ d $ элементов множества $ b $ будем также называть кортежем элементов множества $ b $ длины $ d $ или кратко кортежем.

Примеры Edit

Кортеж длины $ 0 $пустой кортеж (англ. empty tuple, нем. leere Tupel), равен пустому множеству.

Кортеж длины $ 1 $ элементов множества $ \{a\} $ — множество $ a $.

Кортеж длины $ 2 $ элементов множества $ \{a,b\} $ отождествляется с упорядоченной парой множеств $ a,b $[1].

Кортеж длины $ 3 $ элементов множества $ \{a,b,c\} $ отождествляется с упорядоченной парой {упорядоченной пары множеств $ a,b $} и множества $ c $ и т.д.

Примечания Edit
  1. так как кортеж по определению является функцией, то кортежем длины $ 2 $ элементов множества $ \{a,b\} $ так же будет упорядоченная пара множеств $ b,a $, упорядоченная пара множеств $ a,a $, упорядоченная пара множеств $ b,b $, таким образом для множества $ \{a,b\} $ всего имеется $ 4 $ возможных кортежа длины $ 2 $. Впредь, если не оговорено обратное, будем считать кортеж из $ d $ элементов некоторого множества $ c $ произвольной функцией с областью определения $ d $ и областью допустимых значений $ c $

Совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей Edit

Множество $ a $совокупность упорядоченных четвёрок (англ. set of ordered quartets, нем. Menge der geordneter Quartette) координат кортежей $ h,i,j,k $ длины $ c $ элементов множеств $ d,e,f,g $, если множество $ a $ состоит из упорядоченных четвёрок некоторых элементов областей значений кортежей $ h,i,j,k $:

$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad l\in a \Leftrightarrow \Biggl( \exists m \ \exists n \ \exists o \ \exists p \quad \Bigl( \bigl( m\in \mathrm{Range}(h) \ \land \ n\in \mathrm{Range}(i) \bigr) \ \land \ \bigl( o\in \mathrm{Range}(j) \ \land \ p\in \mathrm{Range}(k) \bigr) \Bigr) \ \land \ l = \langle m,n,o,p \rangle \Biggr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\{ \bigl\langle h(\epsilon), i(\vartheta), j(\varkappa), k(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in c \atop \vartheta\in c} \atop {\varkappa\in c \atop \varpi\in c}} $.

Кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей Edit

  • $ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l $ - множества,
  • $ b = \mathrm{N} $ - множество-бесконечность,
  • $ c\in b $ - элемент множества-бесконечности,
  • $ \bigl( h\in \mathrm{Function}(c,d) \ \land \ i\in \mathrm{Function}(c,e) \bigr) \ \land \ \bigl( j\in \mathrm{Function}(c,f) \ \land \ k\in \mathrm{Function}(c,g) \bigr) $ - кортежи элементов множеств,
  • $ l = \Bigl\{ \bigl\langle h(\epsilon), i(\vartheta), j(\varkappa), k(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in c \atop \vartheta\in c} \atop {\varkappa\in c \atop \varpi\in c}} $ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
  • $ a\in \mathrm{Function}(c,l) $ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств.

Кортеж $ a $ длины $ c $ элементов совокупности упорядоченных четвёрок $ l $ координат кортежей $ h,i,j,k $ длины $ c $ элементов множеств $ d,e,f,g $ $ a $кортеж (англ. tuple, нем. Tupel) длины $ c $ упорядоченных четвёрок координат кортежей $ h,i,j,k $ длины $ c $ элементов множеств $ d,e,f,g $, если множество $ a $ для любого элемента элемента $ c $ множества-бесконечности $ b $[1] $ m $-я координата кортежа $ a $ является упорядоченной четвёркой {$ m $-й координаты кортежа $ h $ длины $ c $ элементов множества $ d $}, {$ m $-й координаты кортежа $ i $ длины $ c $ элементов множества $ e $}, {$ m $-й координаты кортежа $ j $ длины $ c $ элементов множества $ f $}, {$ m $-й координаты кортежа $ k $ длины $ c $ элементов множества $ g $}:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m\in c \Rightarrow \Phi(a,\ldots,m)\\ \Phi(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \qquad \begin{cases} n = h(m)\\ o = i(m)\\ p = j(m)\\ q = k(m)\\ r = a(m)\\ \end{cases} \Rightarrow r = \langle n,o,p,q \rangle\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \bigl\langle h(\epsilon), i(\epsilon), j(\epsilon), k(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in c} $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный элемент элемента $ c $ множества-бесконечности $ b $ множеством $ m $
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.