Иррефлексивное отношение

Совокупность рефлексивных отношений на множестве

• $a,b$ - множества.

Множество $a$ — совокупность иррефлексивных отношений (англ. set of irreflexive relations, нем. Menge der irreflexiv Relationen) на множестве $b$, если произвольное бинарное отношение на множестве $b$ принадлежит множеству $a$ тогда и только тогда, когда бинарное отношение $c$ и диагональ множества $b$ являются взаимнодизъюнктными множествами:

$\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall c\quad c\in \mathrm {Rel} ^{2}(b)\Rightarrow {\Bigl (}\ c\in a\Leftrightarrow {\bigl (}\,\forall d\quad d=\mathrm {Diagonal} (b)\Rightarrow c\perp d\,{\bigr )}\ {\Bigr )}$

Обозначим $\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {IrreflexRel} (b)$.

Иррефлексивное отношение на множестве

• $a,b$ - множества.

Множество $a$ — иррефлексивное отношение (англ. irreflexive relation, нем. irreflexive Relation) на множестве $b$, если множество $a$ является элементом совокупности рефлексивных отношений на множестве $b$:

$\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall c\quad c=\mathrm {IrreflexRel} (b)\Rightarrow a\in c$

Обозначим $\Upsilon (a,b)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {IrreflexRel} (b)$.