Дифференцируемый оператор

Совокупность дифференцируемых в точке операторов метрического нормированного векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $w=\mathrm {Operator} (q)$ - совокупность операторов,
• $a\subseteq w$ - подмножество совокупности операторов,
• $x\in b$ - точка метрического нормированного векторного пространства.

Множество $a$ — совокупность дифференцируемых в точке $x$ операторов (англ. set of differentiable at point $x$ operators, нем. Menge von differenzierbar im Punkt $x$ Operatoren) метрического нормированного пространства $t$ кратко совокупность дифференцируемых в точке $x$ операторов, если для любого элемента множества $a$ существуют ограниченный линейный оператор и оператор, удовлетворяющие следующим условиям:

1. для произвольной точки метрического нормированного векторного пространства $t$ значение оператора $y$ от суммы векторов $x,\beta$ равно сумме {суммы значения оператора $y$ в точке $x$ и значения оператора $z$ в точке $\beta$} и значения оператора $\alpha$ в точке $\beta$;
2. предел произвольного оператора такого, что для любой точки метрического нормированного векторного пространства $t$ значение оператора $\gamma$ в точке $\delta$ равно {произведению {значения оператора $\alpha$ в точке $\delta$} на инверсию {нормы вектора $\delta$} относительно интерпретации символа бинарной операции $k$ на множестве $d$ и некоторого её нейтрального элемента}, в нулевом векторе метрического нормированного векторного пространства $t$ равен нулевому вектору метрического нормированного векторного пространства $t$:

${\begin{cases}\Upsilon (a,\ldots ,x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall y\quad y\in a\Leftrightarrow {\Bigl (}\ \exists z\ \exists \alpha \quad {\Bigl (}\,{\bigl (}z\in \mathrm {LinOperator} (q)\ \land \ z\in \mathrm {BoundedOperator} (p){\bigr )}\alpha \in \mathrm {Operator} (q)\,{\Bigr )}\ \land \ {\bigl (}\forall \beta \quad \beta \in b\Rightarrow \Phi (a,\ldots ,\beta ){\bigr )}\ {\Bigr )}\\\Phi (a,\ldots ,\beta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ y{\bigl (}m(x,\beta ){\bigr )}=m{\Bigl (}m{\bigl (}y(x),z(\beta ){\bigr )},\alpha (\beta ){\Bigr )}\ \land \ {\Bigl (}\forall \gamma \quad {\Bigl (}\,\gamma \in \mathrm {Operator} (q)\ \land \ {\bigl (}\forall \delta \quad \delta \in b\Rightarrow \mathrm {X} (a,\ldots ,\delta ){\bigr )}\,{\Bigr )}\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to {\vec {0}}_{t}}\gamma (\epsilon )={\vec {0}}_{t}{\Bigr )}\\\mathrm {X} (a,\ldots ,\delta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \exists \varepsilon \ \exists \zeta \quad {\Bigl (}\,\varepsilon \in \mathrm {Neutral} (k_{d})\ \land \ \zeta \in \mathrm {Inversion} _{k_{d}}^{\varepsilon }{\bigl (}r(\delta ){\bigr )}\,{\Bigr )}\ \land \ \gamma (\delta )=n{\bigl (}\zeta ,\alpha (\delta ){\bigr )}\\\end{cases}}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {DifferentiableOperator} _{x}(t)$.

Дифференцируемый в точке оператор метрического нормированного векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $w=\mathrm {Operator} (q)$ - совокупность операторов,
• $x\subseteq w$ - подмножество совокупности операторов,
• $y\in b$ - точка метрического нормированного векторного пространства,
• $x=\mathrm {DifferentiableOperator} _{y}(t)$ - совокупность дифференцируемых в точке операторов,
• $a\in x$ - элемент совокупности дифференцируемых в точке операторов.

Множество $a$ — дифференцируемый в точке $y$ оператор (англ. differentiable at point $y$ operator, нем. differenzierbar im Punkt $y$ Operator) метрического нормированного векторного пространства $t$ или кратко дифференцируемый в точке $y$ оператор.

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {DifferentiableOperator} _{y}(t)$.

Совокупность дифференцируемых операторов метрического нормированного векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $w=\mathrm {Operator} (q)$ - совокупность операторов,
• $a\subseteq w$ - подмножество совокупности операторов.

Множество $a$ — совокупность дифференцируемых операторов (англ. set of differentiable operators, нем. Menge von differenzierbar Operatoren) метрического нормированного векторного пространства $t$ или кратко совокупность дифференцируемых операторов, если для любого элемента множества $a$ и для каждой точки метрического нормированного векторного пространства $t$ оператор $x$ является дифференцируемым в точке $y$ оператором:

$\Upsilon (a,\ldots ,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall x\quad x\in a\Leftrightarrow {\bigl (}\forall y\quad y\in b\Rightarrow x\in \mathrm {DifferentiableOperator} _{y}(t){\bigr )}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {DifferentiableOperator} (t)$.

Дифференцируемый оператор метрического нормированного векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $w=\mathrm {Operator} (q)$ - совокупность операторов,
• $x\subseteq w$ - подмножество совокупности операторов,
• $x=\mathrm {DifferentiableOperator} (t)$ - совокупность дифференцируемых операторов,
• $a\in x$ - элемент совокупности дифференцируемых операторов.

Множество $a$ — дифференцируемый оператор (англ. differentiable operator, нем. differenzierbar Operator) метрического нормированного векторного пространства $t$ или кратко дифференцируемый оператор.

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {DifferentiableOperator} (t)$.