Совокупность дифференцируемых в точке отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
,
p
,
q
,
r
,
s
,
t
,
u
,
v
,
w
,
x
,
y
,
z
,
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ε
,
ζ
,
η
,
θ
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,\theta }
- множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
- сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
- символ унарной операции ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
- символы бинарных операций,
l
∈
g
∧
i
(
l
)
=
2
N
{\displaystyle l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}}
- символ бинарного отношения ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
- алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
- поле ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
S
t
r
u
c
t
(
d
;
l
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)}
- линейно упорядоченная структура ,
m
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Op}^2(b)}
- бинарная операция,
o
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
- прямое произведение двух множеств,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
o
,
b
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Function}(o,b)}
- функция ,
q
=
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle q = \langle b,c,m,n \rangle}
- упорядоченная четвёрка множеств,
q
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
)
{\displaystyle q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)}
- векторное пространство ,
s
=
|
∘
|
j
c
l
c
{\displaystyle s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}}
- операция взятия модуля .
r
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
q
)
{\displaystyle r\in \mathrm{Functional}(q)}
- функционал ,
p
=
⟨
q
,
r
⟩
{\displaystyle p = \langle q,r \rangle}
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
p
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
)
{\displaystyle p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)}
- нормированное векторное пространство ,
v
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
b
)
{\displaystyle v = \mathrm{CartPower}^2(b)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
u
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
v
,
d
)
{\displaystyle u\in \mathrm{Function}(v,d)}
- функция,
t
=
⟨
p
,
u
⟩
{\displaystyle t = \langle p,u \rangle}
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
t
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
,
u
)
{\displaystyle t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)}
- метрическое нормированное векторное пространство ,
x
∈
O
p
2
(
w
)
{\displaystyle x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)}
- бинарная операция,
z
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
w
⟩
)
{\displaystyle z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )}
- прямое произведение двух множеств,
y
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
z
,
b
)
{\displaystyle y\in \mathrm {Function} (z,b)}
- функция,
α
=
⟨
w
,
c
,
x
,
y
⟩
{\displaystyle \alpha =\langle w,c,x,y\rangle }
- упорядоченная четвёрка множеств,
α
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
)
{\displaystyle \alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)}
- векторное пространство,
β
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
α
)
{\displaystyle \beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )}
- функционал,
γ
=
⟨
α
,
β
⟩
{\displaystyle \gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle }
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
γ
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
)
{\displaystyle \gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )}
- нормированное векторное пространство,
δ
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
w
)
{\displaystyle \delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
ε
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
δ
,
d
)
{\displaystyle \varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)}
- функция,
ζ
=
⟨
γ
,
ε
⟩
{\displaystyle \zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle }
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
ζ
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
,
ε
)
{\displaystyle \zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )}
- метрическое нормированное векторное пространство,
η
=
M
a
p
(
q
,
α
)
{\displaystyle \eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )}
- совокупность отображений ,
a
⊆
η
{\displaystyle a\subseteq \eta }
- подмножество совокупности отображений,
θ
∈
b
{\displaystyle \theta \in b}
- точка метрического нормированного векторного пространства.
Множество
a
{\displaystyle a}
— совокупность дифференцируемых в точке
θ
{\displaystyle \theta}
отображений (англ. set of differentiable at point
θ
{\displaystyle \theta}
maps , нем. Menge von differenzierbar im Punkt
θ
{\displaystyle \theta}
Abbildungen ), действующих из метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
в метрическое нормированное векторного пространство
ζ
{\displaystyle \zeta}
, или кратко совокупность дифференцируемых в точке
θ
{\displaystyle \theta}
отображений , если для любого элемента множества
a
{\displaystyle a}
[1] существуют ограниченное линейное отображение [2] и отображение[3] , удовлетворяющие следующим условиям:
для произвольной точки метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
[4] значение отображения
ι
{\displaystyle \iota}
от суммы векторов
θ
,
μ
{\displaystyle \theta ,\mu }
равно сумме {суммы значения отображения
ι
{\displaystyle \iota}
в точке
θ
{\displaystyle \theta}
и значения отображения
κ
{\displaystyle \kappa}
в точке
μ
{\displaystyle \mu}
} и значения отображения
λ
{\displaystyle \lambda}
в точке
μ
{\displaystyle \mu}
;
предел произвольного отображения[5] такого, что для любой точки метрического нормированного пространства
t
{\displaystyle t}
[6] значение отображения
ν
{\displaystyle \nu}
в точке
ξ
{\displaystyle \xi}
равно {произведению {значения отображения
λ
{\displaystyle \lambda}
в точке
ξ
{\displaystyle \xi}
} на инверсию {нормы вектора
ξ
{\displaystyle \xi}
} относительно интерпретации символа бинарной операции
k
{\displaystyle k}
на множестве
d
{\displaystyle d}
и некоторого её нейтрального элемента }, в нулевом векторе метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
равен нулевому вектору метрического нормированного векторного пространства
ζ
{\displaystyle \zeta}
:
{
Υ
(
a
,
…
,
θ
)
=
d
e
f
∀
ι
ι
∈
a
⇔
(
∃
κ
∃
λ
(
(
κ
∈
L
i
n
M
a
p
(
q
,
α
)
∧
κ
∈
B
o
u
n
d
e
d
M
a
p
(
p
,
γ
)
)
∧
λ
∈
M
a
p
(
q
,
α
)
)
∧
(
∀
μ
μ
∈
b
⇒
Φ
(
a
,
…
,
μ
)
)
)
Φ
(
a
,
…
,
μ
)
=
d
e
f
ι
(
m
(
θ
,
μ
)
)
=
x
(
x
(
ι
(
θ
)
,
κ
(
μ
)
)
,
λ
(
μ
)
)
∧
(
∀
ν
(
ν
∈
M
a
p
(
q
,
α
)
∧
(
∀
ξ
ξ
∈
b
⇒
X
(
a
,
…
,
ξ
)
)
)
⇒
lim
ϵ
→
0
→
t
ν
(
ϵ
)
=
0
→
ζ
)
X
(
a
,
…
,
ξ
)
=
d
e
f
∃
π
∃
ρ
(
π
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
k
d
)
∧
ρ
∈
I
n
v
e
r
s
i
o
n
k
d
π
(
r
(
ξ
)
)
)
∧
ν
(
ξ
)
=
y
(
ρ
,
λ
(
ξ
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}\Upsilon (a,\ldots ,\theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall \iota \quad \iota \in a\Leftrightarrow {\Bigl (}\ \exists \kappa \ \exists \lambda \quad {\Bigl (}\,{\bigl (}\kappa \in \mathrm {LinMap} (q,\alpha )\ \land \ \kappa \in \mathrm {BoundedMap} (p,\gamma ){\bigr )}\ \land \ \lambda \in \mathrm {Map} (q,\alpha )\,{\Bigr )}\ \land \ {\bigl (}\forall \mu \quad \mu \in b\Rightarrow \Phi (a,\ldots ,\mu ){\bigr )}\ {\Bigr )}\\\Phi (a,\ldots ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iota {\bigl (}m(\theta ,\mu ){\bigr )}=x{\Bigl (}x{\bigl (}\iota (\theta ),\kappa (\mu ){\bigr )},\lambda (\mu ){\Bigr )}\ \land \ {\Bigl (}\forall \nu \quad {\Bigl (}\,\nu \in \mathrm {Map} (q,\alpha )\ \land \ {\bigl (}\forall \xi \quad \xi \in b\Rightarrow \mathrm {X} (a,\ldots ,\xi ){\bigr )}\,{\Bigr )}\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to {\vec {0}}_{t}}\nu (\epsilon )={\vec {0}}_{\zeta }{\Bigr )}\\\mathrm {X} (a,\ldots ,\xi )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \exists \pi \ \exists \rho \quad {\Bigl (}\,\pi \in \mathrm {Neutral} (k_{d})\ \land \ \rho \in \mathrm {Inversion} _{k_{d}}^{\pi }{\bigl (}r(\xi ){\bigr )}\,{\Bigr )}\ \land \ \nu (\xi )=y{\bigl (}\rho ,\lambda (\xi ){\bigr )}\\\end{cases}}}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
θ
)
=
d
e
f
a
=
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
θ
(
t
,
ζ
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,\theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {DifferentiableMap} _{\theta }(t,\zeta )}
.
Примечания [ ]
↑ для определённости назовём данный элемент отображением
ι
{\displaystyle \iota}
↑ для определённости назовём данное ограниченное линейное отображение отображением
κ
{\displaystyle \kappa}
↑ для определённости назовём данное отображение отображением
λ
{\displaystyle \lambda}
↑ для определённости назовём данную точку точкой
μ
{\displaystyle \mu}
↑ для определённости назовём данное отображение отображением
ν
{\displaystyle \nu}
↑ для определённости назовём данную точку точкой
ξ
{\displaystyle \xi}
Дифференцируемое в точке отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
,
p
,
q
,
r
,
s
,
t
,
u
,
v
,
w
,
x
,
y
,
z
,
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ε
,
ζ
,
η
,
θ
,
ι
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,\theta ,\iota }
- множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
- сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
- символ унарной операции ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
- символы бинарных операций,
l
∈
g
∧
i
(
l
)
=
2
N
{\displaystyle l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}}
- символ бинарного отношения ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
- алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
- поле ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
S
t
r
u
c
t
(
d
;
l
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)}
- линейно упорядоченная структура ,
m
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Op}^2(b)}
- бинарная операция,
o
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
- прямое произведение двух множеств,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
o
,
b
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Function}(o,b)}
- функция ,
q
=
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle q = \langle b,c,m,n \rangle}
- упорядоченная четвёрка множеств,
q
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
)
{\displaystyle q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)}
- векторное пространство ,
s
=
|
∘
|
j
c
l
c
{\displaystyle s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}}
- операция взятия модуля .
r
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
q
)
{\displaystyle r\in \mathrm{Functional}(q)}
- функционал ,
p
=
⟨
q
,
r
⟩
{\displaystyle p = \langle q,r \rangle}
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
p
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
)
{\displaystyle p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)}
- нормированное векторное пространство ,
v
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
b
)
{\displaystyle v = \mathrm{CartPower}^2(b)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
u
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
v
,
d
)
{\displaystyle u\in \mathrm{Function}(v,d)}
- функция,
t
=
⟨
p
,
u
⟩
{\displaystyle t = \langle p,u \rangle}
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
t
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
,
u
)
{\displaystyle t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)}
- метрическое нормированное векторное пространство ,
x
∈
O
p
2
(
w
)
{\displaystyle x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)}
- бинарная операция,
z
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
w
⟩
)
{\displaystyle z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )}
- прямое произведение двух множеств,
y
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
z
,
b
)
{\displaystyle y\in \mathrm {Function} (z,b)}
- функция,
α
=
⟨
w
,
c
,
x
,
y
⟩
{\displaystyle \alpha =\langle w,c,x,y\rangle }
- упорядоченная четвёрка множеств,
α
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
)
{\displaystyle \alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)}
- векторное пространство,
β
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
α
)
{\displaystyle \beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )}
- функционал,
γ
=
⟨
α
,
β
⟩
{\displaystyle \gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle }
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
γ
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
)
{\displaystyle \gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )}
- нормированное векторное пространство,
δ
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
w
)
{\displaystyle \delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
ε
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
δ
,
d
)
{\displaystyle \varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)}
- функция,
ζ
=
⟨
γ
,
ε
⟩
{\displaystyle \zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle }
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
ζ
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
,
ε
)
{\displaystyle \zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )}
- метрическое нормированное векторное пространство,
η
=
M
a
p
(
q
,
α
)
{\displaystyle \eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )}
- совокупность отображений ,
θ
⊆
η
{\displaystyle \theta \subseteq \eta }
- подмножество совокупности отображений,
ι
∈
b
{\displaystyle \iota \in b}
- точка метрического нормированного векторного пространства,
θ
=
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
ι
(
t
,
ζ
)
{\displaystyle \theta =\mathrm {DifferentiableMap} _{\iota }(t,\zeta )}
- совокупность дифференцируемых в точке отображений ,
a
∈
θ
{\displaystyle a\in \theta }
- элемент совокупности дифференцируемых в точке отображений.
Множество
a
{\displaystyle a}
— дифференцируемое в точке
ι
{\displaystyle \iota}
отображение (англ. differentiable at point
ι
{\displaystyle \iota}
map , нем. differenzierbar im Punkt
ι
{\displaystyle \iota}
Abbildung ), действующее из метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
в метрическое нормированное векторное пространство
ζ
{\displaystyle \zeta}
, или кратко дифференцируемое в точке
ι
{\displaystyle \iota}
отображение .
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
ι
)
=
d
e
f
a
∈
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
ι
(
t
,
ζ
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,\iota )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {DifferentiableMap} _{\iota }(t,\zeta )}
.
Совокупность дифференцируемых отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
,
p
,
q
,
r
,
s
,
t
,
u
,
v
,
w
,
x
,
y
,
z
,
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ε
,
ζ
,
η
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta }
- множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
- сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
- символ унарной операции ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
- символы бинарных операций,
l
∈
g
∧
i
(
l
)
=
2
N
{\displaystyle l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}}
- символ бинарного отношения ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
- алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
- поле ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
S
t
r
u
c
t
(
d
;
l
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)}
- линейно упорядоченная структура ,
m
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Op}^2(b)}
- бинарная операция,
o
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
- прямое произведение двух множеств,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
o
,
b
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Function}(o,b)}
- функция ,
q
=
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle q = \langle b,c,m,n \rangle}
- упорядоченная четвёрка множеств,
q
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
)
{\displaystyle q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)}
- векторное пространство ,
s
=
|
∘
|
j
c
l
c
{\displaystyle s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}}
- операция взятия модуля .
r
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
q
)
{\displaystyle r\in \mathrm{Functional}(q)}
- функционал ,
p
=
⟨
q
,
r
⟩
{\displaystyle p = \langle q,r \rangle}
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
p
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
)
{\displaystyle p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)}
- нормированное векторное пространство ,
v
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
b
)
{\displaystyle v = \mathrm{CartPower}^2(b)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
u
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
v
,
d
)
{\displaystyle u\in \mathrm{Function}(v,d)}
- функция,
t
=
⟨
p
,
u
⟩
{\displaystyle t = \langle p,u \rangle}
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
t
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
,
u
)
{\displaystyle t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)}
- метрическое нормированное векторное пространство ,
x
∈
O
p
2
(
w
)
{\displaystyle x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)}
- бинарная операция,
z
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
w
⟩
)
{\displaystyle z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )}
- прямое произведение двух множеств,
y
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
z
,
b
)
{\displaystyle y\in \mathrm {Function} (z,b)}
- функция,
α
=
⟨
w
,
c
,
x
,
y
⟩
{\displaystyle \alpha =\langle w,c,x,y\rangle }
- упорядоченная четвёрка множеств,
α
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
)
{\displaystyle \alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)}
- векторное пространство,
β
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
α
)
{\displaystyle \beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )}
- функционал,
γ
=
⟨
α
,
β
⟩
{\displaystyle \gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle }
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
γ
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
)
{\displaystyle \gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )}
- нормированное векторное пространство,
δ
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
w
)
{\displaystyle \delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
ε
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
δ
,
d
)
{\displaystyle \varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)}
- функция,
ζ
=
⟨
γ
,
ε
⟩
{\displaystyle \zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle }
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
ζ
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
,
ε
)
{\displaystyle \zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )}
- метрическое нормированное векторное пространство,
η
=
M
a
p
(
q
,
α
)
{\displaystyle \eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )}
- совокупность отображений ,
a
⊆
η
{\displaystyle a\subseteq \eta }
- подмножество совокупности отображений.
Множество
a
{\displaystyle a}
— совокупность дифференцируемых отображений (англ. set of differentiable maps , нем. Menge von differenzierbar Abbildungen ), действующих из метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
в метрическое нормированное векторное пространство
ζ
{\displaystyle \zeta}
, или кратко совокупность дифференцируемых отображений , если для любого элемента множества
a
{\displaystyle a}
[1] и для каждой точки метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
[2] отображение
θ
{\displaystyle \theta}
является дифференцируемым в точке
ι
{\displaystyle \iota}
отображением :
Υ
(
a
,
…
,
η
)
=
d
e
f
∀
θ
θ
∈
a
⇔
(
∀
ι
ι
∈
b
⇒
θ
∈
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
ι
(
t
,
ζ
)
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,\eta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall \theta \quad \theta \in a\Leftrightarrow {\bigl (}\forall \iota \quad \iota \in b\Rightarrow \theta \in \mathrm {DifferentiableMap} _{\iota }(t,\zeta ){\bigr )}}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
θ
)
=
d
e
f
a
=
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
(
t
,
ζ
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,\theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {DifferentiableMap} (t,\zeta )}
.
Примечания [ ]
↑ для определённости назовём данный элемент отображением
θ
{\displaystyle \theta}
↑ для определённости назовём данную точку точкой
ι
{\displaystyle \iota}
Дифференцируемое отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
,
p
,
q
,
r
,
s
,
t
,
u
,
v
,
w
,
x
,
y
,
z
,
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ε
,
ζ
,
η
,
θ
,
ι
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,\theta ,\iota }
- множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
- сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
- символ унарной операции ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
- символы бинарных операций,
l
∈
g
∧
i
(
l
)
=
2
N
{\displaystyle l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}}
- символ бинарного отношения ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
- алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
- поле ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
S
t
r
u
c
t
(
d
;
l
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)}
- линейно упорядоченная структура ,
m
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Op}^2(b)}
- бинарная операция,
o
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
- прямое произведение двух множеств,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
o
,
b
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Function}(o,b)}
- функция ,
q
=
⟨
b
,
c
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle q = \langle b,c,m,n \rangle}
- упорядоченная четвёрка множеств,
q
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
)
{\displaystyle q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)}
- векторное пространство ,
s
=
|
∘
|
j
c
l
c
{\displaystyle s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}}
- операция взятия модуля .
r
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
q
)
{\displaystyle r\in \mathrm{Functional}(q)}
- функционал ,
p
=
⟨
q
,
r
⟩
{\displaystyle p = \langle q,r \rangle}
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
p
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
)
{\displaystyle p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)}
- нормированное векторное пространство ,
v
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
b
)
{\displaystyle v = \mathrm{CartPower}^2(b)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
u
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
v
,
d
)
{\displaystyle u\in \mathrm{Function}(v,d)}
- функция,
t
=
⟨
p
,
u
⟩
{\displaystyle t = \langle p,u \rangle}
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
t
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
m
,
n
,
r
,
u
)
{\displaystyle t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)}
- метрическое нормированное векторное пространство ,
x
∈
O
p
2
(
w
)
{\displaystyle x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)}
- бинарная операция,
z
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
w
⟩
)
{\displaystyle z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )}
- прямое произведение двух множеств,
y
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
z
,
b
)
{\displaystyle y\in \mathrm {Function} (z,b)}
- функция,
α
=
⟨
w
,
c
,
x
,
y
⟩
{\displaystyle \alpha =\langle w,c,x,y\rangle }
- упорядоченная четвёрка множеств,
α
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
)
{\displaystyle \alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)}
- векторное пространство,
β
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
α
)
{\displaystyle \beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )}
- функционал,
γ
=
⟨
α
,
β
⟩
{\displaystyle \gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle }
- упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
γ
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
)
{\displaystyle \gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )}
- нормированное векторное пространство,
δ
=
C
a
r
t
P
o
w
e
r
2
(
w
)
{\displaystyle \delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)}
- декартов квадрат носителя векторного пространства,
ε
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
δ
,
d
)
{\displaystyle \varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)}
- функция,
ζ
=
⟨
γ
,
ε
⟩
{\displaystyle \zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle }
- упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
ζ
=
M
e
t
r
i
c
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
w
,
c
;
x
,
y
,
β
,
ε
)
{\displaystyle \zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )}
- метрическое нормированное векторное пространство,
η
=
M
a
p
(
q
,
α
)
{\displaystyle \eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )}
- совокупность отображений ,
θ
⊆
η
{\displaystyle \theta \subseteq \eta }
- подмножество совокупности отображений,
θ
=
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
(
t
,
ζ
)
{\displaystyle \theta =\mathrm {DifferentiableMap} (t,\zeta )}
- совокупность дифференцируемых в точке отображений ,
a
∈
θ
{\displaystyle a\in \theta }
- элемент совокупности дифференцируемых отображений.
Множество
a
{\displaystyle a}
— дифференцируемое отображение (англ. differentiable map , нем. differenzierbar Abbildung ), действующее из метрического нормированного векторного пространства
t
{\displaystyle t}
в метрическое нормированное векторное пространство
ζ
{\displaystyle \zeta}
, или кратко дифференцируемое отображение .
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
ι
)
=
d
e
f
a
∈
D
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
b
l
e
M
a
p
(
t
,
ζ
)
{\displaystyle \Upsilon (a,\ldots ,\iota )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {DifferentiableMap} (t,\zeta )}
.