Совокупность дифференцируемых в точке отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство 
Edit
- $ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta,\theta $ - множества,
- $ f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i) $ - сигнатура,
- $ \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N} $ - символ унарной операции,
- $ j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N} $ - символы бинарных операций,
- $ l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N} $ - символ бинарного отношения,
- $ c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f) $ - алгебраическая структура,
- $ c\in \mathrm{Field}(d;j,k) $ - поле,
- $ c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l) $ - линейно упорядоченная структура,
- $ m\in \mathrm{Op}^2(b) $ - бинарная операция,
- $ o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ n\in \mathrm{Function}(o,b) $ - функция,
- $ q = \langle b,c,m,n \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n) $ - векторное пространство,
- $ s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c} $ - операция взятия модуля.
- $ r\in \mathrm{Functional}(q) $ - функционал,
- $ p = \langle q,r \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r) $ - нормированное векторное пространство,
- $ v = \mathrm{CartPower}^2(b) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ u\in \mathrm{Function}(v,d) $ - функция,
- $ t = \langle p,u \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ x\in \mathrm{Op}^2(w) $ - бинарная операция,
- $ z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ y\in \mathrm{Function}(z,b) $ - функция,
- $ \alpha = \langle w,c,x,y \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ \alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y) $ - векторное пространство,
- $ \beta\in \mathrm{Functional}(\alpha) $ - функционал,
- $ \gamma = \langle \alpha,\beta \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ \gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta) $ - нормированное векторное пространство,
- $ \delta = \mathrm{CartPower}^2(w) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ \varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d) $ - функция,
- $ \zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ \zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ \eta = \mathrm{Map}(q,\alpha) $ - совокупность отображений,
- $ a\subseteq \eta $ - подмножество совокупности отображений,
- $ \theta\in b $ - точка метрического нормированного векторного пространства.
Множество $ a $ — совокупность дифференцируемых в точке $ \theta $ отображений (англ. set of differentiable at point $ \theta $ maps, нем. Menge von differenzierbar im Punkt $ \theta $ Abbildungen), действующих из метрического нормированного векторного пространства $ t $ в метрическое нормированное векторного пространство $ \zeta $, или кратко совокупность дифференцируемых в точке $ \theta $ отображений, если для любого элемента множества $ a $[1] существуют ограниченное линейное отображение[2] и отображение[3], удовлетворяющие следующим условиям:
- для произвольной точки метрического нормированного векторного пространства $ t $[4] значение отображения $ \iota $ от суммы векторов $ \theta,\mu $ равно сумме {суммы значения отображения $ \iota $ в точке $ \theta $ и значения отображения $ \kappa $ в точке $ \mu $} и значения отображения $ \lambda $ в точке $ \mu $;
- предел произвольного отображения[5] такого, что для любой точки метрического нормированного пространства $ t $[6] значение отображения $ \nu $ в точке $ \xi $ равно {произведению {значения отображения $ \lambda $ в точке $ \xi $} на инверсию {нормы вектора $ \xi $} относительно интерпретации символа бинарной операции $ k $ на множестве $ d $ и некоторого её нейтрального элемента}, в нулевом векторе метрического нормированного векторного пространства $ t $ равен нулевому вектору метрического нормированного векторного пространства $ \zeta $:
$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,\theta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \iota \quad \iota\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists \kappa \ \exists \lambda \quad \Bigl(\, \bigl( \kappa\in \mathrm{LinMap}(q,\alpha) \ \land \ \kappa\in \mathrm{BoundedMap}(p,\gamma) \bigr) \ \land \ \lambda\in \mathrm{Map}(q,\alpha) \,\Bigr) \ \land \ \bigl( \forall \mu \quad \mu\in b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,\mu) \bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,\mu) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \iota\bigl(m(\theta,\mu)\bigr) = x\Bigl( x\bigl( \iota(\theta),\kappa(\mu) \bigr),\lambda(\mu) \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall \nu \quad \Bigl(\, \nu\in \mathrm{Map}(q,\alpha) \ \land \ \bigl( \forall \xi \quad \xi\in b \Rightarrow \Chi(a,\ldots,\xi) \bigr) \,\Bigr) \Rightarrow \lim\limits_{\epsilon\to \vec{0}_t} \nu(\epsilon) = \vec{0}_\zeta \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,\xi) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \pi \ \exists \rho \quad \Bigl(\, \pi\in \mathrm{Neutral}(k_d) \ \land \ \rho\in\mathrm{Inversion}_{k_d}^\pi\bigl( r(\xi) \bigr) \,\Bigr) \ \land \ \nu(\xi) = y\bigl( \rho,\lambda(\xi) \bigr)\\ \end{cases} $
Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,\theta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DifferentiableMap}_\theta(t,\zeta) $.
Примечания Edit
- ↑ для определённости назовём данный элемент отображением $ \iota $
- ↑ для определённости назовём данное ограниченное линейное отображение отображением $ \kappa $
- ↑ для определённости назовём данное отображение отображением $ \lambda $
- ↑ для определённости назовём данную точку точкой $ \mu $
- ↑ для определённости назовём данное отображение отображением $ \nu $
- ↑ для определённости назовём данную точку точкой $ \xi $
Дифференцируемое в точке отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство Edit
- $ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta,\theta,\iota $ - множества,
- $ f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i) $ - сигнатура,
- $ \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N} $ - символ унарной операции,
- $ j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N} $ - символы бинарных операций,
- $ l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N} $ - символ бинарного отношения,
- $ c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f) $ - алгебраическая структура,
- $ c\in \mathrm{Field}(d;j,k) $ - поле,
- $ c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l) $ - линейно упорядоченная структура,
- $ m\in \mathrm{Op}^2(b) $ - бинарная операция,
- $ o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ n\in \mathrm{Function}(o,b) $ - функция,
- $ q = \langle b,c,m,n \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n) $ - векторное пространство,
- $ s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c} $ - операция взятия модуля.
- $ r\in \mathrm{Functional}(q) $ - функционал,
- $ p = \langle q,r \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r) $ - нормированное векторное пространство,
- $ v = \mathrm{CartPower}^2(b) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ u\in \mathrm{Function}(v,d) $ - функция,
- $ t = \langle p,u \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ x\in \mathrm{Op}^2(w) $ - бинарная операция,
- $ z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ y\in \mathrm{Function}(z,b) $ - функция,
- $ \alpha = \langle w,c,x,y \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ \alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y) $ - векторное пространство,
- $ \beta\in \mathrm{Functional}(\alpha) $ - функционал,
- $ \gamma = \langle \alpha,\beta \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ \gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta) $ - нормированное векторное пространство,
- $ \delta = \mathrm{CartPower}^2(w) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ \varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d) $ - функция,
- $ \zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ \zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ \eta = \mathrm{Map}(q,\alpha) $ - совокупность отображений,
- $ \theta\subseteq \eta $ - подмножество совокупности отображений,
- $ \iota\in b $ - точка метрического нормированного векторного пространства,
- $ \theta = \mathrm{DifferentiableMap}_\iota(t,\zeta) $ - совокупность дифференцируемых в точке отображений,
- $ a\in \theta $ - элемент совокупности дифференцируемых в точке отображений.
Множество $ a $ — дифференцируемое в точке $ \iota $ отображение (англ. differentiable at point $ \iota $ map, нем. differenzierbar im Punkt $ \iota $ Abbildung), действующее из метрического нормированного векторного пространства $ t $ в метрическое нормированное векторное пространство $ \zeta $, или кратко дифференцируемое в точке $ \iota $ отображение.
Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,\iota) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DifferentiableMap}_\iota(t,\zeta) $.
Совокупность дифференцируемых отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство Edit
- $ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta $ - множества,
- $ f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i) $ - сигнатура,
- $ \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N} $ - символ унарной операции,
- $ j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N} $ - символы бинарных операций,
- $ l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N} $ - символ бинарного отношения,
- $ c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f) $ - алгебраическая структура,
- $ c\in \mathrm{Field}(d;j,k) $ - поле,
- $ c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l) $ - линейно упорядоченная структура,
- $ m\in \mathrm{Op}^2(b) $ - бинарная операция,
- $ o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ n\in \mathrm{Function}(o,b) $ - функция,
- $ q = \langle b,c,m,n \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n) $ - векторное пространство,
- $ s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c} $ - операция взятия модуля.
- $ r\in \mathrm{Functional}(q) $ - функционал,
- $ p = \langle q,r \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r) $ - нормированное векторное пространство,
- $ v = \mathrm{CartPower}^2(b) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ u\in \mathrm{Function}(v,d) $ - функция,
- $ t = \langle p,u \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ x\in \mathrm{Op}^2(w) $ - бинарная операция,
- $ z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ y\in \mathrm{Function}(z,b) $ - функция,
- $ \alpha = \langle w,c,x,y \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ \alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y) $ - векторное пространство,
- $ \beta\in \mathrm{Functional}(\alpha) $ - функционал,
- $ \gamma = \langle \alpha,\beta \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ \gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta) $ - нормированное векторное пространство,
- $ \delta = \mathrm{CartPower}^2(w) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ \varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d) $ - функция,
- $ \zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ \zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ \eta = \mathrm{Map}(q,\alpha) $ - совокупность отображений,
- $ a\subseteq \eta $ - подмножество совокупности отображений.
Множество $ a $ — совокупность дифференцируемых отображений (англ. set of differentiable maps, нем. Menge von differenzierbar Abbildungen), действующих из метрического нормированного векторного пространства $ t $ в метрическое нормированное векторное пространство $ \zeta $, или кратко совокупность дифференцируемых отображений, если для любого элемента множества $ a $[1] и для каждой точки метрического нормированного векторного пространства $ t $[2] отображение $ \theta $ является дифференцируемым в точке $ \iota $ отображением:
$ \Upsilon(a,\ldots,\eta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \theta \quad \theta\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall \iota \quad \iota\in b \Rightarrow \theta\in \mathrm{DifferentiableMap}_\iota(t,\zeta) \bigr) $
Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,\theta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DifferentiableMap}(t,\zeta) $.
Примечания Edit
- ↑ для определённости назовём данный элемент отображением $ \theta $
- ↑ для определённости назовём данную точку точкой $ \iota $
Дифференцируемое отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство Edit
- $ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta,\theta,\iota $ - множества,
- $ f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i) $ - сигнатура,
- $ \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N} $ - символ унарной операции,
- $ j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N} $ - символы бинарных операций,
- $ l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N} $ - символ бинарного отношения,
- $ c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f) $ - алгебраическая структура,
- $ c\in \mathrm{Field}(d;j,k) $ - поле,
- $ c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l) $ - линейно упорядоченная структура,
- $ m\in \mathrm{Op}^2(b) $ - бинарная операция,
- $ o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ n\in \mathrm{Function}(o,b) $ - функция,
- $ q = \langle b,c,m,n \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n) $ - векторное пространство,
- $ s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c} $ - операция взятия модуля.
- $ r\in \mathrm{Functional}(q) $ - функционал,
- $ p = \langle q,r \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r) $ - нормированное векторное пространство,
- $ v = \mathrm{CartPower}^2(b) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ u\in \mathrm{Function}(v,d) $ - функция,
- $ t = \langle p,u \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ x\in \mathrm{Op}^2(w) $ - бинарная операция,
- $ z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle) $ - прямое произведение двух множеств,
- $ y\in \mathrm{Function}(z,b) $ - функция,
- $ \alpha = \langle w,c,x,y \rangle $ - упорядоченная четвёрка множеств,
- $ \alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y) $ - векторное пространство,
- $ \beta\in \mathrm{Functional}(\alpha) $ - функционал,
- $ \gamma = \langle \alpha,\beta \rangle $ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
- $ \gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta) $ - нормированное векторное пространство,
- $ \delta = \mathrm{CartPower}^2(w) $ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
- $ \varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d) $ - функция,
- $ \zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle $ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
- $ \zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon) $ - метрическое нормированное векторное пространство,
- $ \eta = \mathrm{Map}(q,\alpha) $ - совокупность отображений,
- $ \theta\subseteq \eta $ - подмножество совокупности отображений,
- $ \theta = \mathrm{DifferentiableMap}(t,\zeta) $ - совокупность дифференцируемых в точке отображений,
- $ a\in \theta $ - элемент совокупности дифференцируемых отображений.
Множество $ a $ — дифференцируемое отображение (англ. differentiable map, нем. differenzierbar Abbildung), действующее из метрического нормированного векторного пространства $ t $ в метрическое нормированное векторное пространство $ \zeta $, или кратко дифференцируемое отображение.
Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,\iota) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DifferentiableMap}(t,\zeta) $.
