Дифференцируемое отображение

Совокупность дифференцируемых в точке отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,\theta$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)$ - бинарная операция,
• $z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $y\in \mathrm {Function} (z,b)$ - функция,
• $\alpha =\langle w,c,x,y\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $\alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)$ - векторное пространство,
• $\beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )$ - функционал,
• $\gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $\gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )$ - нормированное векторное пространство,
• $\delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $\varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)$ - функция,
• $\zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $\zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $\eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )$ - совокупность отображений,
• $a\subseteq \eta$ - подмножество совокупности отображений,
• $\theta \in b$ - точка метрического нормированного векторного пространства.

Множество $a$ — совокупность дифференцируемых в точке $\theta$ отображений (англ. set of differentiable at point $\theta$ maps, нем. Menge von differenzierbar im Punkt $\theta$ Abbildungen), действующих из метрического нормированного векторного пространства $t$ в метрическое нормированное векторного пространство $\zeta$, или кратко совокупность дифференцируемых в точке $\theta$ отображений, если для любого элемента множества $a$ существуют ограниченное линейное отображение и отображение, удовлетворяющие следующим условиям:

1. для произвольной точки метрического нормированного векторного пространства $t$ значение отображения $\iota$ от суммы векторов $\theta ,\mu$ равно сумме {суммы значения отображения $\iota$ в точке $\theta$ и значения отображения $\kappa$ в точке $\mu$} и значения отображения $\lambda$ в точке $\mu$;
2. предел произвольного отображения такого, что для любой точки метрического нормированного пространства $t$ значение отображения $\nu$ в точке $\xi$ равно {произведению {значения отображения $\lambda$ в точке $\xi$} на инверсию {нормы вектора $\xi$} относительно интерпретации символа бинарной операции $k$ на множестве $d$ и некоторого её нейтрального элемента}, в нулевом векторе метрического нормированного векторного пространства $t$ равен нулевому вектору метрического нормированного векторного пространства $\zeta$:

${\begin{cases}\Upsilon (a,\ldots ,\theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall \iota \quad \iota \in a\Leftrightarrow {\Bigl (}\ \exists \kappa \ \exists \lambda \quad {\Bigl (}\,{\bigl (}\kappa \in \mathrm {LinMap} (q,\alpha )\ \land \ \kappa \in \mathrm {BoundedMap} (p,\gamma ){\bigr )}\ \land \ \lambda \in \mathrm {Map} (q,\alpha )\,{\Bigr )}\ \land \ {\bigl (}\forall \mu \quad \mu \in b\Rightarrow \Phi (a,\ldots ,\mu ){\bigr )}\ {\Bigr )}\\\Phi (a,\ldots ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iota {\bigl (}m(\theta ,\mu ){\bigr )}=x{\Bigl (}x{\bigl (}\iota (\theta ),\kappa (\mu ){\bigr )},\lambda (\mu ){\Bigr )}\ \land \ {\Bigl (}\forall \nu \quad {\Bigl (}\,\nu \in \mathrm {Map} (q,\alpha )\ \land \ {\bigl (}\forall \xi \quad \xi \in b\Rightarrow \mathrm {X} (a,\ldots ,\xi ){\bigr )}\,{\Bigr )}\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to {\vec {0}}_{t}}\nu (\epsilon )={\vec {0}}_{\zeta }{\Bigr )}\\\mathrm {X} (a,\ldots ,\xi )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \exists \pi \ \exists \rho \quad {\Bigl (}\,\pi \in \mathrm {Neutral} (k_{d})\ \land \ \rho \in \mathrm {Inversion} _{k_{d}}^{\pi }{\bigl (}r(\xi ){\bigr )}\,{\Bigr )}\ \land \ \nu (\xi )=y{\bigl (}\rho ,\lambda (\xi ){\bigr )}\\\end{cases}}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,\theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {DifferentiableMap} _{\theta }(t,\zeta )$.

Дифференцируемое в точке отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,\theta ,\iota$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)$ - бинарная операция,
• $z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $y\in \mathrm {Function} (z,b)$ - функция,
• $\alpha =\langle w,c,x,y\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $\alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)$ - векторное пространство,
• $\beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )$ - функционал,
• $\gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $\gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )$ - нормированное векторное пространство,
• $\delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $\varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)$ - функция,
• $\zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $\zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $\eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )$ - совокупность отображений,
• $\theta \subseteq \eta$ - подмножество совокупности отображений,
• $\iota \in b$ - точка метрического нормированного векторного пространства,
• $\theta =\mathrm {DifferentiableMap} _{\iota }(t,\zeta )$ - совокупность дифференцируемых в точке отображений,
• $a\in \theta$ - элемент совокупности дифференцируемых в точке отображений.

Множество $a$ — дифференцируемое в точке $\iota$ отображение (англ. differentiable at point $\iota$ map, нем. differenzierbar im Punkt $\iota$ Abbildung), действующее из метрического нормированного векторного пространства $t$ в метрическое нормированное векторное пространство $\zeta$, или кратко дифференцируемое в точке $\iota$ отображение.

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,\iota )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {DifferentiableMap} _{\iota }(t,\zeta )$.

Совокупность дифференцируемых отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)$ - бинарная операция,
• $z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $y\in \mathrm {Function} (z,b)$ - функция,
• $\alpha =\langle w,c,x,y\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $\alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)$ - векторное пространство,
• $\beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )$ - функционал,
• $\gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $\gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )$ - нормированное векторное пространство,
• $\delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $\varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)$ - функция,
• $\zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $\zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $\eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )$ - совокупность отображений,
• $a\subseteq \eta$ - подмножество совокупности отображений.

Множество $a$ — совокупность дифференцируемых отображений (англ. set of differentiable maps, нем. Menge von differenzierbar Abbildungen), действующих из метрического нормированного векторного пространства $t$ в метрическое нормированное векторное пространство $\zeta$, или кратко совокупность дифференцируемых отображений, если для любого элемента множества $a$ и для каждой точки метрического нормированного векторного пространства $t$ отображение $\theta$ является дифференцируемым в точке $\iota$ отображением:

$\Upsilon (a,\ldots ,\eta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall \theta \quad \theta \in a\Leftrightarrow {\bigl (}\forall \iota \quad \iota \in b\Rightarrow \theta \in \mathrm {DifferentiableMap} _{\iota }(t,\zeta ){\bigr )}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,\theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a=\mathrm {DifferentiableMap} (t,\zeta )$.

Дифференцируемое отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,\theta ,\iota$ - множества,
• $f=\mathrm {\Sigma } (g,h,i)$ - сигнатура,
• $\left|\circ \right|\in h\ \land \ i(\left|\circ \right|)=1_{\mathrm {N} }$ - символ унарной операции,
• $j\in h\ \land \ i(j)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ k\in h\ \land \ i(k)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $l\in g\ \land \ i(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символ бинарного отношения,
• $c=\mathrm {AlgStruct} (d,e,f)$ - алгебраическая структура,
• $c\in \mathrm {Field} (d;j,k)$ - поле,
• $c\in \mathrm {LinOrdStruct} (d;l)$ - линейно упорядоченная структура,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(b)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle d,b\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,b)$ - функция,
• $q=\langle b,c,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $q=\mathrm {VectorSpace} (b,c;m,n)$ - векторное пространство,
• $s=\left|\circ \right|_{j_{c}}^{l_{c}}$ - операция взятия модуля.
• $r\in \mathrm {Functional} (q)$ - функционал,
• $p=\langle q,r\rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $p=\mathrm {NormedVectorSpace} (b,c;m,n,r)$ - нормированное векторное пространство,
• $v=\mathrm {CartPower} ^{2}(b)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $u\in \mathrm {Function} (v,d)$ - функция,
• $t=\langle p,u\rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $t=\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (b,c;m,n,r,u)$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $x\in \mathrm {Op} ^{2}(w)$ - бинарная операция,
• $z=\mathrm {CartProd} (\langle d,w\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $y\in \mathrm {Function} (z,b)$ - функция,
• $\alpha =\langle w,c,x,y\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $\alpha =\mathrm {VectorSpace} (w,c;x,y)$ - векторное пространство,
• $\beta \in \mathrm {Functional} (\alpha )$ - функционал,
• $\gamma =\langle \alpha ,\beta \rangle$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
• $\gamma =\mathrm {NormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta )$ - нормированное векторное пространство,
• $\delta =\mathrm {CartPower} ^{2}(w)$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
• $\varepsilon \in \mathrm {Function} (\delta ,d)$ - функция,
• $\zeta =\langle \gamma ,\varepsilon \rangle$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
• $\zeta =\mathrm {MetricNormedVectorSpace} (w,c;x,y,\beta ,\varepsilon )$ - метрическое нормированное векторное пространство,
• $\eta =\mathrm {Map} (q,\alpha )$ - совокупность отображений,
• $\theta \subseteq \eta$ - подмножество совокупности отображений,
• $\theta =\mathrm {DifferentiableMap} (t,\zeta )$ - совокупность дифференцируемых в точке отображений,
• $a\in \theta$ - элемент совокупности дифференцируемых отображений.

Множество $a$ — дифференцируемое отображение (англ. differentiable map, нем. differenzierbar Abbildung), действующее из метрического нормированного векторного пространства $t$ в метрическое нормированное векторное пространство $\zeta$, или кратко дифференцируемое отображение.

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,\iota )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {DifferentiableMap} (t,\zeta )$.