Вектор

Вектор векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$ - множества,
• $g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$ - символы бинарных операций,
• $d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm{Op}^2(c)$ - бинарная операция,
• $o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm{Function}(o,c)$ - функция,
• $b = \langle c,d,m,n \rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$ - векторное пространство.

Множество $a$ — вектор (англ. vector, нем. Vektor) векторного пространства $b$ или кратко вектор, если множество $a$ является элементом носителя $c$:

$\Upsilon (a,\ldots ,o)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in c$

Нулевой вектор векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$ - множества,
• $g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$ - символы бинарных операций,
• $d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm{Op}^2(c)$ - бинарная операция,
• $o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm{Function}(o,c)$ - функция,
• $b = \langle c,d,m,n \rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $a\in c$ - вектор.

Вектор $a$ — нулевой вектор (англ. zero vector, нем. Nullvektor) векторного пространства $b$ или кратко нулевой вектор, если вектор $a$ является нейтральным элементом бинарной операции $m$:

$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in\mathrm{Neutral}(m)$

Из теоремы о свойствах векторных пространств следует справедливость следующего обозначения для нулевого вектора векторного пространства $\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \vec{0}_b$ или кратко $\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \vec{0}$.