Mathematika Wiki
Advertisement

Векторное пространство над полем[]

Упорядоченная четвёрка множества , поля , бинарной операции на множестве и функции , действующей из прямого произведения носителя поля и множества в множество векторное пространство (или линейное пространство) (англ. vector space, нем. Vektorraum oder linearer Raum) над полем или кратко векторное пространство, если выполняются следующие условия:

  1. бинарная операция является коммутативной операцией на множестве ;
  2. бинарная операция является ассоциативной операцией на множестве ;
  3. существует нейтральный элемент бинарной операции ;
  4. для любого элемента множества существует инверсия данного элемента множества относительно бинарной операции и некоторого её нейтрального элемента;
  5. для любого элемента множества значение функции от нейтрального элемента интерпретации символа бинарной операции и данного элемента множества является данным элементом множества ;
  6. для любых двух элементов множества [1] и для произвольного элемента множества значение функции от первого элемента множества и {значения функции от второго элемента множества и данного элемента множества } равно значению функции от {значения интерпретации символа операции от первого элемента множества и второго элемента множества } и данного элемента множества ;
  7. для любых двух элементов множества [2] и для произвольного элемента множества значение функции от {значения интерпретации символа операции от первого элемента множества и второго элемента множества } и данного элемента множества равно значению бинарной операции от {значения функции от первого элемента множества и данного элемента множества } и {значения функции от второго элемента множества и данного элемента множества };
  8. для любого элемента множества и для двух произвольных элементов множества [3] значение функции от данного элемента множества и {значения бинарной операции от первого элемента множества и второго элемента множества } равно значению бинарной операции от {значения функции от данного элемента множества и первого элемента множества } и {значения функции от данного элемента множества и второго элемента множества }:

Обозначим .

Примечания[]

  1. для определённости назовём один из данных элементов множества первым элементом множества , другой элемент множества - вторым элементом множества
  2. для определённости назовём один из данных элементов множества первым элементом множества , другой элемент множества - вторым элементом множества
  3. для определённости назовём один из данных элементов множества первым элементом множества , другой элемент множества - вторым элементом множества

Связанные статьи[]

Носитель;

Вектор;

Скаляр;

Сложение векторов;

Умножение вектора на скаляр;

Нормированное векторное пространство.

Векторное пространство со скалярным умножением векторов,

Аффинное пространство.

Кортеж векторных пространств над полем[]

  • - кортеж элементов множества,
  • - постоянный кортеж со значением поля,
  • - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,
  • - постоянный кортеж со значением носителя поля,
  • - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
  • - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,
  • - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
  • - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
  • - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей.

Кортеж упорядоченных четвёрок координат {кортежа длины элементов множества }, {постоянного кортежа длины со значением поля }, {кортежа длины бинарных операций на элементах кортежа длины элементов множества }, {кортежа функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа длины элементов множества в координаты кортежа длины элементов множества } — кортеж векторных пространств (или кортеж линейных пространств) (англ. tuple of vector spaces, нем. Tuple der Vektorräumen oder Tuple der lineare Räumen) над полем или кратко кортеж векторных пространств, если для произвольного элемента элемента множества-бесконечности [1] -я координата кортежа [2] является векторным пространством над полем :

Обозначим .

Примечания[]

  1. для определённости назовём данный элемент элемента множества-бесконечности множеством
  2. согласно определению -я координата кортежа является упорядоченной четвёркой {-й координаты кортежа длины элементов множества }, поля , {бинарной операции на -й координате кортежа длины элементов множества }, {функции, действующей из прямого произведения носителя поля и -й координаты кортежа длины элементов множества в -ю координату кортежа длины элементов множества }