FANDOM


Векторное пространство над полем Edit

Упорядоченная четвёрка $ a $ множества $ b $, поля $ c $, бинарной операции $ l $ на множестве $ b $ и функции $ m $, действующей из прямого произведения $ n $ носителя $ d $ поля $ c $ и множества $ b $ в множество $ b $векторное пространство (или линейное пространство) (англ. vector space, нем. Vektorraum oder linearer Raum) над полем $ c $ или кратко векторное пространство, если выполняются следующие условия:

  1. бинарная операция $ l $ является коммутативной операцией на множестве $ b $;
  2. бинарная операция $ l $ является ассоциативной операцией на множестве $ b $;
  3. существует нейтральный элемент бинарной операции $ l $;
  4. для любого элемента множества $ b $ существует инверсия данного элемента множества $ b $ относительно бинарной операции $ l $ и некоторого её нейтрального элемента;
  5. для любого элемента множества $ b $ значение функции $ m $ от нейтрального элемента интерпретации символа бинарной операции $ k $ и данного элемента множества $ b $ является данным элементом множества $ b $;
  6. для любых двух элементов множества $ d $[1] и для произвольного элемента множества $ b $ значение функции $ m $ от первого элемента множества $ d $ и {значения функции $ m $ от второго элемента множества $ d $ и данного элемента множества $ b $} равно значению функции $ m $ от {значения интерпретации символа операции $ k $ от первого элемента множества $ d $ и второго элемента множества $ d $} и данного элемента множества $ b $;
  7. для любых двух элементов множества $ d $[2] и для произвольного элемента множества $ b $ значение функции $ m $ от {значения интерпретации символа операции $ j $ от первого элемента множества $ d $ и второго элемента множества $ d $} и данного элемента множества $ b $ равно значению бинарной операции $ l $ от {значения функции $ m $ от первого элемента множества $ d $ и данного элемента множества $ b $} и {значения функции $ m $ от второго элемента множества $ d $ и данного элемента множества $ b $};
  8. для любого элемента множества $ d $ и для двух произвольных элементов множества $ b $[3] значение функции $ m $ от данного элемента множества $ d $ и {значения бинарной операции $ l $ от первого элемента множества $ b $ и второго элемента множества $ b $} равно значению бинарной операции $ l $ от {значения функции $ m $ от данного элемента множества $ d $ и первого элемента множества $ b $} и {значения функции $ m $ от данного элемента множества $ d $ и второго элемента множества $ b $}:

$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} l\in \mathrm{CommOp}(b)\\ l\in \mathrm{AssocOp}(b)\\ \exists o \quad o\in b \ \land \ o\in \mathrm{Neutral}(l)\\ \forall o \quad o\in b \Rightarrow \Bigl( \ \exists p \quad p\in b \ \land \ p\in \mathrm{Neutral}(l) \ \land \ \bigl(\, \exists q \quad q\in \mathrm{Inversion}_l^p(o) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \forall o \ \forall p \quad (o\in \mathrm{Neutral}(k_c) \ \land \ p\in b) \Rightarrow m(o,p) = p\\ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad (\, o\in d \ \land \ p\in d \ \land \ q\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, m\bigl( o,m(p,q) \bigr) = m\bigl( k_c(o,p),q \bigr) \,\Bigr)\\ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad (\, o\in d \ \land \ p\in d \ \land \ q\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, m\bigl( j_c(o,p),q \bigr) = l\bigl( m(o,q),m(p,q) \bigr) \,\Bigr)\\ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad (\, o\in d \ \land \ p\in b \ \land \ q\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, m\bigl( o,l(p,q) \bigr) = l\bigl( m(o,p),m(o,q) \bigr) \,\Bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{VectorSpace}(b,c;l,m) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём один из данных элементов множества $ d $ первым элементом множества $ d $, другой элемент множества $ d $ - вторым элементом множества $ d $
  2. для определённости назовём один из данных элементов множества $ d $ первым элементом множества $ d $, другой элемент множества $ d $ - вторым элементом множества $ d $
  3. для определённости назовём один из данных элементов множества $ b $ первым элементом множества $ b $, другой элемент множества $ b $ - вторым элементом множества $ b $

Связанные статьи Edit

Носитель;

Вектор;

Скаляр;

Сложение векторов;

Умножение вектора на скаляр;

Нормированное векторное пространство.

Векторное пространство со скалярным умножением векторов,

Аффинное пространство.

Кортеж векторных пространств над полем Edit

  • $ n\in \mathrm{Function}(m, b) $ - кортеж элементов множества,
  • $ o = \mathrm{Function}\bigl( m,\{c\} \bigr) $ - постоянный кортеж со значением поля,
  • $ p\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^2\bigl( n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m} $ - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,
  • $ q = \mathrm{Function}\bigl( m,\{d\} \bigr) $ - постоянный кортеж со значением носителя поля,
  • $ r = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle q(\epsilon),n(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m} $ - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
  • $ s\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( r(\epsilon),n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m} $ - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,
  • $ t = \Bigl\{ \bigl\langle n(\epsilon), o(\vartheta), p(\varkappa), s(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in m \atop \vartheta\in m} \atop {\varkappa\in m \atop \varpi\in m}} $ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
  • $ a\in \mathrm{Function}(m,t) $ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
  • $ a = \Bigl\langle \bigl\langle n(\epsilon),o(\epsilon),p(\epsilon),s(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in m} $ - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей.

Кортеж упорядоченных четвёрок $ a $ координат {кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $}, {постоянного кортежа $ o $ длины $ m $ со значением поля $ c $}, {кортежа $ p $ длины $ m $ бинарных операций на элементах кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $}, {кортежа $ s $ функций, действующих из координат прямого произведения $ r $ координат постоянного кортежа $ q $ со значением носителя $ d $ поля $ c $ и координат кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $ в координаты кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $} — кортеж векторных пространств (или кортеж линейных пространств) (англ. tuple of vector spaces, нем. Tuple der Vektorräumen oder Tuple der lineare Räumen) над полем $ c $ или кратко кортеж векторных пространств, если для произвольного элемента элемента $ m $ множества-бесконечности $ l $[1] $ u $-я координата кортежа $ a $[2] является векторным пространством над полем $ c $:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u\in m \Rightarrow \Phi(a,\ldots,u)\\ \Phi(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \ \forall w \ \forall x \qquad \begin{cases} v = n(u)\\ w = p(u)\\ x = s(u)\\ y = a(u)\\ \end{cases} \Rightarrow y = \mathrm{VectorSpace}(v,c;w,x)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{VectorSpace}\bigl( n(\epsilon),c; p(\epsilon), s(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m} $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данный элемент элемента $ m $ множества-бесконечности $ l $ множеством $ u $
  2. согласно определению $ u $-я координата кортежа $ a $ является упорядоченной четвёркой {$ u $-й координаты кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $}, поля $ c $, {бинарной операции на $ u $-й координате кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $}, {функции, действующей из прямого произведения носителя $ d $ поля $ c $ и $ u $-й координаты кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $ в $ u $-ю координату кортежа $ n $ длины $ m $ элементов множества $ b $}
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.