Бесконечномерное векторное пространство над полем [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n}
- множества ,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
- сигнатура ,
j
∈
h
∧
i
(
j
)
=
2
N
∧
k
∈
h
∧
i
(
k
)
=
2
N
{\displaystyle j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}}
- символы бинарных операций ,
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
- алгебраическая структура ,
c
∈
F
i
e
l
d
(
d
;
j
,
k
)
{\displaystyle c\in \mathrm{Field}(d;j,k)}
- поле ,
l
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle l\in \mathrm{Op}^2(b)}
- бинарная операция,
n
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle n = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
- прямое произведение двух множеств,
m
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
n
,
b
)
{\displaystyle m\in \mathrm{Function}(n,b)}
- функция .
a
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
l
,
m
)
{\displaystyle a = \mathrm{VectorSpace}(b,c;l,m)}
- векторное пространство .
Векторное пространство
a
{\displaystyle a}
— бесконечномерное векторное пространство (англ. infinite-dimensional vector space , нем. unendlichdimensionalen Vektorraum ) над полем
d
{\displaystyle d}
или кратко бесконечномерное векторное пространство , если для любого базиса векторного пространства
a
{\displaystyle a}
над полем
c
{\displaystyle c}
[1] и для произвольного элемента множества-бесконечности
N
{\displaystyle \Nu}
[2] каждый кортеж длины
p
{\displaystyle p}
элементов базиса
o
{\displaystyle o}
не является биекцией , действующей из множества
p
{\displaystyle p}
в базис
o
{\displaystyle o}
:
Υ
(
a
,
…
,
n
)
=
d
e
f
∀
o
o
∈
B
a
s
i
s
(
a
)
⇒
(
∀
p
p
∈
N
⇒
(
∀
q
q
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
p
,
o
)
⇒
¬
(
q
∈
B
i
j
e
c
t
i
o
n
(
p
,
o
)
)
)
)
{\displaystyle
\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \quad o\in \mathrm{Basis}(a) \Rightarrow \Bigl( \ \forall p \quad p\in \mathrm{N} \Rightarrow \bigr(\, \forall q \quad q\in \mathrm{Function}(p,o) \Rightarrow {}^\neg(q\in \mathrm{Bijection}(p,o)) \,\bigr) \ \Bigr)
}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
n
)
=
d
e
f
a
=
I
n
f
D
i
m
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
l
,
m
)
{\displaystyle \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{InfDimVectorSpace}(b,c;l,m)}
.
Примечания [ ]
↑ для определённости назовём данный базис базисом
o
{\displaystyle o}
↑ для определённости назовём данный элемент множества-бесконечности
N
{\displaystyle \Nu}
множеством
p
{\displaystyle p}
Связанные определения [ ]
Конечномерное векторное пространство .