Базис

Базис набора векторов

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$ - множества,
• $g=\mathrm {\Sigma } (h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i\ \land \ j(k)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ l\in i\ \land \ j(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $d=\mathrm {AlgStruct} (e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm {Field} (e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(c)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle e,c\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,c)$ - функция,
• $b=\langle c,d,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b=\mathrm {VectorSpace} (c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $p,q\in \mathbb {N}$ - натуральные числа,
• $q\subseteq p$ - подмножество натурального числа,
• $r\in \mathrm {Function} (p,c)$ - кортеж векторов
• $s=\{r(\epsilon )\}_{\epsilon \in p}$ - набор векторов,
• $a\in \mathrm {Function} (q,s)$ - кортеж векторов.

Кортеж $a$ — базис (англ. basis, нем. Basis) набора $s$ из $p$ векторов векторного пространства $b$ или кратко базис набора $s$, если кортеж $a$ является линейно независимым кортежем векторов и для произвольного натурального числа если натуральное число $q$ принадлежит натуральному числу $t$, то любой кортеж длины $t$ элементов набора $s$ из $p$ векторов векторного пространства $b$ над полем $d$ является линейно зависимым кортежем векторов:

$\Upsilon (a,\ldots ,s)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {LinIndepTuple} _{q}(b)\ \land \ {\Bigl (}\ \forall t\quad t\in \mathbb {N} \Rightarrow {\bigl (}\,q\in t\Rightarrow {\bigl (}\forall u\quad u\in \mathrm {Function} (t,s)\Rightarrow u\in \mathrm {LinDepTuple} _{t}(b){\bigr )}\,{\bigr )}\ {\Bigr )}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,s)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {Basis} _{b}(s)$.

Базис векторного пространства

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$ - множества,
• $g=\mathrm {\Sigma } (h,i,j)$ - сигнатура,
• $k\in i\ \land \ j(k)=2_{\mathrm {N} }\ \land \ l\in i\ \land \ j(l)=2_{\mathrm {N} }$ - символы бинарных операций,
• $d=\mathrm {AlgStruct} (e,f,g)$ - алгебраическая структура,
• $d\in \mathrm {Field} (e;k,l)$ - поле,
• $m\in \mathrm {Op} ^{2}(c)$ - бинарная операция,
• $o=\mathrm {CartProd} (\langle e,c\rangle )$ - прямое произведение двух множеств,
• $n\in \mathrm {Function} (o,c)$ - функция,
• $b=\langle c,d,m,n\rangle$ - упорядоченная четвёрка множеств,
• $b=\mathrm {VectorSpace} (c,d;m,n)$ - векторное пространство,
• $a\subseteq c$ - подмножество носителя векторного пространства.

Множество $a$ — базис (англ. basis, нем. Basis) векторного пространства $b$ или кратко базис векторного пространства $b$, если выполняются следующие условия:

1. для любого элемента множества-бесконечности $\mathrm {N}$ произвольный инъективный кортеж длины $p$ элементов множества $a$ является линейно независимым кортежем векторов;
2. для любого подмножества носителя $c$ векторного пространства $b$ если для любого элемента множества-бесконечности, произвольный инъективный кортеж длины $q$ элементов множества $p$ является линейно независимым кортежем векторов, то существует сюръекция, действующая из множества $r$ в множество $a$:

${\begin{cases}\Upsilon (a,\ldots ,o)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}\forall p\quad p\in \mathrm {N} \Rightarrow \Phi (a,b,\ldots ,o,p)\\\forall p\quad p\subseteq c\Rightarrow {\Bigl (}\ {\bigl (}\,\forall q\quad q\in \mathrm {N} \Rightarrow \Phi (p,b,\ldots ,o,q)\,{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}\,\exists r\quad r\in \mathrm {Function} (a,p)\ \land \ r\in \mathrm {Surjection} (a,p)\,{\bigr )}\ {\Bigr )}\\\end{cases}}\\\Phi (\mathrm {a} ,\mathrm {b} ,\ldots ,\mathrm {o} ,\mathrm {p} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \forall \mathrm {q} \quad (\mathrm {q} \in \mathrm {Function} (\mathrm {p} ,\mathrm {a} )\ \land \ \mathrm {q} \in \mathrm {Injection} (\mathrm {p} ,\mathrm {a} ))\Rightarrow \mathrm {q} \in \mathrm {LinIndepTuple} _{\mathrm {p} }(\mathrm {b} )\\\end{cases}}$

Обозначим $\Upsilon (a,\ldots ,o)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a\in \mathrm {Basis} (b)$.

Связанные определения

Конечномерное векторное пространство;

Бесконечномерное векторное пространство.