Арифметика натуральных чисел

• $a,b,c,d,e,f,g$ - множества,
• $d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$ - сигнатура,
• $e = \varnothing$ - пустой алфавит отношений,
• $f = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$ - алфавит операций,
• $g = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ , 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$ - функция местности,
• $a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $a$ — арифметика натуральных чисел (англ. arithmetic of natural numbers, нем. Arithmetik der natürlichen Zahlen), если алгебраическая структура $a$ удовлетворяет следующим свойствам:

1. сужение алгебраической структуры $a$ до сигнатуры $\mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$ является структурой натуральных чисел,
2. сумма двух произвольных элементов множества $b$ определяется индукцией по второму элементу множества $b$:
   • если второй элемент множества $b$ равен нулю, то сумма первого элемента множества $b$ и второго элемента множества $b$ является первым элементом множества $b$;
   • второй элемент множества $b$ равен последователю некоторого элемента множества $b$ и сумма первого элемента множества $b$ и второго элемента множества $b$ является последователем суммы первого элемента множества $b$ и данного элемента множества $b$;
3. произведение двух произвольных элементов множества $b$ определяется индукцией по второму элементу множества $b$:
   • если второй элемент множества $b$ равен нулю, то произведение первого элемента множества $b$ и второго элемента множества $b$ равно нулю;
   • второй элемент множества $b$ равен последователю некоторого элемента множества $b$ и сумма первого элемента множества $b$ и второго элемента множества $b$ является суммой произведения первого элемента множества $b$ на данный элемент множества $b$ и данного элемента множества $b$:

$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall h \quad h = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_h\in \mathfrak{N}\\ \\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \begin{cases} i = \mathfrak{o}_a \Rightarrow +_a(h,i) = h\\ \exists j \quad j\in b \ \land \ i = \mathfrak{s}_a(j) \ \land \ +_a( h,i) = \mathfrak{s}_a \bigl( +_a(h,j) \bigr)\\ \end{cases}\\ \\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \begin{cases} i = \mathfrak{o}_a \Rightarrow \ \cdot_{\ a}(h,\mathfrak{o}_a) = \mathfrak{o}_a\\ \exists j \quad j\in b \ \land \ i = \mathfrak{s}_a(j) \ \land \ \cdot_{\ a}(h,i) = +_a \bigl( \ \cdot_{\ a}(h,j), j \bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases}$

Обозначим $\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}\left(\mathfrak{N}_b\right)$ или кратко $\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}\left(\mathfrak{N}\right)$.

Связанные статьи

Теорема о существовании арифметики натуральных чисел;

Некоторые свойства арифметики натуральных чисел;

Рекурсивная функция.