Арифметика (англ. arithmetic , нем. Arithmetik ; от др.-греч. ἀριθμός — число) — раздел математики , изучающий числа , их отношения и операции над ними.
Арифметика алгебраической структуры [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,i,j,k,l,m}
множества ,
d
=
Σ
(
e
,
f
,
g
)
,
j
=
Σ
(
k
,
l
,
m
)
{\displaystyle d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g), j = \mathrm{\Sigma}(k,l,m)}
сигнатуры ,
a
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
b
,
c
,
d
)
,
h
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
b
,
i
,
j
)
{\displaystyle a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d), h = \mathrm{AlgStruct}(b,i,j)}
алгебраические структуры .Алгебраическая структура
a
{\displaystyle a}
арифметика (англ. arithmetic , нем. Arithmetik ) алгебраической структуры
h
{\displaystyle h}
a
{\displaystyle a}
алфавит отношений
e
{\displaystyle e}
равен алфавиту отношений
k
{\displaystyle k}
алфавит операций
f
{\displaystyle f}
объединению алфавита операций
l
{\displaystyle l}
{
+
,
⋅
}
{\displaystyle \{\, +,\ \cdot \ \,\}}
сужение функции местности
g
{\displaystyle g}
d
{\displaystyle d}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
l
{\displaystyle l}
j
{\displaystyle j}
m
{\displaystyle m}
j
{\displaystyle j}
сужение алгебраической структуры
a
{\displaystyle a}
j
{\displaystyle j}
h
{\displaystyle h}
Υ
(
a
,
…
,
m
)
=
d
e
f
{
e
=
k
f
=
l
∪
{
+
,
⋅
}
∀
n
n
=
k
∪
l
⇒
m
=
g
|
n
h
=
a
|
j
{\displaystyle
\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases}
e = k\\
f = l\cup \{\, +,\ \cdot \ \,\}\\
\forall n \quad n = k\cup l \Rightarrow m = g\bigr|_n\\
h = a\bigr|_j
\end{cases}
}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
m
)
=
d
e
f
a
∈
A
r
i
t
h
m
e
t
i
c
(
h
)
{\displaystyle \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(h)}
Примеры [ ] Арифметика натуральных чисел ;
Арифметика целых чисел ;
Арифметика рациональных чисел ;
Арифметика вещественных чисел ;
Арифметика комплексных чисел .
