Аддитивная функция

Субаддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$ - множества,
• $e = \langle f,g,h \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$ - сигнатура,
• $\leqslant\in f \ \land \ h(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
• $(+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N})$ - символы бинарных операций,
• $b = \langle c,d,e \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$ - алгебраическая структура,
• $b\in \mathrm{LinOrdField}(c;\leqslant,+,\cdot)$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
• $k\in \mathrm{Op}^2(j)$ - бинарная операция,
• $m = \mathrm{CartProd}(\langle c,j \rangle)$ - прямое произведение носителя поля и множества,
• $i = \langle j,b,k,l \rangle$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
• $i = \mathrm{VectorSpace}(j,b;k,l)$ - векторное пространство,
• $a\in \mathrm{Functional}(i)$ - функционал.

Функционал $a$ векторного пространства $i$ — субаддитивный функционал (англ. subadditive functional, нем. subadditive Funktional) векторного пространства $i$ над стандартным линейно упорядоченным полем $b$ или кратко субаддитивный функционал, если для любых двух векторов векторного пространства $b$ упорядоченная пара {значения функционала $a$ от {значения операции $k$ от векторов $n,o$}} и {суммы {значения функционала $a$ от вектора $n$} и {значения функционала $a$ от вектора $o$}} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $\leqslant$ на множестве $c$:

$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in j) \Rightarrow \Bigl\langle a\bigl( k(n,o) \bigr), +_b\bigl( a(n),a(o) \bigr) \Bigr\rangle\in \leqslant_b$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(i)$.

Примеры

Норма.

Супераддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$ - множества,
• $e = \langle f,g,h \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$ - сигнатура,
• $\leqslant\in f \ \land \ h(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
• $(+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N})$ - символы бинарных операций,
• $b = \langle c,d,e \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$ - алгебраическая структура,
• $b\in \mathrm{LinOrdField}(c;\leqslant,+,\cdot)$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
• $k\in \mathrm{Op}^2(j)$ - бинарная операция,
• $m = \mathrm{CartProd}(\langle c,j \rangle)$ - прямое произведение носителя поля и множества,
• $i = \langle j,b,k,l \rangle$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
• $i = \mathrm{VectorSpace}(j,b;k,l)$ - векторное пространство,
• $a\in \mathrm{Functional}(i)$ - функционал.

Функционал $a$ векторного пространства $i$ — супераддитивный функционал (англ. superadditive functional, нем. superadditive Funktional) векторного пространства $i$ над стандартным линейно упорядоченным полем $b$ или кратко субаддитивный функционал, если для любых двух векторов векторного пространства $b$ упорядоченная пара {суммы {значения функционала $a$ от вектора $n$} и {значения функционала $a$ от вектора $o$}} и {значения функционала $a$ от {значения операции $k$ от векторов $n,o$}} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $\leqslant$ на множестве $c$:

$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in j) \Rightarrow \Bigl\langle +_b\bigl( a(n),a(o) \bigr), a\bigl( k(n,o) \bigr) \Bigr\rangle\in \leqslant_b$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SuperadditiveFunctional}(i)$.

Субаддитивная функция системы множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$ - множества,
• $d = \mathrm{PowerSet}(c)$ - множество-степень,
• $b\subseteq d$ - система множеств,
• $h = \langle i,j,k \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $h = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$ - сигнатура,
• $\leqslant\in j \ \land \ k(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
• $+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарной операции,
• $e = \langle f,g,h \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$ - алгебраическая структура,
• $e\in \mathrm{LinOrdGroup}(f;+)$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
• $a\in \mathrm{Function}(b,f)$ - функция.

Функция $a$, действующая из системы подмножеств $b$ множества $c$ в носитель $f$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $e$ — субаддитивная функция (англ. subadditive function, нем. subadditive Funktion) системы множеств $b$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $e$, если для любых двух элементов системы множеств $b$ если объединение множеств $l,m$ принадлежит системе множеств $b$, то упорядоченная пара {значения функции $a$ от объединения множеств $l,m$} и {суммы {значения функции $a$ от множества $l$} и {значения функции $a$ от множества $m$}} принадлежит интерпретации символа отношения $\leqslant$ на множестве $f$:

$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \ \forall m \quad (l\in b \ \land \ m\in b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall o \quad o = l\cup m \Rightarrow \bigl(\, o\in b \Rightarrow \bigl\langle a(o), +_e(\, a(l),a(m) \,) \bigr\rangle\in \leqslant_e \,\bigr) \ \Bigr)$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunction}_e(b,f)$ или кратко $\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunction}(b,f)$.

σ-субаддитивная функция системы множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u$ - множества,
• $d = \mathrm{PowerSet}(c)$ - множество-степень,
• $b\subseteq d$ - система множеств,
• $h = \langle i,j,k \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $h = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$ - сигнатура,
• $\leqslant\in j \ \land \ k(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарного отношения,
• $+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарной операции,
• $e = \langle f,g,h \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$ - алгебраическая структура,
• $e\in \mathrm{LinOrdGroup}(f;+)$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
• $n = \mathrm{PowerSet}(f)$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
• $m\subseteq n$ - подмножество множества-степени носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
• $m\in \mathrm{Top}(f)$ - топология на носителе стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
• $l = \mathrm{TopSpace}(f,m)$ - топологическое пространство,
• $r = \Sigma(s,t,u)$ - сигнатура,
• $s = \varnothing$ - пустой алфавит отношений,
• $t = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$ - алфавит операций,
• $u = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$ - функция местности,
• $o = \mathrm{AlgStruct}(p,q,r)$ - алгебраическая структура,
• $o\in \mathfrak{N}$ - структура натуральных чисел,
• $p = \mathbb{N}$ - множество натуральных чисел,
• $a\in \mathrm{Function}(b,f)$ - функция.

Функция $a$, действующая из системы подмножеств $b$ множества $c$ в носитель $f$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $e$ — σ-субаддитивная функция (сигма-субаддитивная функция, или счётно-субаддитивная функция) (англ. σ-subadditive function or countable subadditive function, нем. σ-subadditive Funktion oder abzählbare subadditive Funktion) системы множеств $b$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $e$, ассоциированной с топологическим пространством $l$, если для любой последовательности элементов системы множеств $b$ если объединение элементов системы множеств $b$ последовательностью $v$ принадлежит системе множеств $b$, то для произвольной последовательности элементов носителя $f$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $e$ такой, что для каждого натурального числа $y$-й член последовательности $x$ равен значению функции $a$ от $y$-го члена последовательности $v$, упорядоченная пара {значения функции $a$ от множества $w$} и {некоторой суммы ряда из членов последовательности $x$ элементов носителя $f$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $e$} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $\leqslant$ на множестве $f$:

$\begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \quad v\in \mathrm{Sequence}(b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall w \quad w = \bigcup\limits_o b \Rightarrow \bigl(\, w\in b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,w) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall x \quad x\in \mathrm{Sequence}(f) \Rightarrow \Bigl( \ \bigl(\, \forall y \quad y\in \mathbb{N} \Rightarrow x(y) = a(v(y)) \,\bigr) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,x) \ \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall y \quad y = \mathrm{Series}_e(x) \Rightarrow \Bigl( \exists z \quad z\in \mathrm{Sum}_l(y) \ \land \ \bigl\langle a(w),z \bigr\rangle\in \leqslant_e \Bigr)\\ \end{cases}$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}_{\langle e,l \rangle}(b,f)$ или кратко $\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}(b,f)$.

Примеры

Внешняя мера.

Аддитивная функция системы множеств над аддитивной группой

• $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$ - множества,
• $d = \mathrm{PowerSet}(c)$ - множество-степень,
• $b\subseteq d$ - система множеств,
• $h = \langle i,j,k \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $h = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$ - сигнатура,
• $+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$ - символ бинарной операции,
• $e = \langle f,g,h \rangle$ - упорядоченная тройка множеств,
• $e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$ - алгебраическая структура,
• $e\in \mathrm{Group}(f;+)$ - аддитивная группа,
• $a\in \mathrm{Function}(b,f)$ - функция.

Функция $a$, действующая из системы подмножеств $b$ множества $c$ в носитель $f$ аддитивной группы $e$ — аддитивная функция (англ. additive function or finitely additive function, нем. additive Funktion) системы множеств $b$ над аддитивной группой $e$, если для произвольного натурального числа и для любого кортежа длины $l$ элементов полукольца множеств $b$, такой, что область значений кортежа $m$ является дизъюнктным множеством и объединение элементов области значений кортежа $m$ принадлежит полукольцу множеств $b$, значение функции $a$ от объединения элементов области значений кортежа $m$ определяется индукцией по длине $l$ кортежа $m$:

1. если натуральное число $l$ является нолём на множестве натуральных чисел, то значение функции $a$ от объединения элементов области значений функции $m$ равно некоторому нолю аддитивной группы $e$,
2. если натуральное число $l$ является последователем некоторого натурального числа и объединение элементов области значений сужения кортежа $m$ на натуральное число $o$ принадлежит полукольцу множеств $b$, то значение функции $a$ от объединения элементов множества значений кортежа $m$ равно сумме {значения функции $a$ от объединения элементов области значений сужения кортежа $m$ на натуральное число $o$} и значения функции $a$ от {Координата#| координаты $m$ от натурального числа $o$}:

$\begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \quad l\in \mathbb{N} \Rightarrow \Biggl( \ \forall m \quad m\in \mathrm{Function}(l,b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall n \quad n = \mathrm{Range}(m) \Rightarrow \bigl(\, (n^\perp \ \land \ \bigcup n\in b) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,n) \,\bigr) \ \Bigr) \ \Biggr)\\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} l = \mathfrak{0} \Rightarrow \Bigl( \exists o \quad o\in \mathrm{Neutral}(+_e) \ \land \ a\left( \bigcup n \right) = o \Bigr)\\ \exists o \quad \bigl(\, o\in \mathbb{N} \ \land \ l = \mathfrak{s}(o) \,\bigr) \Rightarrow \Biggl( \ \forall p \quad p = m\bigr|_o \Rightarrow \Bigl( \ \forall q \quad \bigl(\, q = \mathrm{Range}(p) \ \land \ \bigcup q\in b \,\bigr) \Rightarrow a\left( \bigcup n \right) = +_e\bigl(\, a\left( \bigcup q \right), a(m(o)) \,\bigr) \ \Bigr) \ \Biggr) \end{cases}\\ \end{cases}$

Обозначим $\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AdditiveFunction}_e(b,f)$ или кратко $\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AdditiveFunction}(b,f)$.

Примеры

Мера.