FANDOM


Субаддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем Edit

Функционал $ a $ векторного пространства $ i $субаддитивный функционал (англ. subadditive functional, нем. subadditive Funktional) векторного пространства $ i $ над стандартным линейно упорядоченным полем $ b $ или кратко субаддитивный функционал, если для любых двух векторов векторного пространства $ b $[1] упорядоченная пара {значения функционала $ a $ от {значения операции $ k $ от векторов $ n,o $}} и {суммы {значения функционала $ a $ от вектора $ n $} и {значения функционала $ a $ от вектора $ o $}} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $ \leqslant $ на множестве $ c $:

$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in j) \Rightarrow \Bigl\langle a\bigl( k(n,o) \bigr), +_b\bigl( a(n),a(o) \bigr) \Bigr\rangle\in \leqslant_b $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(i) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём один из данных векторов векторного пространства $ b $ вектором $ n $, другой вектор векторного пространства $ b $ - вектором $ o $

Примеры Edit

Норма.

Супераддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем Edit

Функционал $ a $ векторного пространства $ i $супераддитивный функционал (англ. superadditive functional, нем. superadditive Funktional) векторного пространства $ i $ над стандартным линейно упорядоченным полем $ b $ или кратко субаддитивный функционал, если для любых двух векторов векторного пространства $ b $[1] упорядоченная пара {суммы {значения функционала $ a $ от вектора $ n $} и {значения функционала $ a $ от вектора $ o $}} и {значения функционала $ a $ от {значения операции $ k $ от векторов $ n,o $}} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $ \leqslant $ на множестве $ c $:

$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in j) \Rightarrow \Bigl\langle +_b\bigl( a(n),a(o) \bigr), a\bigl( k(n,o) \bigr) \Bigr\rangle\in \leqslant_b $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SuperadditiveFunctional}(i) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём один из данных векторов векторного пространства $ b $ вектором $ n $, другой вектор векторного пространства $ b $ - вектором $ o $

Субаддитивная функция системы множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой Edit

Функция $ a $, действующая из системы подмножеств $ b $ множества $ c $ в носитель $ f $ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $ e $ субаддитивная функция (англ. subadditive function, нем. subadditive Funktion) системы множеств $ b $ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $ e $, если для любых двух элементов системы множеств $ b $[1] если объединение множеств $ l,m $ принадлежит системе множеств $ b $, то упорядоченная пара {значения функции $ a $ от объединения множеств $ l,m $} и {суммы {значения функции $ a $ от множества $ l $} и {значения функции $ a $ от множества $ m $}} принадлежит интерпретации символа отношения $ \leqslant $ на множестве $ f $:

$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \ \forall m \quad (l\in b \ \land \ m\in b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall o \quad o = l\cup m \Rightarrow \bigl(\, o\in b \Rightarrow \bigl\langle a(o), +_e(\, a(l),a(m) \,) \bigr\rangle\in \leqslant_e \,\bigr) \ \Bigr) $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunction}_e(b,f) $ или кратко $ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunction}(b,f) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём один из данных элементов системы множеств $ b $ множеством $ l $, другой элемент системы множеств $ b $ - множеством $ m $

σ-субаддитивная функция системы множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством Edit

Функция $ a $, действующая из системы подмножеств $ b $ множества $ c $ в носитель $ f $ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $ e $σ-субаддитивная функция (сигма-субаддитивная функция, или счётно-субаддитивная функция) (англ. σ-subadditive function or countable subadditive function, нем. σ-subadditive Funktion oder abzählbare subadditive Funktion) системы множеств $ b $ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $ e $, ассоциированной с топологическим пространством $ l $, если для любой последовательности элементов системы множеств $ b $[1] если объединение элементов системы множеств $ b $ последовательностью $ v $[2] принадлежит системе множеств $ b $, то для произвольной последовательности элементов носителя $ f $ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $ e $[3] такой, что для каждого натурального числа[4] $ y $член последовательности $ x $ равен значению функции $ a $ от $ y $-го члена последовательности $ v $, упорядоченная пара {значения функции $ a $ от множества $ w $} и {некоторой суммы ряда из членов последовательности $ x $ элементов носителя $ f $ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $ e $} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $ \leqslant $ на множестве $ f $:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \quad v\in \mathrm{Sequence}(b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall w \quad w = \bigcup\limits_o b \Rightarrow \bigl(\, w\in b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,w) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall x \quad x\in \mathrm{Sequence}(f) \Rightarrow \Bigl( \ \bigl(\, \forall y \quad y\in \mathbb{N} \Rightarrow x(y) = a(v(y)) \,\bigr) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,x) \ \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall y \quad y = \mathrm{Series}_e(x) \Rightarrow \Bigl( \exists z \quad z\in \mathrm{Sum}_l(y) \ \land \ \bigl\langle a(w),z \bigr\rangle\in \leqslant_e \Bigr)\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}_{\langle e,l \rangle}(b,f) $ или кратко $ \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}(b,f) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данную последовательность элементов системы множеств $ b $ последовательностью $ v $
  2. для определённости назовём данное объединение элементов системы множеств $ b $ последовательностью $ v $ множеством $ w $
  3. для определённости назовём данную последовательность элементов носителя $ f $ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $ e $ последовательностью $ x $
  4. для определённости назовём данное натуральное число натуральным числом $ y $

Примеры Edit

Внешняя мера.

Аддитивная функция системы множеств над аддитивной группой Edit

Функция $ a $, действующая из системы подмножеств $ b $ множества $ c $ в носитель $ f $ аддитивной группы $ e $аддитивная функция (англ. additive function or finitely additive function, нем. additive Funktion) системы множеств $ b $ над аддитивной группой $ e $, если для произвольного натурального числа[1] и для любого кортежа длины $ l $ элементов полукольца множеств $ b $[2], такой, что область значений кортежа $ m $ является дизъюнктным множеством и объединение элементов области значений кортежа $ m $ принадлежит полукольцу множеств $ b $, значение функции $ a $ от объединения элементов области значений кортежа $ m $ определяется индукцией по длине $ l $ кортежа $ m $:

  1. если натуральное число $ l $ является нолём на множестве натуральных чисел, то значение функции $ a $ от объединения элементов области значений функции $ m $ равно некоторому нолю аддитивной группы $ e $,
  2. если натуральное число $ l $ является последователем некоторого натурального числа[3] и объединение элементов области значений сужения кортежа $ m $ на натуральное число $ o $ принадлежит полукольцу множеств $ b $, то значение функции $ a $ от объединения элементов множества значений кортежа $ m $ равно сумме {значения функции $ a $ от объединения элементов области значений сужения кортежа $ m $ на натуральное число $ o $} и значения функции $ a $ от {Координата#| координаты $ m $ от натурального числа $ o $}:

$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \quad l\in \mathbb{N} \Rightarrow \Biggl( \ \forall m \quad m\in \mathrm{Function}(l,b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall n \quad n = \mathrm{Range}(m) \Rightarrow \bigl(\, (n^\perp \ \land \ \bigcup n\in b) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,n) \,\bigr) \ \Bigr) \ \Biggr)\\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} l = \mathfrak{0} \Rightarrow \Bigl( \exists o \quad o\in \mathrm{Neutral}(+_e) \ \land \ a\left( \bigcup n \right) = o \Bigr)\\ \exists o \quad \bigl(\, o\in \mathbb{N} \ \land \ l = \mathfrak{s}(o) \,\bigr) \Rightarrow \Biggl( \ \forall p \quad p = m\bigr|_o \Rightarrow \Bigl( \ \forall q \quad \bigl(\, q = \mathrm{Range}(p) \ \land \ \bigcup q\in b \,\bigr) \Rightarrow a\left( \bigcup n \right) = +_e\bigl(\, a\left( \bigcup q \right), a(m(o)) \,\bigr) \ \Bigr) \ \Biggr) \end{cases}\\ \end{cases} $

Обозначим $ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AdditiveFunction}_e(b,f) $ или кратко $ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AdditiveFunction}(b,f) $.

Примечания Edit

  1. для определённости назовём данное натуральное число натуральным числом $ l $
  2. для определённости назовём данный кортеж длины $ l $ элементов полукольца множеств $ b $ кортежем $ m $
  3. для определённости назовём данное натуральное число натуральным числом $ o $

Примеры Edit

Мера.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.