Нормированное векторное пространство над стандартным линейно упорядоченным полем [ ]
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
,
g
,
h
,
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
,
o
{\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o}
множества ,
f
=
⟨
g
,
h
,
i
⟩
{\displaystyle f = \langle g,h,i \rangle}
упорядоченна тройка множеств,
f
=
Σ
(
g
,
h
,
i
)
{\displaystyle f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)}
сигнатура ,
|
∘
|
∈
h
∧
i
(
|
∘
|
)
=
1
N
{\displaystyle \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}}
символ унарной операции ,
(
+
∈
h
∧
i
(
+
)
=
2
N
)
∧
(
⋅
∈
h
∧
i
(
⋅
)
=
2
N
)
{\displaystyle (+\in h \ \land \ i(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in h \ \land \ i(\cdot) = 2_\mathrm{N})}
⩽∈
g
∧
i
(
⩽
)
=
2
N
{\displaystyle \leqslant\in g \ \land \ i(\leqslant) = 2_\mathrm{N}}
символ бинарного отношения ,
c
=
⟨
d
,
e
,
f
⟩
{\displaystyle c = \langle d,e,f \rangle}
c
=
A
l
g
S
t
r
u
c
t
(
d
,
e
,
f
)
{\displaystyle c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)}
алгебраическая структура ,
c
∈
L
i
n
O
r
d
F
i
e
l
d
(
d
;
⩽
,
+
⋅
)
{\displaystyle c\in \mathrm{LinOrdField}(d;\leqslant,+\cdot)}
стандартное линейно упорядоченное поле ,
o
=
|
∘
|
+
c
⩽
c
{\displaystyle o = \left|\circ\right|_{+_c}^{\leqslant_c}}
операция взятия модуля ,
j
∈
O
p
2
(
b
)
{\displaystyle j\in \mathrm{Op}^2(b)}
l
=
C
a
r
t
P
r
o
d
(
⟨
d
,
b
⟩
)
{\displaystyle l = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)}
прямое произведение носителя стандартного линейно упорядоченного поля и множества,
k
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
(
l
,
b
)
{\displaystyle k\in \mathrm{Function}(l,b)}
функция ,
m
=
⟨
b
,
c
,
j
,
k
⟩
{\displaystyle m = \langle b,c,j,k \rangle}
m
=
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
j
,
k
)
{\displaystyle m = \mathrm{VectorSpace}(b,c;j,k)}
векторное пространство ,
n
∈
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
m
)
{\displaystyle n\in \mathrm{Functional}(m)}
функционал ,
a
=
⟨
m
,
n
⟩
{\displaystyle a = \langle m,n \rangle}
[1] Упорядоченная пара
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
нормированное векторное пространство (англ. normed vector space , нем. normierter Vektorraum ) над стандартным линейно упорядоченным полем
c
{\displaystyle c}
кратко нормированное векторное пространство , если выполняются следующие условия:
для любого вектора векторного пространства
m
{\displaystyle m}
[2] значение функционала
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции
j
{\displaystyle j}
p
{\displaystyle p}
нулевым вектором векторного пространства
m
{\displaystyle m}
для любого вектора векторного пространства
m
{\displaystyle m}
[3]
m
{\displaystyle m}
[4]
n
{\displaystyle n}
произведения вектора
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
k
{\displaystyle k}
q
{\displaystyle q}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
функционал
n
{\displaystyle n}
субаддитивным функционалом векторного пространства
m
{\displaystyle m}
c
{\displaystyle c}
Υ
(
a
,
…
,
o
)
=
d
e
f
{
∀
p
p
∈
b
⇒
(
(
∃
q
q
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
+
c
)
∧
q
=
n
(
p
)
)
⇔
p
∈
N
e
u
t
r
a
l
(
j
)
)
∀
p
∀
q
(
p
∈
b
∧
q
∈
d
)
⇒
n
(
k
(
q
,
p
)
)
=
⋅
c
(
o
(
q
)
,
n
(
p
)
)
n
∈
S
u
b
a
d
d
i
t
i
v
e
F
u
n
c
t
i
o
n
a
l
(
m
)
{\displaystyle
\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases}
\forall p \quad p\in b \Rightarrow \bigl(\, (\exists q \quad q\in \mathrm{Neutral}(+_c) \ \land \ q = n(p)) \Leftrightarrow p\in \mathrm{Neutral}(j) \,\bigr)\\
\forall p \ \forall q \quad (p\in b \ \land \ q\in d) \Rightarrow n(k(q,p)) = \cdot_{\, c}(o(q),n(p))\\
n\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(m)\\
\end{cases}
}
Обозначим
Υ
(
a
,
…
,
o
)
=
d
e
f
a
=
N
o
r
m
e
d
V
e
c
t
o
r
S
p
a
c
e
(
b
,
c
;
j
,
k
,
n
)
{\displaystyle \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;j,k,n)}
Примечания [ ]
↑ т.е. ввиду определения упорядоченной пары множеств, упорядоченной тройки множеств и т.д., множество
a
{\displaystyle a}
b
,
c
,
j
,
k
,
n
{\displaystyle b,c,j,k,n}
↑ для определённости назовём данный вектор вектором
p
{\displaystyle p}
↑ для определённости назовём данный вектор вектором
p
{\displaystyle p}
↑ для определённости назовём данный скаляр скаляром
q
{\displaystyle q}
Связанные статьи [ ] Норма ;
Теорема о метризации нормированного векторного пространства .
