Отображение

Совокупность отображений, действующих из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность отображений (англ. set of maps, нем. Menge von Abbildungen), действующих из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$, если множество $$a$$ является совокупностью функций, действующих из носителя $$c$$ векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ в носитель $$q$$ векторного пространства $$p$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(c,q) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Map}(b,p)$$.

Связанные определения
Совокупность операторов векторного пространства;

Совокупность функционалов векторного пространства.

Отображение, действующее из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — отображение (англ. map, нем. Abbildung), действующее из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$ или кратко отображение, если множество $$a$$ является элементом совокупности отображений, действующих из векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ в векторное пространство $$p$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u = \mathrm{Map}(b,p) \Rightarrow a\in u $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Map}(b,p)$$.

Связанные определения
Оператор векторного пространства;

Функционал векторного пространства.

Совокупность однородных отображений, действующих из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность однородных отображений (англ. set of homogeneous maps, нем. Menge von homogen Abbildungen), действующих из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$, если множество $$a$$ состоит из отображений векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$ таких, что для любого скаляра векторного пространства $$b$$ и для любого вектора векторного пространства $$b$$ значение отображения $$u$$ от {скалярного произведения вектора $$w$$ на скаляр $$v$$} равно скалярному произведению {значения отображения $$u$$ от вектора $$w$$} на скаляр $$v$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ u\in \mathrm{Map}(b,p) \ \land \ \Bigl(\, \forall v \ \forall w \quad (v\in e \ \land \ w\in c) \Rightarrow u\bigl( n(v,w) \bigr) = s\bigl( v,u(w) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{HomMap}(b,p)$$.

Связанные определения
Совокупность однородных операторов векторного пространства;

Совокупность однородных функционалов векторного пространства.

Однородное отображение, действующее из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — однородное отображение (англ. homogeneous map, нем. homogene Abbildung), действующее из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$ или кратко однородное отображение, если множество $$a$$ является элементом совокупности однородных отображений векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u = \mathrm{HomMap}(b,p) \Rightarrow a\in u $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{HomMap}(b,p)$$.

Связанные определения
Однородный оператор векторного пространства;

Однородный функционал векторного пространства.

Совокупность аддитивных отображений, действующих из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность аддитивных отображений (англ. set of additive maps, нем. Menge von additiv Abbildungen), действующих из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$, если множество $$a$$ состоит из отображений векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$ таких, что для любых двух векторов векторного пространства $$b$$ значение отображения $$u$$ от {суммы вектора $$v$$ и вектора $$w$$} равно сумме {значения отображения $$u$$ от вектора $$v$$} и {значения отображения $$u$$ от вектора $$w$$}: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ u\in \mathrm{Map}(b,p) \ \land \ \Bigl(\, \forall v \ \forall w \quad (v\in c \ \land \ w\in c) \Rightarrow u\bigl( m(v,w) \bigr) = r\bigl( u(v),u(w) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AddMap}(b,p)$$.

Связанные определения
Совокупность аддитивных операторов векторного пространства;

Совокупность аддитивных функционалов векторного пространства.

Аддитивное отображение, действующее из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — аддитивное отображение (англ. additive map, нем. additive Abbildung), действующее из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$ или кратко аддитивное отображение, если множество $$a$$ является элементом совокупности аддитивных отображений векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u = \mathrm{AddMap}(b,p) \Rightarrow a\in u $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddMap}(b,p)$$.

Связанные определения
Аддитивный оператор векторного пространства;

Аддитивный функционал векторного пространства.

Совокупность линейных отображений, действующих из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность линейных отображений (англ. set of linear maps, нем. Menge von lineare en), действующих из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$, если множество $$a$$ состоит из отображений векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что данные отображения являются однородными отображениями векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ и аддитивными отображениями векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ u\in \mathrm{Map}(b,p) \ \land \ \bigl(\, u\in \mathrm{HomMap}(b,p) \ \land \ u\in \mathrm{AddMap}(b,p) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinMap}(b,p)$$.

Связанные определения
Совокупность линейных функционалов векторного пространства.

Линейное отображение, действующее из векторного пространства в векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Op}^2(q)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \mathrm{CartProd}(\langle e,q \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$s\in \mathrm{Function}(t,q)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,d,r,s \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(q,d;r,s)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — линейное отображение (англ. linear map, нем. linearer Abbildung), действующее из векторного пространства $$b$$ в векторное пространство $$p$$ или кратко линейное отображение, если множество $$a$$ является элементом совокупности линейных отображений векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u = \mathrm{LinMap}(b,p) \Rightarrow a\in u $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinMap}(b,p)$$.

Связанные определения
Линейный оператор векторного пространства;

Линейный функционал векторного пространства.

Совокупность отображений, действующих из векторных пространств в векторные пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,


 * $$l = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$m\in l$$ - элемент множества-бесконечности,


 * $$n\in \mathrm{Function}(m, b)$$ - кортеж элементов множества,


 * $$o = \mathrm{Function}\bigl( m,\{c\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением поля,


 * $$p\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^2\bigl( n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,


 * $$q = \mathrm{Function}\bigl( m,\{d\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением носителя поля,
 * $$r = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle q(\epsilon),n(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
 * $$s\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( r(\epsilon),n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,


 * $$t = \Bigl\{ \bigl\langle n(\epsilon), o(\vartheta), p(\varkappa), s(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in m \atop \vartheta\in m} \atop {\varkappa\in m \atop \varpi\in m}}$$ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$u\in \mathrm{Function}(m,t)$$ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
 * $$u = \Bigl\langle \bigl\langle n(\epsilon),o(\epsilon),p(\epsilon),s(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$u = \Bigl\langle \mathrm{VectorSpace}\bigl( n(\epsilon),c; p(\epsilon), s(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж векторных пространств,


 * $$w\in \mathrm{Function}(m, v)$$ - кортеж элементов множества,


 * $$x = \mathrm{Function}\bigl( m,\{c\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением поля,


 * $$y\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^2\bigl( w(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,


 * $$z = \mathrm{Function}\bigl( m,\{d\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением носителя поля,
 * $$\alpha = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle z(\epsilon),w(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
 * $$\beta\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( \alpha(\epsilon),w(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,


 * $$\gamma = \Bigl\{ \bigl\langle w(\epsilon), x(\vartheta), y(\varkappa), \beta(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in m \atop \vartheta\in m} \atop {\varkappa\in m \atop \varpi\in m}}$$ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$\delta\in \mathrm{Function}(m,\gamma)$$ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
 * $$\delta = \Bigl\langle \bigl\langle w(\epsilon),x(\epsilon),y(\epsilon),\beta(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$\delta = \Bigl\langle \mathrm{VectorSpace}\bigl( w(\epsilon),c; y(\epsilon), \beta(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж векторных пространств,

Множество $$a$$ — совокупность отображений (англ. set of maps, нем. Menge von Abbildungen), действующих из кортежа $$u$$ векторных пространств в кортеж $$\delta$$ векторных пространств, если множество $$a$$ является совокупностью функций, действующих из прямого произведения координат кортежа $$n$$ длины $$m$$ элементов множества $$b$$ в прямое произведение координат кортежа $$w$$ длины $$m$$ элементов множества $$v$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,\delta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \varepsilon \ \forall \zeta \quad \bigl( \varepsilon = \mathrm{CartProd}(n) \ \land \ \zeta = \mathrm{CartProd}(w) \bigr) \Rightarrow a = \mathrm{Function}(\varepsilon,\zeta) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,\delta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Map}(u,\delta)$$.

Связанные определения
Совокупность операторов векторных пространств;

Совокупность функционалов векторных пространств.

Отображение, действующее из векторных пространств в векторные пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,


 * $$l = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$m\in l$$ - элемент множества-бесконечности,


 * $$n\in \mathrm{Function}(m, b)$$ - кортеж элементов множества,


 * $$o = \mathrm{Function}\bigl( m,\{c\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением поля,


 * $$p\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^2\bigl( n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,


 * $$q = \mathrm{Function}\bigl( m,\{d\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением носителя поля,
 * $$r = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle q(\epsilon),n(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
 * $$s\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( r(\epsilon),n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,


 * $$t = \Bigl\{ \bigl\langle n(\epsilon), o(\vartheta), p(\varkappa), s(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in m \atop \vartheta\in m} \atop {\varkappa\in m \atop \varpi\in m}}$$ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$u\in \mathrm{Function}(m,t)$$ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
 * $$u = \Bigl\langle \bigl\langle n(\epsilon),o(\epsilon),p(\epsilon),s(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$u = \Bigl\langle \mathrm{VectorSpace}\bigl( n(\epsilon),c; p(\epsilon), s(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж векторных пространств,


 * $$w\in \mathrm{Function}(m, v)$$ - кортеж элементов множества,


 * $$x = \mathrm{Function}\bigl( m,\{c\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением поля,


 * $$y\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^2\bigl( w(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,


 * $$z = \mathrm{Function}\bigl( m,\{d\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением носителя поля,
 * $$\alpha = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle z(\epsilon),w(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
 * $$\beta\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( \alpha(\epsilon),w(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,


 * $$\gamma = \Bigl\{ \bigl\langle w(\epsilon), x(\vartheta), y(\varkappa), \beta(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in m \atop \vartheta\in m} \atop {\varkappa\in m \atop \varpi\in m}}$$ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$\delta\in \mathrm{Function}(m,\gamma)$$ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
 * $$\delta = \Bigl\langle \bigl\langle w(\epsilon),x(\epsilon),y(\epsilon),\beta(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$\delta = \Bigl\langle \mathrm{VectorSpace}\bigl( w(\epsilon),c; y(\epsilon), \beta(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж векторных пространств,

Множество $$a$$ — отображение (англ. map, нем. Abbildung), действующее из кортежа $$u$$ векторных пространств в кортеж $$\delta$$ векторных пространств или кратко отображение, если множество $$a$$ является элементом совокупности отображений, действующих из кортежа $$u$$ векторных пространств над полем $$d$$ в кортеж $$\delta$$ векторных пространств над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,\delta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \varepsilon \quad \varepsilon = \mathrm{Map}(u,\delta) \Rightarrow a\in \varepsilon $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,\delta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Map}(u,\delta)$$.

Связанные определения
Оператор векторных пространств;

Функционал векторных пространств.