Внутренность

Внутренность множества в топологическом пространстве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$f\subseteq c$$ - подмножество.

Множество $$a$$ — внутренность (англ. interior, нем. Inneres) множества $$f$$ в топологическом пространстве $$b$$ или кратко внутренность множества $$f$$, если множество $$a$$ является объединением элементов множества всех открытых множеств топологического пространства $$b$$, которые являются подмножествами множества $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad \bigl( \ \forall h \quad h\in g \Leftrightarrow (\, h\in \mathrm{OpenSet}(b) \ \land \ h\subseteq f \,) \ \bigr) \Rightarrow a = \bigcup g $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Interior}_b(f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Interior}(f)$$.

Связанные статьи
Внутренняя точка.

Внутренность множества в метрическом пространстве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$o\subseteq c$$ - подмножество.

Множество $$a$$ — внутренность (англ. interior, нем. Inneres) множества $$o$$ в метрическом пространстве $$b$$ или кратко внутренность множества $$o$$, если множество $$a$$ состоит из точек множества $$o$$, для которых существует элемент множества $$e$$ такой, что открытый шар с радиусом равным данному элементу множества $$e$$ и центром в данной точке множества $$o$$ является подмножеством множества $$o$$: $$ \Upsilon(a,\ldots, o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in o \ \land \ \bigl( \, \exists q \quad q\in e \ \land \ ( \forall r \quad r = \mathrm{OpenBall}(p,q) \Rightarrow r\subseteq o) \, \bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Interior}_b(o)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Interior}(o)$$.

Связанные статьи
Внутренняя точка.