Тело

Тело по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — тело (или кольцо с делением) (англ. skew ring or division ring, нем. Schiefkörper oder Divisionsring) по операциям $$h,i$$ или кратко тело, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a \in \mathrm{UnitalRing}(b;h,i)\\ \forall j \quad j\in b \Rightarrow \Bigl( \ ^\neg\bigl( \, j \in \mathrm{Neutral}(h_a) \, \bigr) \Rightarrow \bigl( \, \exists k \quad k\in b \ \land \ k = \mathrm{Neutral}(i_a) \ \land \ (\, \exists l \quad l\in \mathrm{Inversion}_{i_a}^k(j) \,) \, \bigr) \ \Bigr) \\ \end{cases} $$
 * 1) алгебраическая структура $$a$$ является кольцом с нейтральным элементом по операциям $$h,i$$,
 * 2) для любого элемента множества $$b$$, если данный элемент множества не является нейтральным элементом интерпретации символа операции $$h$$ на множестве $$b$$, то существует инверсия данного элемента множества $$b$$ относительно интерпретации символа операции $$i$$ на множестве $$b$$ и её нейтрального элемента:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a \in \mathrm{SkewRing}(b;h,i)$$.

Замечание
Тело по операциям $$+, \cdot$$ будем называть стандартным телом (англ. standard skew ring, нем. standard Schiefkörper).

Связанные статьи
Поле.