Окрестность

Окрестность точки топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f$$ - множества,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$f\in c$$ - точка.

Множество $$a$$ — окрестность (англ. neighbourhood or neighborhood, нем. Umgebung) точки $$f$$ топологического пространства $$b$$ или кратко окрестность точки $$f$$, если множество $$a$$ является открытым множеством топологического пространства $$b$$, содержащим точку $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ f\in a \ \land \ a\in e $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{O}_b(f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{O}(f)$$.

Окрестность подмножества топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f$$ - множества,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$f\subseteq c$$ - подмножество.

Множество $$a$$ — окрестность (англ. neighbourhood or neighborhood, нем. Umgebung) подмножества $$f$$ топологического пространства $$b$$ или кратко окрестность подмножества $$f$$, если множество $$a$$ является открытым множеством топологического пространства $$b$$, содержащим множество $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ f\subseteq a \ \land \ a\in e $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{O}_b(f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{O}(f)$$.

Проколотая окрестность точки топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f$$ - множества,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$f\in c$$ - точка.

Множество $$a$$ — проколотая окрестность (англ. punctured neighbourhood or punctured neighborhood, нем. punktierte Umgebung) точки $$f$$ топологического пространства $$b$$ или кратко проколотая окрестность точки $$f$$, если множество $$a$$ не содержит точки $$f$$ и объединение множества $$a$$ и единичного множества точки $$f$$ является окрестностью точки $$f$$ топологического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a \cup \{f\} \in \mathrm{O}_b(f) \ \land \ {}^\neg (\, f\in a \,) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \dot\mathrm{O}_b(f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \dot\mathrm{O}(f)$$.

Окрестность точки метрического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$o\in c$$ - точка.

Множество $$a$$ — окрестность (англ. neighbourhood or neighborhood, нем. Umgebung) точки $$o$$ в метрическом пространстве $$b$$ или кратко окрестность точки $$o$$, если множество $$a$$ является открытым шаром некоторого радиуса с центром в точке $$o$$ в метрическом пространстве $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists p \quad p\in e \ \land \ a = \mathrm{OpenBall}(o,p) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{O}_b(o)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{O}(o)$$.