Непрерывная функция

Совокупность непрерывных в точке функций, действующих из топологического пространства в топологическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$h = \mathrm{PowerSet}(g)$$ - множество-степень множества,
 * $$i\subseteq h$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$i\in \mathrm{Top}(g)$$ - топология,
 * $$f = \mathrm{TopSpace}(g,i)$$ - топологическое пространство,
 * $$k\in c$$ - точка,
 * $$j = \mathrm{Function}(c,g)$$ - совокупность функций,
 * $$a\subseteq j$$ - подмножество совокупности функций.

Множество $$a$$ — совокупность непрерывных в точке $$k$$ функций (англ. set of continuous in point $$k$$ functions, нем. Menge von stetigen im Punkt $$k$$ Funktionen), действующих из топологического пространства $$b$$ в топологическое пространство $$f$$, или кратко совокупность непрерывных в точке $$k$$ функций, если для любого элемента множества $$a$$ выполнено следующее условие: для любой окрестности значения функции $$l$$ в точке $$k$$ существует окрестность точки $$k$$ такая, что образ окрестности $$n$$ при отображении $$l$$ является подмножеством окрестности $$m$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \quad l\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall m \quad m\in \mathrm{O}_f(a(k)) \Rightarrow \bigl(\, \exists n \quad n\in \mathrm{O}_b(k) \ \land \ \mathrm{Image}_a(n) \subseteq m \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{C}^0_k(b,f)$$.

Непрерывная в точке функция, действующая из топологического пространства в топологическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$h = \mathrm{PowerSet}(g)$$ - множество-степень множества,
 * $$i\subseteq h$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$i\in \mathrm{Top}(g)$$ - топология,
 * $$f = \mathrm{TopSpace}(g,i)$$ - топологическое пространство,
 * $$k\in c$$ - точка,
 * $$j = \mathrm{Function}(c,g)$$ - совокупность функций,
 * $$l\subseteq j$$ - подмножество совокупности функций,
 * $$l = \mathrm{C}^0_k(b,f)$$ - совокупность непрерывных в точке функций,
 * $$a\in l$$ - элемент совокупность непрерывных в точке функций.

Множество $$a$$ — непрерывная в точке $$k$$ функция (англ. continuous in point $$k$$ function, нем. stetige im Punkt $$k$$ Funktion), действующая из топологического пространства $$b$$ в топологическое пространство $$f$$, или кратко непрерывная в точке $$k$$ функция.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{C}^0_k(b,f)$$.

Совокупность непрерывных функций, действующих из топологического пространства в топологическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$h = \mathrm{PowerSet}(g)$$ - множество-степень множества,
 * $$i\subseteq h$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$i\in \mathrm{Top}(g)$$ - топология,
 * $$f = \mathrm{TopSpace}(g,i)$$ - топологическое пространство,
 * $$j = \mathrm{Function}(c,g)$$ - совокупность функций,
 * $$a\subseteq j$$ - подмножество совокупности функций.

Множество $$a$$ — совокупность непрерывных функций (англ. set of continuous functions, нем. Menge von stetigen Funktionen), действующих из топологического пространства $$b$$ в топологическое пространство $$f$$, или кратко совокупность непрерывных функций, если для любого элемента множества $$a$$ выполнено следующее условие: в каждой точке топологического пространства $$b$$ функция $$k$$ является непрерывной в точке $l$ функцией, действующей из топологического пространства $$b$$ в топологическое пространство $$f$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \forall l \quad l\in c \Rightarrow k\in \mathrm{C}^0_l(b,f) \,\bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{C}^0(b,f)$$.

Непрерывная функция, действующая из топологического пространства в топологическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$h = \mathrm{PowerSet}(g)$$ - множество-степень множества,
 * $$i\subseteq h$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$i\in \mathrm{Top}(g)$$ - топология,
 * $$f = \mathrm{TopSpace}(g,i)$$ - топологическое пространство,
 * $$j = \mathrm{Function}(c,g)$$ - совокупность функций,
 * $$k\subseteq j$$ - подмножество совокупности функций,
 * $$k = \mathrm{C}^0(b,f)$$ - совокупность непрерывных в точке функций,
 * $$a\in k$$ - элемент совокупность непрерывных в точке функций.

Множество $$a$$ — непрерывная функция (англ. continuous function, нем. stetige Funktion), действующая из топологического пространства $$b$$ в топологическое пространство $$f$$, или кратко непрерывная функция.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{C}^0(b,f)$$.

Совокупность непрерывных в точке функций, действующих из метрического пространства в метрическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,s$$ - множества,
 * $$g = \langle h,i,j \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$q = \mathrm{CartPower}^2(p) $$ - декартов квадрат множества,
 * $$r\in \mathrm{Function}(q,e)$$ - функция,
 * $$o = \langle p,d,r \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$o = \mathrm{MetricSpace}(p,d;r)$$ - метрическое пространство,
 * $$s\in c$$ - точка.

Множество $$a$$ — совокупность непрерывных в точке $$s$$ функций (англ. set of continuous in point $$s$$ functions, нем. Menge uon stetigen im Punkt $$s$$ Funktionen), действующих из метрического пространства $$b$$ в метрическое пространство $$o$$, или кратко совокупность непрерывных в точке $$s$$ функций, если множество $$a$$ состоит из функций, действующих из носителя $$c$$ метрического пространства $$b$$ в носитель $$p$$ метрического пространства $$o$$, удовлетворяющих следующему условию: для любой окрестности значения функции $$t$$ в точке $$s$$ существует окрестность точки $$s$$ такая, что образ окрестности $$v$$ при отображении $$t$$ является подмножеством окрестности $$u$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall t \quad t\in \mathrm{Function}(c,p) \Rightarrow \Biggl( t\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall u \quad u\in \mathrm{O}_o(t(s)) \Rightarrow \bigl( \, \exists v \quad v\in \mathrm{O}_b(s) \ \land \ \mathrm{Image}_t(v) \subseteq u \, \bigr) \Bigr) \Biggr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{C}^0_s(b,o)$$.

Непрерывная в точке функция, действующая из метрического пространства в метрическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$q = \mathrm{CartPower}^2(p)$$ - декартов квадрат,
 * $$r\in \mathrm{Function}(q,e)$$ - функция,
 * $$o = \mathrm{MetricSpace}(p,d;r)$$ - метрическое пространство,
 * $$s\in c$$ - точка,
 * $$t = \mathrm{Function}(c,p)$$ - совокупность функций,
 * $$u\subseteq t$$ - подмножество совокупности функций,
 * $$u = \mathrm{C}^0_s(b,o)$$ - совокупность непрерывных в точке функций,
 * $$a\in u$$ - элемент совокупности непрерывных в точке функций.

Функция $$a$$ — непрерывная в точке $$s$$ функция (англ. continuous in point $$t$$ function, нем. stetige im Punkt $$t$$ Funktion), действующая из метрического пространства $$b$$ в метрическое пространство $$o$$, или кратко непрерывная в точке $$s$$ функция.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{C}^0_s(b,o)$$.

Совокупность непрерывных функций, действующих из метрического пространства в метрическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$q = \mathrm{CartPower}^2(p) $$ - декартов квадрат множества,
 * $$r\in \mathrm{Function}(q,e)$$ - функция,
 * $$o = \langle p,d,r \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$o = \mathrm{MetricSpace}(p,d;r)$$ - метрическое пространство.

Множество $$a$$ — совокупность непрерывных функций (англ. set of continuous functions, нем. Menge von stetigen Funktionen), действующих из метрического пространства $$b$$ в метрическое пространство $$o$$, или кратко совокупность непрерывных функций, если множество $$a$$ состоит из функций, действующих из носителя $$c$$ метрического пространства $$b$$ в носитель $$p$$ метрического пространства $$o$$, удовлетворяющих следующему условию: для каждой точки метрического пространства $$b$$ функция $$s$$ является непрерывной в точке $t$ функцией, действующей из метрического пространства $$b$$ в метрическое пространство $$o$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \quad s\in \mathrm{Function}(c,p) \Rightarrow \Bigl( \ s\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \forall t \quad t\in c \Rightarrow s\in \mathrm{C}^0_t(b,o) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{C}^0(b,o)$$.

Непрерывная функция, действующая из метрического пространства в метрическое пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,s,t$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$q = \mathrm{CartPower}^2(p)$$ - декартов квадрат,
 * $$r\in \mathrm{Function}(q,e)$$ - функция,
 * $$o = \mathrm{MetricSpace}(p,d;r)$$ - метрическое пространство,
 * $$s = \mathrm{Function}(c,p)$$ - совокупность функций,
 * $$t\subseteq s$$ - подмножество совокупности функций,
 * $$t = \mathrm{C}^0(b,o)$$ - совокупность непрерывных функций,
 * $$a\in t$$ - элемент совокупности непрерывных в точке функций.

Функция $$a$$ — непрерывная функция (англ. continuous function, нем. stetige Funktion), действующая из метрического пространства $$b$$ в метрическое пространство $$o$$, или кратко непрерывная функция.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{C}^0(b,o)$$.