Критерий базиса векторного пространства

Пусть


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество носителя векторного пространства,

тогда множество $$a$$ является базисом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 * 1) линейная оболочка множества $$a$$ является векторным пространством $$b$$;
 * 2) для любого подмножества носителя $$c$$ векторного пространства $$b$$ если линейная оболочка множества $$p$$ равна векторному пространству $$b$$, то существует инъекция, действующая из множества $$a$$ в множество $$p$$: