Предельная точка

Предельная точка множества в топологическом пространстве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$f\subseteq c$$ - подмножество,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$a\in c$$ - точка.

Точка $$a$$ — предельная точка (или точка сгущения) (англ. limit point, нем. Häufungspunkt) множества $$f$$ в топологическом пространстве $$b$$ или кратко предельная точка множества $$f$$, если любая проколотая окрестность точки $$a$$ содержит некоторую точку множества $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g = \dot\mathrm{O}_b(a) \Rightarrow (\, \exists h \quad h\in g \ \land \ h\in f \,) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LimitPoint}_b(f)$$.

Предельная точка множества в метрическом пространстве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат,
 * $$n = \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$a\in c$$ - точка,
 * $$o\subseteq c$$ - подмножество.

Точка $$a$$ — предельная точка (или точка сгущения) (англ. limit point, нем. Häufungspunkt) множества $$o$$ в метрическом пространстве $$b$$ или кратко предельная точка множества $$o$$, если пересечение любой окрестности точки $$a$$ и множества $$o$$ является бесконечным множеством : $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in \mathrm{O}_b(a) \Rightarrow (\, \forall q \quad q = o\cap p \Rightarrow \mathrm{Card}(q)\geq \aleph_0 \,) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LimitPoint}_b(o)$$.