Ограниченный оператор

Совокупность ограниченных операторов нормированного векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{Functional}(p)$$ - функционал,
 * $$q = \langle p,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$q = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$s = \mathrm{Operator}(p)$$ - совокупность операторов,
 * $$a\subseteq s$$ - подмножество совокупности операторов.

Множество $$a$$ — совокупность ограниченных операторов (англ. set of bounded operators, нем. Menge von beschränkte Operatoren) нормированного векторного пространства $$q$$ или кратко совокупность ограниченных операторов, если для любого элемента множества $$a$$ существует элемент носителя $$d$$ линейно упорядоченного поля $$c$$ такой, что для произвольного вектора нормированного векторного пространства $$q$$ упорядоченная пара нормы {значения оператора $$t$$ от вектора $$v$$} и {значения интерпретации символа операции $$k$$ на множестве $$d$$ от множества $$u$$ и нормы вектора $$v$$} принадлежит интерпретации символа отношения $$l$$ на множестве $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall t \quad t\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists u \quad u\in d \ \land \ \Bigl(\, \forall v \quad v\in b \Rightarrow \Bigl\langle r\bigl( t(v) \bigr),k_d\bigl( u,r(v) \bigr) \Bigr\rangle\in l_d \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{BoundedOperator}(q)$$.

Ограниченный оператор нормированного векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{Functional}(p)$$ - функционал,
 * $$q = \langle p,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$q = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$s = \mathrm{Operator}(p)$$ - совокупность отображений,
 * $$t\subseteq s$$ - подмножество совокупности отображений.
 * $$t = \mathrm{BoundedOperator}(q)$$ - совокупность ограниченных операторов,
 * $$a\in t$$ - элемент совокупность ограниченных операторов.

Множество $$a$$ — ограниченный оператор (англ. bounded operator, нем. beschränkter Operator) нормированного векторного пространства $$q$$ или кратко ограниченный оператор.