Определитель матрицы

Функция определителя квадратной матрицы элементов носителя стандартного полукольца с нейтральным элементом

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N} \ \land \ \cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{UnitalSemiring}(c;+,\cdot)$$ - стандартное полукольцо с нейтральным элементом,
 * $$i = \mathrm{SquareMatrix}(c)$$ - совокупность всех квадратных матриц элементов носителя стандартного полукольца с нейтральным элементом,
 * $$a\in \mathrm{Function}(i,c)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из совокупности всех квадратных матриц $$i$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ в носитель $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ — функция определителя (или функция детерминанта) (англ. function of determinant, нем. Funktion der Determinante) квадратной матрицы элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца нейтральным элементом $$b$$ или кратко функция определителя квадратной матрицы над стандартным полукольцом с нейтральным элементом $$b$$, если функция $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall j \quad j = \mathrm{Transposition}_c \Rightarrow a\in \mathrm{Invariant}_j(i,c)\\ \forall j \quad j\in \mathrm{N} \Rightarrow \Bigl( \ \forall k \quad k\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c) \Rightarrow \bigl( k = \mathrm{SquareIdentityMatrix}_{\, j}^b \Rightarrow a(k) = \mathrm{Neutral}(\cdot_{\, b}) \bigr) \ \Bigr)\\ \forall j \quad j\in \mathrm{N} \Rightarrow \Bigl( \ \forall k \quad k\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c) \Rightarrow \bigl( \forall l \quad l\in \mathrm{Function}(j,c) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,l) \bigr) \ \Bigr)\\ \forall j \quad j\in \mathrm{N} \Rightarrow \Bigl( \ \forall k \quad k\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c) \Rightarrow \bigl( \forall l \quad l\in c \Rightarrow \Psi(a,\ldots,l) \bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \ \forall n \quad \bigl( m\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c) \ \land \ n\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c) \bigr) \Rightarrow \Bigl( \ \Chi(a,\ldots,n) \Rightarrow a(k) = +_b\bigl( a(m), a(n) \bigr) \ \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists o \quad \begin{cases} o\in j\\ \forall p \quad p\in j \Rightarrow \Bigr( k(o,p) = +_b\bigl( m(o,p),l(p) \bigr) \ \land \ n(o,p) = l(p) \Bigr)\\ \forall q \quad \bigl( {}^\neg(q = o) \ \land \ q\in j \bigr) \Rightarrow \Bigl( \forall r \quad r\in j \Rightarrow \bigl( k(q,r) = m(q,r) \ \land \ n(q,r) = m(q,r) \bigr) \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Psi(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c) \Rightarrow \Bigl( \ \Omega(a,\ldots,m) \Rightarrow a(k) = \,\cdot_{\ b}\bigl( l, a(m) \bigr) \ \Bigr)\\ \Omega(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists n \quad \begin{cases} n\in j\\ \forall o \quad o\in j \Rightarrow k(n,o) = \,\cdot_{\ b}\bigl( l,m(n,o) \bigr)\\ \forall p \quad \bigl( {}^\neg(p = n) \ \land \ p\in j \bigr) \Rightarrow \bigl( \forall q \quad q\in j \Rightarrow k(p,q) = m(p,q) \bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases} $$
 * 1) функция $$a$$ инвариантна относительно операции транспонирования квадратных матриц элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$;
 * 2) для произвольного элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$ значение функции $$a$$ от единичной квадратной матрицы порядка $$j$$ над стандартным полукольцом с нейтральным элементом $$b$$ равно нейтральному элементу умножения на носителе $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$;
 * 3) для произвольного элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$, для любой квадратной матрицы порядка $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ , для любого кортежа длины $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ , для любых двух квадратных матриц порядка $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ если существует элемент множества $$j$$ такой, что {для каждого элемента множества $$j$$ значение матрицы $$k$$ от упорядоченной пары множеств $$o,p$$ равно сумме значения матрицы $$m$$ от упорядоченной пары $$o,p$$ и $p$-й координаты кортежа $$l$$ и значение матрицы $$n$$ от упорядоченной пары $$o,p$$ равно $$p$$-й координате кортежа $$l$$} и {для любого элемента множества $$j$$ не равного множеству $$o$$ , для каждого элемента множества $$j$$ значение матрицы $$k$$ от упорядоченной пары множеств $$q,r$$ равно значению матрицы $$m$$ от упорядоченной пары множеств $$q,r$$ и значение матрицы $$n$$ от упорядоченной пары множеств $$q,r$$ равно значению матрицы $$m$$ от упорядоченной пары множеств $$q,r$$}, то значение функции $$a$$ от матрицы $$k$$ равно сумме значения функции $$a$$ от матрицы $$m$$ и значения функции $$a$$ от матрицы $$n$$;
 * 4) для произвольного элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$, для любой квадратной матрицы порядка $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ , для любого элемента носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ , для любой квадратной матрицы порядка $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ если существует элемент множества $$j$$ такой, что {для каждого элемента множества $$j$$ значение матрицы $$k$$ от упорядоченной пары множеств $$n,o$$ равно произведению множества $$l$$ и значения матрицы $$m$$ от упорядоченной пары $$o,p$$} и {для любого элемента множества $$j$$ не равного множеству $$n$$ , для каждого элемента множества $$j$$ значение матрицы $$k$$ от упорядоченной пары множеств $$p,q$$ равно значению матрицы $$m$$ от упорядоченной пары множеств $$p,q$$}, то значение функции $$a$$ от матрицы $$k$$ равно произведению множества $$l$$ и значения функции $$a$$ от матрицы $$m$$: