Подпространство

Подпространство векторного пространства, порождённое множеством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p\subseteq c$$ - подмножество носителя,
 * $$q\in \mathrm{Op}^2(p)$$ - бинарная операция,
 * $$s = \mathrm{CartProd}(\langle e,p \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$r\in \mathrm{Function}(s,p)$$ - функция,
 * $$a = \langle p,d,q,r \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств.

Упорядоченная четвёрка $$a$$ множеств — подпространство (англ. subspace, нем. Unterraum oder Teilraum) векторного пространства $$b$$, порождённое множеством $$p$$, если выполнены следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall t \quad t = \mathrm{CartProd}^2(p) \Rightarrow q = m\bigr|_t\\ r = n\bigr|_s\\ \end{cases} $$
 * 1) операция $$q$$ является сужением операции $$m$$ на декартов квадрат множества $$p$$;
 * 2) функция $$r$$ является сужением функции $$n$$ на множество $$s$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Subspace}_b(p,d;q,s)$$.

Связанные статьи
Линейная оболочка;

Теорема о свойствах подпространства векторного пространства, порождённого множеством.