Теорема о существовании и единственности множества-бесконечности

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома бесконечности,
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда существует единственное множество-бесконечность: $$ \begin{cases} \exists a \quad \Upsilon(a) \ \land \ \bigl(\, \forall b \quad \Upsilon(b) \Rightarrow b = a \,\bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \mathrm{a}\in \mathrm{InductiveSet} \ \land \ (\forall \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in \mathrm{InductiveSet} \Rightarrow \mathrm{a}\subseteq \mathrm{b})\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы бесконечности следует существование непустой совокупности индуктивных множеств : $$ \exists b \quad b = \mathrm{InductiveSet} \ \land \ {}^\neg (b = \varnothing) $$

Из теоремы о существовании и единственности пересечения элементов множества следует существование пересечения элементов множества $$a$$ : $$ \exists a \quad a = \bigcap b $$

Докажем, что построенное множество $$a$$ есть искомое множество-бесконечность.

Из определения пересечения элементов множества следует, что множество $$a$$ состоит из множеств, содержащихся в любом элементе множества $$b$$: $$ \forall c \quad c\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \forall d \quad d\in b \Rightarrow c\in d \,\bigr) $$ Из определения совокупности индуктивных множеств следует, что: $$ \bigl(\, \forall d \quad d\in b \Rightarrow \varnothing \in d \,\bigr) \Rightarrow \varnothing \in a $$ $$ \forall c \quad c\in a \Rightarrow (c\cup \{c\})\in a $$ Таким образом, множество $$a$$ является элементом множества $$b$$ : $$ a\in b $$
 * пустое множество принадлежит множеству $$a$$:
 * объединение произвольного элемента множества $$a$$ и единичного множества данного элемента множества $$a$$ принадлежит множеству $$a$$:

Из теоремы о свойствах пересечения элементов множества следует, что множество $$a$$ является подмножеством любого элемента множества $$b$$: $$ \forall c \quad c\in b \Rightarrow a\subseteq c $$

Построенное множество $$a$$ есть искомое множество-бесконечность. Таким образом, доказано существование множества-бесконечности.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.

Пусть для произвольного множества-бесконечности существует множество-бесконечность неравное множеству $$a$$ : $$ \begin{cases} \forall a \quad \Upsilon(a) \Rightarrow \bigl(\, \exists b \quad \Upsilon(b) \ \land \ {}^\neg(a = b) \,\bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \mathrm{a}\in \mathrm{InductiveSet} \ \land \ (\forall \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in \mathrm{InductiveSet} \Rightarrow \mathrm{a}\subseteq \mathrm{b})\\ \end{cases} $$ Из определения множества-бесконечности следует, что $$ \begin{cases} a\in \mathrm{InductiveSet} \ \land \ (\forall c \quad c\in \mathrm{InductiveSet} \Rightarrow a\subseteq c)\\ b\in \mathrm{InductiveSet} \ \land \ (\forall c \quad c\in \mathrm{InductiveSet} \Rightarrow b\subseteq c)\\ \end{cases} $$ Таким образом, множество $$a$$ является подмножеством множества $$b$$ и множество $$b$$ является подмножеством множества $$a$$: $$ a\subseteq b \ \land \ b\subseteq a $$
 * множество $$a$$ является индуктивным множеством и множество $$a$$ является подмножеством любого индуктивного множества,
 * множество $$b$$ является индуктивным множеством и множество $$a$$ является подмножеством любого индуктивного множества:

Из аксиомы объёмности следует, что множество $$a$$ равно множеству $$b$$. Пришли к необходимому противоречию. Таким образом, доказана единственность множества-бесконечности.