Теорема о существовании и единственности множества-степени множества

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома множества-степени,
 * аксиома объёмности.

Тогда для любого множества существует единственное множество-степень множества $$a$$: $$ \begin{cases} \forall a \quad \Bigl( \ \exists b \quad \Upsilon(a,b) \ \land \ \bigl(\, \forall c \quad \Upsilon(a,c) \Rightarrow c = b \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow \mathrm{c}\subseteq \mathrm{a}\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы множества-степени следует существование множества-степени множества $$a$$ : $$ \exists b \quad \bigl(\, \forall c \quad c\in b \Leftrightarrow c\subseteq a \,\bigr) $$ Построенное множество $$b$$ есть искомое множество-степень множества $$a$$. Таким образом, ввиду произвольности множества $$a$$ доказано существование множества-степени любого множества.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.