Композиция

Композиция бинарных отношений на множестве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$c\in \mathrm{Rel}^2(b) \ \land \ d\in \mathrm{Rel}^2(b)$$ - бинарные отношения.

Множество $$a$$ — композиция (англ. composition, нем. Komposition) бинарных отношений $$c,d$$ на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является бинарным отношением на множестве $$b$$ и для любых двух элементов множества $$b$$ упорядоченная пара первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда существует элемент множества $$b$$ такой, что упорядоченная пара первого элемента множества $$b$$ и данного элемента множества $$b$$ принадлежит бинарному отношению $$c$$ и упорядоченная пара данного элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ принадлежит бинарному отношению $$d$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Rel}^2(b) \ \land \ \Bigl( \ \forall e \ \forall f \quad (e\in b \ \land \ f\in b) \Rightarrow \bigl( \, \langle e,f \rangle \in a \Leftrightarrow \bigl( \, \exists g \quad g\in b \ \land \ \langle e,g \rangle \in c \ \land \ \langle g,f \rangle \in d \, \bigr) \, \bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CompRel}(c,d)$$.