Теорема о существовании и единственности единичного множества множества

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома пустого множества,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любого множества существует единственное единичное множество множества $$a$$: $$ \begin{cases} \forall a \quad \Bigl( \ \exists b \quad \Upsilon(a,b) \ \land \ \bigl(\, \forall c \quad \Upsilon(a,c) \Rightarrow c = b \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow \mathrm{c} = \mathrm{a}\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы пустого множества следует существование пустого множества : $$ \exists c \quad c = \varnothing $$ Из аксиомы пары следует существование пары множеств $$a,c$$ : $$ \exists d \quad d = \{ a,c \} $$ Из аксиомы выделения следует существование совокупности элементов множества $$d$$, которые равны множеству $$a$$ : $$ \exists b \quad \bigl(\, \forall e \quad e\in b \Leftrightarrow (e\in d \ \land \ e = a) \,\bigr) $$ Построенное множество $$b$$ есть искомое единичное множество множества $$a$$. Таким образом, доказано существование единичного множества множества $$a$$.