Диагональная матрица

Диагональная матрица кортежа элементов носителя аддитивного моноида

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in f \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - бинарная операция,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Monoid}(c;+)$$ - аддитивный моноид,
 * $$i = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$j\in i \ \land \ k\in i$$ - элементы множества-бесконечности,
 * $$l = j\cap k$$ - пересечение элементов множества-бесконечности,
 * $$m\in \mathrm{Function}(l,c)$$ - кортеж элементов носителя аддитивного моноида,
 * $$a\in \mathrm{Matrix}_{\langle j,k \rangle}(c)$$ - матрица элементов носителя аддитивного моноида.

Матрица $$a$$ размера $$j$$ на $$k$$ элементов носителя $$c$$ аддитивного моноида $$b$$ — диагональная матрица (англ. diagonal matrix, нем. Diagonalmatrix) размера $$j$$ на $$k$$ кортежа $$m$$ длины $$l$$ элементов носителя $$c$$ аддитивного моноида $$b$$, если для произвольного элемента {элемента $$j$$ множества-бесконечности $$i$$} и для произвольного элемента {элемента $$k$$ множества-бесконечности $$i$$} выполнены следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in k) \Rightarrow \begin{cases} \bigl( (n\in l \ \land \ o\in l) \ \land \ n = l \bigr) \Rightarrow a(n,o) = m(n)\\ \Bigl( \bigl(\,{}^\neg(n\in l) \ \lor \ {}^\neg(o\in l) \,\bigr) \ \lor \ {}^\neg(n = l) \Bigr) \Rightarrow a(n,o) = \mathrm{Neutral}(+_b)\\ \end{cases} $$
 * 1) если множество $$n$$ принадлежит элементу $$l$$ множества-бесконечности $$i$$ и множество $$o$$ принадлежит элементу $$l$$ множества-бесконечности $$i$$ и множество $$n$$ равно множеству $$o$$, то значение матрицы $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$n,o$$ равно значению кортежа $$m$$ от множества $$n$$;
 * 2) если множество $$n$$ не принадлежит элементу $$l$$ множества-бесконечности $$i$$ или множество $$o$$ не принадлежит элементу $$l$$ множества-бесконечности $$i$$ или множество $$n$$ не равно множеству $$o$$, то значение матрицы $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$n,o$$ равно нейтральному элементу сложения на носителе $$c$$ аддитивного моноида $$b$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DiagonalMatrix}_{\langle j,k \rangle}^b(m)$$.

Связанные определения
Единичная матрица.