Теорема о существовании и единственности объединения двух множеств

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары.

Тогда для любых двух множеств существует единственное объединение множеств $$a,b$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \quad \Bigl( \ \exists c \quad \Upsilon(a,b,c) \ \land \ \bigl(\, \forall d \quad \Upsilon(a,b,d) \Rightarrow d = c \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl(\, \mathrm{d}\in \mathrm{a} \ \lor \ \mathrm{d}\in \mathrm{b} \,\bigr)\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы пары следует существование пары множеств $$a,b$$ : $$ \exists d \quad d = \{ a,b \} $$ Из аксиомы объединения следует существование объединения элементов множества $$d$$ : $$ \exists c \quad \Bigl( \ \forall e \quad e\in c \Leftrightarrow \bigl(\, \exists f \quad e\in f \ \land \ f\in d \,\bigr) \ \Bigr) $$ Построенное множество $$c$$ есть искомое объединение множеств $$a,b$$. Таким образом, ввиду произвольности множеств $$a,b$$ доказано существование объединения любых двух множеств.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.

Пусть для некоторых двух множеств для произвольного объединения множеств $$a,b$$ существует объединение множеств $$a,b$$ неравное множеству $$c$$: $$ \begin{cases} \exists a \ \exists b \quad \Bigl( \ \forall c \quad \Upsilon(a,b,c) \Rightarrow \bigl(\, \exists d \quad \Upsilon(a,b,d) \ \land \ {}^\neg(d = c) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl(\, \mathrm{d}\in \mathrm{a} \ \lor \ \mathrm{d}\in \mathrm{b} \,\bigr)\\ \end{cases} $$ Из определения объединения двух множеств следует, что: $$ \begin{cases} \forall e \quad e\in c \Leftrightarrow (e\in a \ \lor \ e\in b)\\ \forall e \quad e\in d \Leftrightarrow (e\in a \ \lor \ e\in b)\\ \end{cases} $$ Таким образом, множества $$c,d$$ состоят из одних и тех же элементов: $$ \forall e \quad e\in c \Leftrightarrow e\in d $$ Из аксиомы объёмности следует, что множества $$c,d$$ равны: $$ c = d $$ Пришли к необходимому противоречию. Таким образом доказана единственность объединения любых двух множеств.
 * множество $$c$$ состоит из элементов множества $$a$$ и элементов множества $$b$$,
 * множество $$d$$ состоит из элементов множества $$a$$ и элементов множества $$b$$: