Наименьший элемент

Наибольший элемент подмножества носителя линейно упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры,
 * $$a\in j$$ - элемент подмножества носителя линейно упорядоченной структуры.

Элемент $$a$$ подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ — наименьший элемент (англ. least element, нем. kleinste Element) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ или кратко наименьший элемент множества $$j$$, если для произвольного элемента подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ упорядоченная пара множеств $$a,k$$ принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$i$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in j \Rightarrow \langle a,k \rangle\in i_b $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Least}_{i_b}(j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Least}(j)$$.

Связанные определения
Наибольший элемент;

Супремум.