Нулевая матрица

Нулевая матрица элементов носителя аддитивного моноида

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$+\in f \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - бинарная операция,
 * $$b\in \mathrm{Monoid}(c;+)$$ - аддитивный моноид,
 * $$i = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$j\in i \ \land \ k\in i$$ - элементы множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — нулевая матрица (англ. zero matrix, нем. Nullmatrix) размера $$j$$ на $$k$$ элементов носителя $$c$$ аддитивного моноида $$b$$, если для произвольного элемента {элемента $$j$$ множества-бесконечности $$i$$} и для произвольного элемента {элемента $$k$$ множества-бесконечности $$i$$} значение матрицы $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$l,m$$ равно нолю аддитивного моноида $$b$$ $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \ \forall m \quad (l\in j \ \land \ m\in k) \Rightarrow a(l,m)\in \mathrm{Neutral}(+_b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{ZeroMatrix}_{\langle j,k \rangle}^b$$.