Ряд

Ряд из членов последовательности элементов носителя аддитивной полугруппы

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semigroup}(c;+)$$ - аддитивная полугруппа,
 * $$l = \langle m,n,o \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$l = \Sigma(m,n,o)$$ - сигнатура,
 * $$m = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$n = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$o = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p\in \mathrm{Sequence}_j(c) \ \land \ a\in \mathrm{Sequence}_j(c)$$ - последовательности элементов носителя аддитивной полугруппы.

Последовательность $$a$$ элементов носителя аддитивной полугруппы — ряд (англ. series, нем. Reihe) из членов последовательности $$p$$ элементов носителя $$c$$ аддитивной полугруппы $$b$$ или кратко ряд из членов последовательности $$p$$, если последовательность $$a$$ удовлетворяет следующему условию:

для произвольного натурального числа член последовательности, соответствующий натуральному числу $$q$$, определено индукцией по номеру члена последовательности: $$ \Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall q \quad q \in j \Rightarrow \begin{cases} q = \mathfrak{0}_i \Rightarrow a(q) = p(\mathfrak{0}_i)\\ \exists r \quad \bigl( r\in j \ \land \ q = \mathfrak{s}_i(r) \bigr) \ \land \ a(q) = +_i \bigl(\, a(r), p(q) \,\bigr)\\ \end{cases} $$
 * если натуральное число $$q$$ является нулём, то член последовательности $$a$$, соответствующий натуральному числу $$q$$, является членом последовательности $$p$$, соответствующим нулю,
 * натуральное число $$q$$ является последователем некоторого натурального числа, и член последовательности $$a$$, соответствующий натуральному числу $$q$$, является суммой члена последовательности $$a$$, соответствующего натуральному числу $$r$$, и члена последовательности $$p$$, соответствующего натуральному числу $$q$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Series}_b(p)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Series}(p)$$.

Связанные статьи
Частичная сумма ряда.