Операция взятия модуля

Операция взятия модуля на множестве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$\left|\circ\right|\in g$$ - символ операции.

Множество $$a$$ — операция взятия модуля (англ. operation of taking the module, нем. Operation des Nehmens des Moduls) на множестве $$c$$ или кратко операция взятия модуля, если множество $$a$$ является интерпретацией символа операции $$\left|\circ\right|$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \left|\circ\right|_b $$

Связанные определения
Значение операции взятия модуля от элементов множества $$c$$ — модуль (англ. module, нем. Modul) элементов множества $$c$$.

Операция взятия модуля в стандартной линейно упорядоченной аддитивной группе

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$\langle \in f \ \land \ h(\langle) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$\left|\circ\right| \in g \ \land \ h(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$+ \in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b \in \mathrm{LinOrdGroup}(c;i,j)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$a = \left|\circ\right|_b$$ - операция взятия модуля.

Операция взятия модуля $$a$$ на носителе $$c$$ стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$b$$ — операция взятия модуля (англ. module operation, нем. Module Operationen) в стандартной линейно упорядоченной аддитивной группе $$b$$ или кратко операция взятия модуля, если для любого элемента носителя $$c$$ стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$b$$ если упорядоченная пара {ноля стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$b$$} и множества $$i$$ принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$, то значение операции $$a$$ от множества $$i$$ равно множеству $$i$$ или если упорядоченная пара множества $$i$$ и {ноля стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$b$$} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$, то значение операции $$a$$ от множества $$i$$ является инверсией множества $$i$$ относительно сложения на множестве $$c$$ и ноля стаднартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \ \forall j \quad \bigl( (i\in c \ \land \ j \in c) \ \land \ j = \mathrm{Neutral}(+_b) \bigr) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \langle j,i \rangle \in \leqslant_b \Rightarrow a(i) = i\\ \langle i,j \rangle \in \leqslant_b \Rightarrow a(i) \in \mathrm{Inversion}_{+_b}^j(i)\\ \end{array} \right. $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \left|\circ\right|_{+_b}^{\leqslant_b}$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \left|\circ\right|_b$$.