Множество-бесконечность


 * $$a$$ - множество.

Множество $$a$$ — множество-бесконечность (англ. infinity-set, нем. Unendlichkeit-Menge), если множество $$a$$ является индуктивным множеством и множество $$a$$ является подмножеством любого индуктивного множества: $$ \Upsilon(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{InductiveSet} \ \land \ ( \forall b \quad b\in \mathrm{InductiveSet} \Rightarrow a\subseteq b ) $$

Из теоремы о существовании и единственности множества-бесконечности следует справедливость следующего обозначения для множества-бесконечности: $$ \Upsilon(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{N} $$

Замечание
Всюду, где пустое множество $$\varnothing$$ рассматривается как элемент множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$, будем его обозначать символом $$0_\mathrm{N}$$ и называть нулём множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$, множество $$\{\, \varnothing \,\} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \varnothing \cup \{\, \varnothing \,\}$$ - символом $$1_\mathrm{N}$$, множество $$\bigl\{\, \varnothing, \{ \varnothing \} \,\bigr\} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \bigl\{\, \varnothing \,\bigr\} \cup \bigl\{\, \{ \varnothing \} \,\bigr\}$$ - символом $$2_\mathrm{N}$$ и т. д.