Функция

Совокупность функций, действующих из множества в множество

 * $$a,b,c$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность функций (англ. set of functions, нем. Menge der Funktionen), действующих из множества $$b$$ в множество $$c$$, или кратко совокупность функций, если множество $$a$$ состоит из упорядоченных троек множеств $$b,c$$ и некоторого подмножества прямого произведения множеств $$b,c$$ таких, что для любого элемента множества $$b$$ существует единственный элемент множества $$c$$ такой, что упорядоченная пара данного элемента множества $$b$$ и данного элемента множества $$c$$ принадлежит данному подмножеству прямого произведения множеств $$b,c$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Phi(a,b,c,d)\\ \Phi(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists e \quad \begin{cases} e\subseteq \mathrm{CartProd}(\langle b,c \rangle)\\ d = \langle b,c,e \rangle\\ \forall f \quad f\in b \Rightarrow \Bigl( \ \exists g \quad g\in c \ \land \ \langle f,g \rangle \in e \ \land \ \bigl(\, \forall h \quad (h\in c \ \land \ \langle f,h \rangle \in e) \Rightarrow h = g \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(b,c)$$.

Функция, действующая из множества в множество

 * $$a,b,c$$ - множества.

Множество $$a$$ — функция (англ. function, нем. Funktion), действующая из множества $$b$$ в множество $$c$$, или кратко функция, если множество $$a$$ является элементом совокупности функций, действующих из множества $$b$$ в множество $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \mathrm{Function}(b,c) \Rightarrow a\in d $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Function}(b,c)$$.

Связанные статьи
Область определения функции;

Область допустимых значений функции;

График функции;

Значение функции;

Область значений функции.

Таким образом, функцию, действующую из множества $$b$$ в множество $$c$$, будем также называть функцией с областью определения $$b$$ и областью допустимых значений $$c$$ или кратко функцией.

Замечания
Порой под функцией мы будем понимать график данной функции, подразумевая известными её область определения и область допустимых значений, и, следовательно, имея возможность однозначного построения функции (в первоначальном значении данного определения) по данным трём множествам.

Примеры
Операция;

Отображение;

Функционал;

Оператор;

Кортеж;

Матрица;

Метрика;

Норма.

Постоянная функция со значением, действующая из множества

 * $$a,b,c$$ - множества.

Множество $$a$$ — постоянная функция (англ. constant function, нем. konstante Funktion) со значением $$c$$, действующая из множества $$b$$, если множество $$a$$ является функцией, действующей из множества $$b$$ в единичное множество множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \{c\} \Rightarrow a\in \mathrm{Function}(b,d) $$

Из теоремы о равенстве постоянных функций с одинаковыми значениями следует справедливость следующего обозначения для постоянной функции $$a$$ со значением $$c$$, действующей из множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}\bigl( b,\{c\} \bigr) $$

Совокупность функций, действующих из координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$e\in c$$ - элемент множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(e,b) \ \land \ g\in \mathrm{Function}(e,c)$$ - кортежи элементов множеств,

Множество $$a$$ — совокупность функций (англ. set of functions, нем. Menge der Funktionen), действующих из координат кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в координаты кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$, если множество $$a$$ состоит из функций, действующих из некоторой координаты кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в некоторую координату кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in a \Leftrightarrow \Biggl( \exists i \ \exists j \quad \Bigl( i\in e \ \land \ j\in e \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall k \ \forall l \quad \bigl( k = f(i) \ \land \ l = g(j) \bigr) \Rightarrow h\in \mathrm{Function}(k,l) \Bigr) \Biggr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup\limits_{\epsilon, \vartheta\in e} \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\vartheta) \bigr)$$.

Совокупность кортежей функций, действующих из координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$e\in c$$ - элемент множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(e,b) \ \land \ g\in \mathrm{Function}(e,c)$$ - кортежи элементов множеств,

Множество $$a$$ — совокупность кортежей функций (англ. set of tuples of functions, нем. Menge der Tupeln der Funktionen), действующих из координат кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в координаты кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$, если множество $$a$$ состоит из кортежей длины $$e$$ элементов совокупности функций, действующих из координат кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в координаты кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$ таких, что для любого элемента элемента $$e$$ множества-бесконечности $$d$$ i-ая координата кортежа $$h$$ является функцией, действующей из $$i$$-й координаты кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в $$i$$-ю координату кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in a \Leftrightarrow \Bigl( \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h) \Rightarrow \Chi(a,b,c,d,e,f,g,h) \Bigr)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \quad i = \bigcup\limits_{\epsilon, \vartheta\in e} \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\vartheta) \bigr) \Rightarrow h\in \mathrm{Function}(e,i)\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \quad i\in e \Rightarrow \Bigl( \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \bigl( (j = f(i) \ \land \ k = g(i)) \ \land \ l = h(i) \bigr) \Rightarrow l\in \mathrm{Function}(j,k) \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in e}$$.

Кортеж функций, действующих из координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$e\in c$$ - элемент множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(e,b) \ \land \ g\in \mathrm{Function}(e,c)$$ - кортежи элементов множеств,

Множество $$a$$ — кортеж функций (англ. tuple of functions, нем. Tupel der Funktionen), действующих из координат кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в координаты кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности кортежей функций, действующих из координат кортежа $$f$$ длины $$e$$ элементов множества $$b$$ в координаты кортежа $$g$$ длины $$e$$ элементов множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h = \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in e} \Rightarrow a\in h $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( f(\epsilon),g(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in e}$$.