Полукольцо

Полукольцо по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ сигнатуры $$d$$, образованная множествами $$b, c$$ — полукольцо (англ. semiring, нем. Halbring) по операциям $$h,i$$ или кратко полукольцо, если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{CommMonoid}(b;h)\\ a\in \mathrm{Semigroup}(b;i)\\ \forall j \quad j\in b \Rightarrow \Bigl( \forall k \quad k = \mathrm{Neutral}(h_a) \Rightarrow \bigl( i_a(j,k) = k \ \land \ i_a(k,j) = k \bigr) \Bigr)\\ i_a\in \mathrm{DistribOp}_{h_a}(b)\\ \end{cases} $$
 * 1) алгебраическая структура $$a$$ является коммутативным моноидом по операции $$h$$,
 * 2) алгебраическая структура $$a$$ является полугруппой по операции $$i$$,
 * 3) для произвольного элемента множества $$b$$ {значение интрепретации символа бинарной операции $$i$$ от множества $$j$$ и нейтрального элемента интерпретации бинарной операции $$i$$ равна нейтральному элементу интерпретации бинарной операции $$i$$} и {значение интрепретации символа бинарной операции от нейтрального элемента интерпретации бинарной операции $$h$$ и множества $$j$$ равна нейтральному элементу интерпретации бинарной операции $$i$$}:
 * 4) интерпретация символа операции $$i$$ на множестве $$b$$ является дистрибутивной операцией на множестве $$b$$ относительно интерпретации символа операции $$h$$,

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Semiring}(b;h,i)$$.

Замечание
Полукольцо по операциям $$+, \cdot$$ будем называть стандартным полукольцом (англ. standard semiring, нем. standard Halbring).

Полукольцо с нейтральным элементом по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — полукольцо с нейтральным элементом (или полукольцо с единицей) (англ. unital semiring or unitary semiring, semiring with unity, semiring with identity, нем. unitären Halbring oder Halbring mit Eins) по операциям $$h,i$$ или кратко полукольцо с нейтральным элементом, если алгебраическая структура $$a$$ является полукольцом по операциям $$h,i$$ и существует нейтральный элемент интерпретации символа операции $$i$$ на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Semiring}(b;h,i) \ \land \ \bigl( \ \exists j \quad j\in b \ \land \ j\in \mathrm{Neutral}(i_a) \ \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{UnitalSemiring}(b;h,i)$$.

Связанные определения
Кольцо.