Аддитивная функция

Субаддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in f \ \land \ h(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdField}(c;\leqslant,+,\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
 * $$k\in \mathrm{Op}^2(j)$$ - бинарная операция,
 * $$m = \mathrm{CartProd}(\langle c,j \rangle)$$ - прямое произведение носителя поля и множества,
 * $$i = \langle j,b,k,l \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
 * $$i = \mathrm{VectorSpace}(j,b;k,l)$$ - векторное пространство,
 * $$a\in \mathrm{Functional}(i)$$ - функционал.

Функционал $$a$$ векторного пространства $$i$$ — субаддитивный функционал (англ. subadditive functional, нем. subadditive Funktional) векторного пространства $$i$$ над стандартным линейно упорядоченным полем $$b$$ или кратко субаддитивный функционал, если для любых двух векторов векторного пространства $$b$$ упорядоченная пара {значения функционала $$a$$ от {значения операции $$k$$ от векторов $$n,o$$}} и {суммы {значения функционала $$a$$ от вектора $$n$$} и {значения функционала $$a$$ от вектора $$o$$}} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in j) \Rightarrow \Bigl\langle a\bigl( k(n,o) \bigr), +_b\bigl( a(n),a(o) \bigr) \Bigr\rangle\in \leqslant_b $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(i)$$.

Примеры
Норма.

Супераддитивный функционал векторного пространства над стандартным линейно упорядоченным полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in f \ \land \ h(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdField}(c;\leqslant,+,\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
 * $$k\in \mathrm{Op}^2(j)$$ - бинарная операция,
 * $$m = \mathrm{CartProd}(\langle c,j \rangle)$$ - прямое произведение носителя поля и множества,
 * $$i = \langle j,b,k,l \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
 * $$i = \mathrm{VectorSpace}(j,b;k,l)$$ - векторное пространство,
 * $$a\in \mathrm{Functional}(i)$$ - функционал.

Функционал $$a$$ векторного пространства $$i$$ — супераддитивный функционал (англ. superadditive functional, нем. superadditive Funktional) векторного пространства $$i$$ над стандартным линейно упорядоченным полем $$b$$ или кратко субаддитивный функционал, если для любых двух векторов векторного пространства $$b$$ упорядоченная пара {суммы {значения функционала $$a$$ от вектора $$n$$} и {значения функционала $$a$$ от вектора $$o$$}} и {значения функционала $$a$$ от {значения операции $$k$$ от векторов $$n,o$$}} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \quad (n\in j \ \land \ o\in j) \Rightarrow \Bigl\langle +_b\bigl( a(n),a(o) \bigr), a\bigl( k(n,o) \bigr) \Bigr\rangle\in \leqslant_b $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SuperadditiveFunctional}(i)$$.

Субаддитивная функция системы множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$b\subseteq d$$ - система множеств,
 * $$h = \langle i,j,k \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in j \ \land \ k(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{LinOrdGroup}(f;+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$a\in \mathrm{Function}(b,f)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из системы подмножеств $$b$$ множества $$c$$ в носитель $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$ —  субаддитивная функция (англ. subadditive function, нем. subadditive Funktion) системы множеств $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$e$$, если для любых двух элементов системы множеств $$b$$ если объединение множеств $$l,m$$ принадлежит системе множеств $$b$$, то упорядоченная пара {значения функции $$a$$ от объединения множеств $$l,m$$} и {суммы {значения функции $$a$$ от множества $$l$$} и {значения функции $$a$$ от множества $$m$$}} принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$f$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \ \forall m \quad (l\in b \ \land \ m\in b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall o \quad o = l\cup m \Rightarrow \bigl(\, o\in b \Rightarrow \bigl\langle a(o), +_e(\, a(l),a(m) \,) \bigr\rangle\in \leqslant_e \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunction}_e(b,f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SubadditiveFunction}(b,f)$$.

σ-субаддитивная функция системы множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$b\subseteq d$$ - система множеств,
 * $$h = \langle i,j,k \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in j \ \land \ k(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{LinOrdGroup}(f;+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$n = \mathrm{PowerSet}(f)$$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$m\subseteq n$$ - подмножество множества-степени носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$m\in \mathrm{Top}(f)$$ - топология на носителе стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l = \mathrm{TopSpace}(f,m)$$ - топологическое пространство,
 * $$r = \Sigma(s,t,u)$$ - сигнатура,
 * $$s = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$t = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$u = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$o = \mathrm{AlgStruct}(p,q,r)$$ - алгебраическая структура,
 * $$o\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$p = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$a\in \mathrm{Function}(b,f)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из системы подмножеств $$b$$ множества $$c$$ в носитель $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$ — σ-субаддитивная функция (сигма-субаддитивная функция, или счётно-субаддитивная функция) (англ. σ-subadditive function or countable subadditive function, нем. σ-subadditive Funktion oder abzählbare subadditive Funktion) системы множеств $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$e$$, ассоциированной с топологическим пространством $$l$$, если для любой последовательности элементов системы множеств $$b$$ если объединение элементов системы множеств $$b$$ последовательностью $$v$$ принадлежит системе множеств $$b$$, то для произвольной последовательности элементов носителя $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$ такой, что для каждого натурального числа $$y$$-й член последовательности $$x$$ равен значению функции $$a$$ от $$y$$-го члена последовательности $$v$$, упорядоченная пара {значения функции $$a$$ от множества $$w$$} и {некоторой суммы ряда из членов последовательности $$x$$ элементов носителя $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве $$f$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \quad v\in \mathrm{Sequence}(b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall w \quad w = \bigcup\limits_o b \Rightarrow \bigl(\, w\in b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,w) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall x \quad x\in \mathrm{Sequence}(f) \Rightarrow \Bigl( \ \bigl(\, \forall y \quad y\in \mathbb{N} \Rightarrow x(y) = a(v(y)) \,\bigr) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,x) \ \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall y \quad y = \mathrm{Series}_e(x) \Rightarrow \Bigl( \exists z \quad z\in \mathrm{Sum}_l(y) \ \land \ \bigl\langle a(w),z \bigr\rangle\in \leqslant_e \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}_{\langle e,l \rangle}(b,f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}(b,f)$$.

Примеры
Внешняя мера.

Аддитивная функция системы множеств над аддитивной группой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$b\subseteq d$$ - система множеств,
 * $$h = \langle i,j,k \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$$ - сигнатура,
 * $$+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{Group}(f;+)$$ - аддитивная группа,
 * $$a\in \mathrm{Function}(b,f)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из системы подмножеств $$b$$ множества $$c$$ в носитель $$f$$ аддитивной группы $$e$$ — аддитивная функция (англ. additive function or finitely additive function, нем. additive Funktion) системы множеств $$b$$ над аддитивной группой $$e$$, если для произвольного натурального числа и для любого кортежа длины $$l$$ элементов полукольца множеств $$b$$, такой, что область значений кортежа $$m$$ является дизъюнктным множеством и объединение элементов области значений кортежа $$m$$ принадлежит полукольцу множеств $$b$$, значение функции $$a$$ от объединения элементов области значений кортежа $$m$$ определяется индукцией по длине $$l$$ кортежа $$m$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \quad l\in \mathbb{N} \Rightarrow \Biggl( \ \forall m \quad m\in \mathrm{Function}(l,b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall n \quad n = \mathrm{Range}(m) \Rightarrow \bigl(\, (n^\perp \ \land \ \bigcup n\in b) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,n) \,\bigr) \ \Bigr) \ \Biggr)\\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} l = \mathfrak{0} \Rightarrow \Bigl( \exists o \quad o\in \mathrm{Neutral}(+_e) \ \land \ a\left( \bigcup n \right) = o \Bigr)\\ \exists o \quad \bigl(\, o\in \mathbb{N} \ \land \ l = \mathfrak{s}(o) \,\bigr) \Rightarrow \Biggl( \ \forall p \quad p = m\bigr|_o \Rightarrow \Bigl( \ \forall q \quad \bigl(\, q = \mathrm{Range}(p) \ \land \ \bigcup q\in b \,\bigr) \Rightarrow a\left( \bigcup n \right) = +_e\bigl(\, a\left( \bigcup q \right), a(m(o)) \,\bigr) \ \Bigr) \ \Biggr) \end{cases}\\ \end{cases} $$
 * 1) если натуральное число $$l$$ является нолём на множестве натуральных чисел, то значение функции $$a$$ от объединения элементов области значений функции $$m$$ равно некоторому нолю аддитивной группы $$e$$,
 * 2) если натуральное число $$l$$ является последователем некоторого натурального числа и объединение элементов области значений сужения кортежа $$m$$ на натуральное число $$o$$ принадлежит полукольцу множеств $$b$$, то значение функции $$a$$ от объединения элементов множества значений кортежа $$m$$ равно сумме {значения функции $$a$$ от объединения элементов области значений сужения кортежа $$m$$ на натуральное число $$o$$} и значения функции $$a$$ от {Координата#| координаты $$m$$ от натурального числа $$o$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AdditiveFunction}_e(b,f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AdditiveFunction}(b,f)$$.

Примеры
Мера.