Ассоциативная операция

Совокупность ассоциативных операций на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность ассоциативных операций (англ. set of associative operations, нем. Menge der assoziative Operationen) на множестве $$b$$, если произвольная бинарная операция на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда для трёх любых элементов множества $$b$$ значение бинарной операции $$c$$ от {значения бинарной операции $$c$$ от множества $$d$$ и множества $$e$$} и множества $$f$$ равно значению бинарной операции $$c$$ от множества $$d$$ и {значения бинарной операции $$c$$ от множества $$e$$ и множества $$f$$}: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Op}^2(b) \Rightarrow \Biggl( \ c\in a \Leftrightarrow \Bigl( \, \forall d \ \forall e \ \forall f \quad (d\in b \ \land \ e\in b \ \land \ f\in b) \Rightarrow c \bigl( c(d,e), f \bigr) = c \bigl( d, c(e,f) \bigr) \, \Bigr) \ \Biggr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AssocOp}(b)$$.

Ассоциативная операция на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — ассоциативная операция (англ. associative operation, нем. assoziative Operation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности ассоциативных операций на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{AssocOp}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AssocOp}(b)$$.