Целое число


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$m = \mathrm{\Sigma}(n,o,p)$$ - сигнатура,
 * $$n = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$o = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$p = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$j = \mathrm{AlgStruct}(k,l,m)$$ - алгебраическая структура,
 * $$j\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$k = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$d = \mathrm{CartPower}^2(k)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$g = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$h = \varnothing$$ - пустой алфавит операций,
 * $$i = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle\,\}$$ - функция местности,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$b = \mathbb{Z}$$ - множество целых чисел.

Множество $$a$$ — целое число (англ. integer, нем. Ganzzahl), если множество $$a$$ является элементом множества целых чисел $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in b $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathbb{Z}$$.