Теорема о свойствах нуля арифметики натуральных чисел

Пусть
 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$f = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$b = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел.

тогда ноль на множестве натуральных чисел $$b$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \forall a \ \forall b \ \forall c \ \forall d \ \forall e \ \forall f \ \forall g \qquad \begin{cases} d=\mathrm{\Sigma}(e,f,g)\\ e=\varnothing\\ f=\{\,\mathfrak{0},\mathfrak{s},+,\ \cdot\ \,\}\\ g=\bigl\{\,\langle\mathfrak{0},0_\mathrm{N}\rangle,\langle\mathfrak{s},1_\mathrm{N}\rangle,\langle+,2_\mathrm{N}\rangle,\langle\ \cdot\ ,2_\mathrm{N}\rangle\,\bigr\}\\ a=\mathrm{AlgStruct}(b,c,d)\\ a\in\mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})\\ b=\mathbb{N}\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \mathfrak{0}_a \in \mathrm{Neutral}(+_a)\\ \mathfrak{s}_a(\mathfrak{0}_a) \in \mathrm{Neutral}(\ \cdot_{\ a})\\ \end{cases} $$
 * 1) ноль является нейтральным элементом сложения на множестве натуральных чисел $$b$$,
 * 2) последователь ноля является нейтральным элементом умножения на множестве натуральных чисел $$b$$: