Базис

Базис набора векторов

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p,q\in \mathbb{N}$$ - натуральные числа,
 * $$q\subseteq p$$ - подмножество натурального числа,
 * $$r\in \mathrm{Function}(p,c)$$ - кортеж векторов
 * $$s = \{ r(\epsilon) \}_{\epsilon\in p}$$ - набор векторов,
 * $$a\in \mathrm{Function}(q,s)$$ - кортеж векторов.

Кортеж $$a$$ — базис (англ. basis, нем. Basis) набора $$s$$ из $$p$$ векторов векторного пространства $$b$$ или кратко базис набора $$s$$, если кортеж $$a$$ является линейно независимым кортежем векторов и для произвольного натурального числа если натуральное число $$q$$ принадлежит натуральному числу $$t$$, то любой кортеж длины $$t$$ элементов набора $$s$$ из $$p$$ векторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ является линейно зависимым кортежем векторов: $$ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinIndepTuple}_q(b) \ \land \ \Bigl( \ \forall t \quad t\in \mathbb{N} \Rightarrow \bigl(\, q\in t \Rightarrow \bigl( \forall u \quad u\in \mathrm{Function}(t,s) \Rightarrow u\in \mathrm{LinDepTuple}_t(b) \bigr) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Basis}_b(s)$$.

Базис векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество носителя векторного пространства.

Множество $$a$$ — базис (англ. basis, нем. Basis) векторного пространства $$b$$ или кратко базис векторного пространства $$b$$, если выполняются следующие условия: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall p \quad p\in \mathrm{N} \Rightarrow \Phi(a,b,\ldots,o,p)\\ \forall p \quad p\subseteq c \Rightarrow \Bigl( \ \bigl(\, \forall q \quad q\in \mathrm{N} \Rightarrow \Phi(p,b,\ldots,o,q) \,\bigr) \Rightarrow \bigl(\, \exists r \quad r\in \mathrm{Function}(a,p) \ \land \ r\in \mathrm{Surjection}(a,p) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(\mathrm{a},\mathrm{b},\ldots,\mathrm{o},\mathrm{p}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{q} \quad (\mathrm{q}\in \mathrm{Function}(\mathrm{p},\mathrm{a}) \ \land \ \mathrm{q}\in \mathrm{Injection}(\mathrm{p},\mathrm{a})) \Rightarrow \mathrm{q}\in \mathrm{LinIndepTuple}_\mathrm{p}(\mathrm{b})\\ \end{cases} $$
 * 1) для любого элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$ произвольный инъективный кортеж длины $$p$$ элементов множества $$a$$ является линейно независимым кортежем векторов;
 * 2) для любого подмножества носителя $$c$$ векторного пространства $$b$$ если для любого элемента множества-бесконечности, произвольный инъективный кортеж длины $$q$$ элементов множества $$p$$ является линейно независимым кортежем векторов, то существует сюръекция, действующая из множества $$r$$ в множество $$a$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Basis}(b)$$.

Связанные определения
Конечномерное векторное пространство;

Бесконечномерное векторное пространство.