Единичная матрица

Единичная матрица над стандартным полукольцом с нейтральным элементом

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in f \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - бинарная операция,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{UnitalSemiring}(c;+)$$ - стандартное полукольцо с нейтральным элементом,
 * $$i = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$j\in i \ \land \ k\in i$$ - элементы множества-бесконечности,
 * $$l = j\cap k$$ - пересечение элементов множества-бесконечности,
 * $$a\in \mathrm{Matrix}_{\langle j,k \rangle}(c)$$ - матрица элементов носителя стандартного полукольца с нейтральным элементом.

Матрица $$a$$ размера $$j$$ на $$k$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ — единичная матрица (англ. identity matrix or unit matrix, нем. Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix) размера $$j$$ на $$k$$ над стандартным полукольцом с нейтральным элементом $$b$$, если для произвольного кортежа длины $$l$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ такого, что для любого элемента множества $$l$$ значение кортежа $$m$$ от множества $$n$$ равно нейтральному элементу умножения на носителе $$c$$ стандарнтого полукольца $$b$$, матрица $$a$$ является диагональной матрицей размера $$j$$ на $$k$$ кортежа $$m$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m\in \mathrm{Function}(l,c) \Rightarrow \Bigl( \bigl( \forall n \quad n\in l \Rightarrow m(n) = \mathrm{Neutral}(\cdot_{\, b}) \bigr) \Rightarrow a = \mathrm{DiagonalMatrix}_{\langle j,k \rangle}^b(m) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{IdentityMatrix}_{\langle j,k \rangle}^b$$.

Единичная квадратная матрица над стандартным полукольцом с нейтральным элементом

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in f \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - бинарная операция,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{UnitalSemiring}(c;+)$$ - стандартное полукольцо с нейтральным элементом,
 * $$i = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$j\in i$$ - элемент множества-бесконечности,
 * $$a\in \mathrm{SquareMatrix}_{\, j}(c)$$ - квадратная матрица элементов носителя стандартного полукольца с нейтральным элементом.

Квадратная матрица $$a$$ размера $$j$$ на $$k$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца с нейтральным элементом $$b$$ — единичная квадратная матрица (англ. square identity matrix or unit matrix, нем. quadratische Einheitsmatrix oder quadratische Identitätsmatrix) порядка $$j$$ над стандартным полукольцом с нейтральным элементом $$b$$, если квадратная матрица $$a$$ является единичной квадратной матрицей размера $$j$$ на $$j$$ над стандартным полукольцом с нейтральным элементом $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{IdentityMatrix}_{\langle j,j \rangle}^b $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{SquareIdentityMatrix}_{\, j}^b$$.