Моноид

Моноид по операции

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — моноид (англ. monoid, нем. Monoid) по операции $$h$$ или кратко моноид, если алгебраическая структура $$a$$ является полугруппой по операции $$h$$ и существует нейтральный элемент интерпретации символа операции $$h$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{Semigroup}(b;h)\\ \exists i \quad i\in b \ \land \ i\in \mathrm{Neutral}(h_a)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Monoid}(b;h)$$.

Замечание
Моноид по операции $$+$$ будем называть аддитивным моноидом (англ. additive monoid, нем. additiv Monoid).

Моноид по операции $$\cdot$$ будем называть мультипликативным моноидом (англ. multiplicative monoid, нем. multiplikativ Monoid).

Коммутативный моноид по операции

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — коммутативный моноид (или абелев моноид) (англ. commutative monoid or abelian monoid, нем. kommutative Monoid oder abelsche Monoid) по операции $$h$$ или кратко коммутативный моноид, если алгебраическая структура $$a$$ является моноидом по операции $$h$$ и интерпретация символа бинарной операции $$h$$ является коммутативной операцией на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Monoid}(b;h) \ \land \ h_a\in \mathrm{CommOp}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CommMonoid}(b;h)$$.

Связанные статьи
Группа.