Кольцо с сопряжением

Кольцо с сопряжением по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$j\in f \ \land \ g(j) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — кольцо с сопряжением (англ. ring with conjugation, нем. Ring mit Konjugation) по операциям $$h,i,j$$ или кратко кольцо с сопряжением, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{Ring}(b;h,i)\\ \forall k \quad k\in b \Rightarrow j_a\bigl( j_a(k) \bigr) = k\\ \forall k \ \forall l \quad (k\in b \ \land \ l\in b) \Rightarrow j_a\bigl( h_a(k,l) \bigr) = h_a\bigl( j_a(k),j_a(l) \bigr)\\ \forall k \ \forall l \quad (k\in b \ \land \ l\in b) \Rightarrow j_a\bigl( i_a(k,l) \bigr) = i_a\bigl( j_a(k),j_a(l) \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) алгебраическая структура $$a$$ является кольцом по операции $$h,i$$;
 * 2) для любого элемента множества $$b$$ значение интерпретации символа операции $$j$$ от {значения интерпретации символа операции $$j$$ от множеств $$k$$} равно множеству $$k$$;
 * 3) для любых двух элементов множества $$b$$ значение интерпретации символа операции $$j$$ от {значения интерпретации символа операции $$h$$ от множеств $$k,l$$} равно значению интерпретации символа операции $$h$$ от {значения интерпретации символа операции $$j$$ от множества $$k$$} и {значения интерпретации символа операции $$j$$ от множества $$k$$};
 * 4) для любых двух элементов множества $$b$$ значение интерпретации символа операции $$j$$ от {значения интерпретации символа операции $$i$$ от множеств $$k,l$$} равно значению интерпретации символа операции $$i$$ от {значения интерпретации символа операции $$j$$ от множества $$k$$} и {значения интерпретации символа операции $$j$$ от множества $$k$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{RingWithConj}(b;h,i,j)$$.

Ассоциативное кольцо с сопряжением по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$j\in f \ \land \ g(j) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — ассоциативное кольцо с сопряжением (англ. associative ring with conjugation, нем. Assoziative Ring mit Konjugation) по операциям $$h,i,j$$ или кратко ассоциативное кольцо с сопряжением, если алгебраическая структура $$a$$ является кольцом с сопряжением по операциям $$h,i$$ и интерпретация символа операции $$i$$ является ассоциативной операцией на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{RingWithConj}(b;h,i) \ \land \ i_a\in \mathrm{AssocOp}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AssocRingWithConj}(b;h,i,j)$$.

Кольцо с сопряжением и нейтральным элементом по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$j\in f \ \land \ g(j) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — кольцо с сопряжением и нейтральным элементом (или кольцо с сопряжением и единицей) (англ. unital ring with conjugation or unitary ring with conjugation, ring with conjugation and unity, ring with conjugation and identity, нем. unitären Ring mit Konjugation oder Ring mit Konjugation und Eins) по операциям $$h,i,j$$ или кратко кольцо с сопряжением и нейтральным элементом, если алгебраическая структура $$a$$ является ассоциативным кольцом с сопряжением по операциям $$h,i$$ и существует нейтральный элемент интерпретации символа операции $$i$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AssocRingWithConj}(b;h,i) \ \land \ \bigl( \ \exists j \quad j\in b \ \land \ j\in \mathrm{Neutral}(i_a) \ \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{UnitalRingWithConj}(b;h,i,j)$$.

Связанные определения
Тело с сопряжением;

Поле с сопряжением.