Поле с сопряжением

Поле с сопряжением по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$j\in f \ \land \ g(j) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — поле с сопряжением (англ. field with conjugation, нем. Körper mit Konjugation) по операциям $$h,i$$ или кратко поле с сопряжением, если алгебраическая структура $$a$$ является телом с сопряжением по операциям $$h,i$$ и интерпретация символа операции $$i$$ является коммутативной операцией на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{SkewFieldWithConj}(b;h,i,j) \ \land \ i_a\in \mathrm{CommOp}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{FieldWithConj}(b;h,i,j)$$.

Поле с сопряжением по операциям, ассоциированное с линейно упорядоченной группой
Из теоремы о свойствах поля и теоремы о свойствах поля с сопряжением следует
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$j\in f \ \land \ g(j) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathrm{FieldWithConj}(b;h,i,j)$$ - поле с сопряжением,
 * $$n = \mathrm{\Sigma}(o,p,q)$$ - сигнатура,
 * $$r\in o \ \land \ q(r) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$s\in p \ \land \ q(s) = 2_\mathrm{N} \ \land \ t\in p \ \land \ q(t) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$k = \mathrm{AlgStruct}(l,m,n)$$ - алгебраическая структура,
 * $$k\in \mathrm{LinOrdStruct}(l;r)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$k\in \mathrm{Field}(l;s)$$ - группа.

Поле с сопряжением $$a$$ по операциям $$h,i$$ — поле с сопряжением (англ. field with conjugation, нем. Körper mit Konjugation) по операциям $$h,i$$, ассоциированное с линейно упорядоченной группой $$k$$ или кратко поле с сопряжением, ассоциированное с линейно упорядоченной группой $$k$$, если существует функция, действующая из множества самосопряжённых элементов поля с сопряжением $$a$$ в носитель $$l$$ линейно упорядоченного поля $$k$$, такая, что для любого элемента носителя $$b$$ поля с сопряжением $$a$$ упорядоченная пара некоторого нейтрального элемента интерпретации символа операции $$s$$ и значения функции $$v$$ от {значения интерпретации символа операции $$i$$ от множества $$v$$ и {значения интерпретации символа операции $$j$$ от множества $$v$$}} принадлежит интерпретации символа отношения $$r$$, и функция $$u$$ является биекцией, действующей из множества самосопряжённых элементов поля с сопряжением $$a$$ в носитель $$l$$ линейно упорядоченного поля $$k$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall t \quad t = \mathrm{SelfConj}(a) \Rightarrow \Bigl( \exists u \quad \bigl( u\in \mathrm{Function}(t,l) \ \land \ \Phi(a,\ldots,u) \bigr) \ \land \ u\in \mathrm{Bijection}(t,l) \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \quad v\in b \Rightarrow \Bigl( \ \exists w \quad w\in\mathrm{Neutral}(m_a) \ \land \ \Bigl\langle\, w, u\bigl( i_a(v,j_a(v)) \bigr) \,\Bigr\rangle\in r_k \ \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{FieldWithConj}_k(b;h,i,j)$$.