Теорема о метризации линейно упорядоченной арифметики рациональных чисел

Пусть
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \sim, \leq \,\}$$ - алфавит отношений сигнатуры,
 * $$f = \{\, \left|\circ\right|, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\bigl(\, \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot\ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \,\bigr)$$ - сигнатура,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}\bigl(\, \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, m \,\bigr)$$ - сигнатура,
 * $$m = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$q = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$o = \mathrm{CartPower}^2(j)$$ декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$n = \mathrm{AlgStruct}(o,p,q)$$ - алгебраическая структура,
 * $$n\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$r = j\setminus\{\, \mathfrak{o}_i \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$b = \mathrm{CartProd}(\langle o,r \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$r = a\bigr|_h$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$r\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,

тогда $$ \left\{ \begin{array}{lcl} \forall a \ \ldots \ \forall r & \begin{cases} d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)\\ e = \{\, \sim, \leq \,\}\\ f = \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}\\ g = \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,2_\mathrm{N} \rangle \,\}\\ h = \mathrm{\Sigma}\bigl(\, \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot\ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \,\bigr)\\ l = \mathrm{\Sigma}\bigl(\, \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, m \,\bigr)\\ m = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}\\ i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)\\ i\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})\\ q = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)\\ j = \mathbb{N}\\ o = \mathrm{CartPower}^2(j)\\ n = \mathrm{AlgStruct}(o,p,q)\\ n\in \mathfrak{Z}\\ r = j\setminus\{\, \mathfrak{o}_i \,\}\\ b = \mathrm{CartProd}(\langle o,r \rangle)\\ a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)\\ r = a\bigr|_h\\ r\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})\\ \end{cases} & \Rightarrow \Upsilon(a,\ldots,r)\\ \\ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} & \begin{cases} a\in \mathrm{LinOrdStruct}(b;\leq)\\ a\in \mathrm{Group}(b;+)\\ \forall s \ \forall t \ \forall u \quad \begin{cases} t = \left|\circ\right|_{+_a}^{\leq_a}\\ u = \mathrm{DistanceOp}_t^a(b)\\ s = \langle b,a,u \rangle\\ \end{cases} & \Rightarrow s = \mathrm{MetricSpace}(b,a;u)\\ \end{cases}\\ \end{array} \right. $$
 * 1) алгебраическая структура $$a$$ является линейно упорядоченной группой по отношению $$\leq$$ и операции $$+$$,
 * 2) упорядоченная тройка множества $$b$$, линейно упорядоченной группы $$a$$ и операции расстояния в линейно упорядоченной группе $$a$$, порождённой операцией взятия модуля, является метрическим пространством: