Операция расстояния

Из теоремы о метризации линейно упорядоченной группы следует:

Операция расстояния в линейно упорядоченной группе, порождённая операцией взятия модуля

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i \in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$\left|\circ\right| \in g \ \land \ h(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j \in g \ \land \ h(j) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b \in \mathrm{LinOrdStruct}(c,i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$b \in \mathrm{Group}(c,j)$$ - группа,
 * $$k = \left|\circ\right|_{j_b}^{i_b}$$ - операция взятия модуля.

Множество $$a$$ — операция расстояния (англ. distance operation, нем. Abstandsoperationen) в линейно упорядоченной группе $$b$$, порождённая операцией взятия модуля $$k$$, или кратко операция расстояния, если множество $$a$$ является бинарной операцией на множестве $$c$$ такой, что значение бинарной операции $$a$$ от двух любых элементов множества $$c$$ равно значению операции взятия модуля в линейно упорядоченной группе $$b$$ от {значения интерпретации символа операции $$j$$ от первого элемента множества $$c$$ и некоторой инверсии второго элемента множества $$c$$ относительно интерпретации символа операции $$j$$ и некоторого её нейтрального элемента}: $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{Op}^2(c)\\ \forall l \ \forall m \quad (\, l\in c \ \land \ m\in c \,) \Rightarrow \Bigl( \ \exists n \quad n\in c \ \land \ n\in \mathrm{Neutral}(j_b) \ \land \ \Bigl(\, \exists o \quad o\in \mathrm{Inversion}_{j_b}^n(m) \ \land \ a(l,m) = k\bigl(j_b(l,o)\bigr) \, \Bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DistanceOp}_k^b(c)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DistanceOp}_k(c)$$.