Теорема о существовании сигнатуры структуры натуральных чисел

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома бесконечности,
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома пустого множества,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда существует сигнатура структуры натуральных чисел: $$ \exists a \ \exists b \ \exists c \ \exists d \quad \begin{cases} a = \Sigma(b,c,d)\\ b = \varnothing\\ c = \{ \mathfrak{o},\mathfrak{s} \}\\ \exists g \ \exists h \ \exists i \quad g = \mathrm{Graph}(d) \ \land \ h = \langle \mathfrak{o}, 0_\mathrm{N} \rangle \ \land \ i = \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \ \land \ g = \{ h,i \}\\ \end{cases} $$

Доказательство
Из аксиомы пустого множества следует существование пустого множества : $$ \exists b \quad b = \varnothing $$

Из предварительных замечаний о множествах следует существование символа нуля и символа операции следования: $$ \exists \mathfrak{o} \ \exists \mathfrak{s} $$ Из аксиомы пары следует существование пары символа нуля и символа операции следования : $$ \exists c \quad c = \{ \mathfrak{o}, \mathfrak{s} \} $$

Из теоремы о свойствах пустого множества следует взаимнодизъюнктность множеств $$b,c$$: $$ b\perp c $$

Из теоремы о существовании и единственности объединения двух множеств следует существование объединения множеств $$b,c$$ : $$ \exists e \quad e = (b\cup c) $$ Из теоремы о существовании и единственности множества-бесконечности следует существование множества-бесконечности : $$ \exists f \quad f = \mathrm{N} $$ Из аксиомы пустого множества, теоремы о существовании и единственности единичного множества множества, теоремы о существовании и единственности объединения двух множеств следует существование нуля множества-бесконечности и существование единицы множества бесконечности $$ \exists 0_\mathrm{N} \exists 1_\mathrm{N} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной пары символа нуля и нуля множества-бесконечности и существование упорядоченной пары символа операции следования и единицы множества-бесконечности : $$ \exists h \ \exists i \quad h = \langle \mathfrak{o},0_\mathrm{N} \rangle \ \land \ i = \langle \mathfrak{s},1_\mathrm{N} \rangle $$ Из аксиомы пары следует существование пары множеств $$h,i$$ : $$ \exists g \quad g = \{ h,i \} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной тройки множеств $$e,f,g$$ : $$ \exists d \quad d = \langle e,f,g \rangle $$ Таким образом, множество $$d$$ является функцией, действующей из множества $$e$$ в множество $$f$$.

Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной тройки множеств $$b,c,d$$ : $$ \exists a \quad a = \langle b,c,d \rangle $$ Построенное множество $$a$$ есть искомая сигнатура структуры натуральных чисел. Таким образом, доказано существование сигнатуры структуры натуральных чисел.

Замечание
Везде в дальнейшем множество-бесконечность ассоциируется с множеством натуральных чисел, а его элементы — с натуральными числами.