Структура целых чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$k = \mathrm{\Sigma}(l,m,n)$$ - сигнатура,
 * $$l = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений сигнатуры,
 * $$m = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$n = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,k)$$ - алгебраическая структура,
 * $$h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$i = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений сигнатуры,
 * $$f = \varnothing$$ - пустой алфавит операций сигнатуры,
 * $$g = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle\,\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$b = \mathrm{CartPower}^2(i)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — структура целых чисел (англ. structure of integers, нем. Struktur von Ganzzahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующему условию:

упорядоченная пара элементов множества $$b$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\sim$$ тогда и только тогда, когда сумма первой координаты первого элемента множества $$b$$ и второй координаты второго элемента множества $$b$$ равна сумме первой координаты второго элемента множества $$b$$ и второй координаты первого элемента множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall l \ \forall m \ \forall n \ \forall o \quad \bigl( \langle l,m \rangle\in b \ \land \ \langle n,o \rangle\in b \bigr) \Rightarrow \Bigl( \ \bigl\langle \langle l,m \rangle,\langle n,o \rangle \bigr\rangle \in \ \sim_a \ \Leftrightarrow \bigl( +_h(l,o) = +_h(n,m) \ \bigr) \ \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{Z}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{Z}$$.