Теорема о существовании структуры натуральных чисел

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома бесконечности,
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома пустого множества,
 * аксиома схемы выделения,
 * аксиома схемы замещения.

Тогда существует структура натуральных чисел: $$ \exists a \ \exists b \ \exists c \ \exists d \ \exists e \ \exists f \ \exists g \quad \begin{cases} d = \Sigma(e,f,g)\\ e = \varnothing\\ f = \{ \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \}\\ \exists h \ \exists i \ \exists j \quad h = \mathrm{Graph}(g) \ \land \ i = \langle \mathfrak{o}, 0_\mathrm{N} \rangle \ \land \ j = \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \ \land \ h = \{ i,j \}\\ a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)\\ a\in \mathfrak{N}\\ \end{cases} $$

Построение алгебраической структуры
Из теоремы о существовании и единственности множества-бесконечности следует существование множества-бесконечности : $$ \exists b \quad b = \mathrm{N} $$

Из теоремы о существовании сигнатуры структуры натуральных чисел следует существование сигнатуры структуры натуральных чисел : $$ \exists d \ \exists e \ \exists f \ \exists g \quad \begin{cases} d = \Sigma(e,f,g)\\ e = \varnothing\\ f = \{ \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \}\\ \exists h \ \exists i \ \exists j \quad h = \mathrm{Graph}(g) \ \land \ i = \langle \mathfrak{o}, 0_\mathrm{N} \rangle \ \land \ j = \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \ \land \ h = \{ i,j \}\\ \end{cases} $$

Из теоремы о существовании и единственности объединения двух множеств следует существование объединения множеств $$e,f$$ : $$ \exists h \quad h = (e\cup f) $$ Из теоремы о существовании совокупности всех операций на множестве следует существование совокупности всех операций на множестве $$b$$ : $$ \exists i \quad i = \mathrm{Op}(b) $$ Из теоремы о существовании совокупности всех отношений на множестве следует существование совокупности всех отношений на множестве $$b$$ : $$ \exists j \quad j = \mathrm{Rel}(b) $$ Из теоремы о существовании объединения двух множеств следует существование объединения множеств $$i,j$$ : $$ \exists k \quad k = (i\cup j) $$ Из аксиомы пустого множества и теоремы о существовании и единственности единичного множества множества следует существование нуля множества-бесконечности и существование единицы множества-бесконечности: $$ \exists 0_\mathrm{N} \ \exists 1_\mathrm{N} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной пары нуля множества-бесконечности и нуля множества-бесконечности : $$ \exists l \quad l = \langle 0_\mathrm{N},0_\mathrm{N} \rangle $$ Из теоремы о существовании и единственности единичного множества множества следует существование единичного множества множества $$l$$ : $$ \exists m \quad m = \{ l \} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной тройки единицы множества-бесконечности, множества $$b$$ и множества $$m$$ : $$ \exists n \quad n = \langle 1_\mathrm{N},b,m \rangle $$ Таким образом, множество $$n$$ является $$0_\mathrm{N}$$ операцией на множестве $$b$$ со значением от нуля множества-бесконечности равным нулю множества-бесконечности: $$ n\in \mathrm{Function}(1_\mathrm{N},b) \ \land \ n(0_\mathrm{N}) = 0_\mathrm{N} $$ Из леммы и аксиомы схемы замещения следует существование множества такого, что для любого элемента множества $$o$$ существует элемент множества $$b$$ такой, что данный элемент множества $$b$$ и данный элемент множества $$o$$ удовлетворяют следующему двухместному предикату:

второй аргумент данного предиката является упорядоченной парой первого аргумента данного предиката и {объединения первого аргумента данного предиката и единичного множества первого аргумента данного предиката}: $$ \begin{cases} \exists o \quad \Bigl( \ \forall p \quad p\in o \Rightarrow \bigl(\, \exists q \quad q\in b \ \land \ \Upsilon(q,p) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \mathrm{c} \ \exists \mathrm{d} \quad \mathrm{c} = \{\mathrm{a}\} \ \land \ \mathrm{d} = (\mathrm{a}\cup \mathrm{c}) \ \land \ \mathrm{b} = \langle \mathrm{a},\mathrm{d} \rangle\\ \end{cases} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной тройки множеств $$b,b,o$$ : $$ \exists p \quad p = \langle b,b,o \rangle $$ Таким образом, множество $$p$$ является одноместной операцией на множестве $$b$$.

Из предварительных замечаний о множествах следует существование символа нуля и символа операции следования: $$ \exists \mathfrak{o} \ \exists \mathfrak{s} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной пары символа нуля и множества $$n$$ : $$ \exists q \quad q = \langle \mathfrak{o},n \rangle $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной пары символа операции следования и множества $$p$$ : $$ \exists r \quad r = \langle \mathfrak{s},p \rangle $$ Из аксиомы пары следует существование пары множеств $$q,r$$ : $$ \exists s \quad s = \{ q,r \} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной тройки множеств $$h,k,s$$ : $$ \exists c \quad c = \langle h,k,s \rangle $$ Таким образом, множество $$c$$ является функцией, действующей из множества $$h$$ в множество $$k$$ с графиком $$s$$.

Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной тройки множеств $$b,c,d$$ : $$ \exists a \quad a = \langle b,c,d \rangle $$ Таким образом, множество $$a$$ является алгебраической структурой с носителем $$b$$, функцией интерпретации $$c$$ и сигнатурой $$d$$.

Примечания
Далее, будем рассматривать только множества $$a,b,c,d,e,f,g$$.

Проверка условий
Докажем, что построенное множество $$a$$ есть искомая структура натуральных чисел.

Из определения структуры натуральных чисел следует, что должны быть выполнены следующие условия: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} {}^\neg\Bigl( \exists h \quad h\in b \ \land \ \mathfrak{s}_a(h) = \mathfrak{0}_a \Bigr)\\ \mathfrak{s}_a \in \mathrm{Injection}(b,b)\\ \forall \Phi \quad \Phi\in\mathrm{Pred}^1(b) \Rightarrow \Bigl( \ \Bigl( \ \Phi(\mathfrak{0}_a) \ \land \ \bigl( \ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \bigl(\, \Phi(h) \Rightarrow \Phi (\mathfrak{s}_a(h)) \,\bigr) \ \bigr) \ \Bigr) \Rightarrow \bigl(\, \forall i \quad i\in b \Rightarrow \Phi(i) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) неверно, что последователь некоторого элемента множества $$b$$ равен нулю ;
 * 2) операция следования на множестве $$b$$ является инъекцией, действующей из множества $$b$$ в множество $$b$$ ;
 * 3) если произвольный одноместный предикат, определённый на множестве $$b$$, истинен для нуля и из истинности данного предиката для любого элемента множества $$b$$ следует истинность данного предиката на последователе данного элемента множества $$b$$, то данный предикат истинен для любого элемента множества $$b$$ :

Первое условие
Докажем первое условие методом от противного.

Пусть последователь некоторого элемента множества $$b$$ равен нулю: $$ \exists h \quad h\in b \ \land \ \mathfrak{s}_a(h) = \mathfrak{0}_a $$ Из определения операции следования на множестве $$b$$ и определения нуля на множестве $$b$$ следует, что объединение множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$ равно пустому множеству: $$ \exists h \quad h\in b \ \land \ (h\cup \{h\}) = \varnothing $$ Из определения отношения равенства и определения пустого множества следует, что неверно, что некоторое множество является элементом объединения множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$: $$ {}^\neg\bigl(\, \exists i \quad i\in (h\cup \{h\}) \,\bigr) $$ Из определения единичного множества множества и определения объединения двух множеств следует, что множество $$h$$ принадлежит объединению множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$: $$ h\in (h\cup \{h\}) $$ Из того, что множество $$h$$ принадлежит объединению множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$, следует, что существует элемент объединения множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$ $$ \exists i \quad i\in (h\cup \{h\}) $$ Пришли к необходимому противоречию. Таким образом, для множества $$a$$ выполнено первое условие.

Третье условие
Докажем третье условие.

Выдвинем следующие предположения: $$ \Phi\in \mathrm{Pred}^1(b) $$ $$ \Phi(\mathfrak{0}_a) \ \land \ \bigl( \ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \bigl(\, \Phi(h) \Rightarrow \Phi (\mathfrak{s}_a(h)) \,\bigr) \ \bigr) $$ Из аксиомы схемы выделения и первого предположения следует существование множества, которое состоит из элементов множества $$b$$, удовлетворяющих предикату $$\Phi$$ : $$ \exists j \quad \Bigl( \ \forall h \quad h\in j \Leftrightarrow \bigl(\, h\in b \ \land \ \Phi(h) \,\bigr) \ \Bigr) $$ Из определения нуля на множестве $$b$$ и второго предположения следует, что пустое множество принадлежит множеству $$j$$: $$ \varnothing\in j $$ Из определения операции следования на множестве $$b$$ и второго предположения следует, что для любого элемента множества $$j$$ объединение данного элемента множества $$j$$ и единичного множества данного элемента множества $$j$$ принадлежит множеству $$j$$: $$ \forall h \quad h\in j \Rightarrow (h\cup \{h\})\in j $$ Таким образом, множество $$j$$ является индуктивным множеством: $$ j\in \mathrm{InductiveSet} $$ Из определения множества $$b$$ следует, что множество $$b$$ является подмножеством множества $$j$$: $$ b = \mathrm{N} \Rightarrow b\subseteq j $$ Из определения множества $$j$$ следует, что множество $$j$$ является подмножеством множества $$b$$: $$ \Bigl( \ \forall h \quad h\in j \Leftrightarrow \bigl(\, h\in b \ \land \ \Phi(h) \,\bigr) \ \Bigr) \Rightarrow j\subseteq b $$ Из аксиомы объёмности следует равенство множеств $$b,j$$: $$ (b\subseteq j \ \land j\subseteq b) \Rightarrow b = j $$ Из определения множества $$j$$ и равенства множеств $$b,j$$ следует, что предикат $$\Phi$$ истинен на любом элементе множества $$b$$: $$ \Bigl( \ \forall h \quad h\in b \Leftrightarrow \bigl(\, h\in b \ \land \ \Phi(h) \,\bigr) \ \Bigr) \Rightarrow \bigl(\, \forall i \quad i\in b \Rightarrow \Phi(i) \,\bigr) $$ Таким образом, ввиду произвольности предиката $$\Phi$$ для множества $$a$$ выполнено третье условие.
 * дан одноместный предикат, определённый на множестве $$b$$
 * нуль множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Phi$$ и для любого элемента множества $$b$$ если данный элемент множества $$b$$ удовлетворяет одноместному предикату, то последователь данного элемента множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Phi$$ :

Вспомогательное утверждение
Докажем вспомогательное утверждение:

для любых двух элементов множества $$b$$ если множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$, то множество $$h$$ является подмножеством множества $$i$$: $$ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow (h\in i \Rightarrow h\subseteq i) $$ Перепишем данное утверждение в эквивалентной форме: $$ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Bigl( \ \forall i \quad i\in b \Rightarrow \bigl(\, h\in i \Rightarrow h\subseteq i \,\bigr) \ \Bigr) $$ Введём в рассмотрение если первый аргумент предиката $$\Phi$$ принадлежит второму аргументу предиката $$\Phi$$, то первый аргумент предиката $$\Phi$$ является подмножеством второго аргумента предиката $$\Phi$$: $$ \Phi(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \mathrm{a}\in \mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{a}\subseteq \mathrm{b} $$ первый аргумент предиката $$\Upsilon$$ и произвольный элемент множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$: $$ \Upsilon(\mathrm{a}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in b \Rightarrow \Phi(\mathrm{a},\mathrm{b}) $$ Тогда утверждение можно переписать следующим образом:
 * двухместный предикат :
 * одноместный предикат :

любой элемент множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$: $$ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Upsilon(h) $$

Из того, что предикат $$\Upsilon$$ определён на множестве $$b$$ и для алгебраической структуры $$a$$ выполнено третье условие, следует, что достаточно доказать следующее утверждение:

нуль множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$ и для любого элемента множества $$b$$ если данный элемент множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$, то последователь данного элемента множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$: $$ \Upsilon(\mathfrak{o}_a) \ \land \ \Bigl( \ \forall j \quad j\in b \Rightarrow \Bigl(\, \Upsilon(j) \Rightarrow \Upsilon\bigl( \mathfrak{s}_a(j) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Докажем, что нуль множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$.

Из определения предиката $$\Upsilon$$ следует, что нуль множества $$b$$ и произвольный элемент множества $$b$$ должны удовлетворять предикату $$\Phi$$: $$ \Upsilon(\mathfrak{o}_a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in b \Rightarrow \Phi(\mathfrak{o}_a,k) $$ Из определения нуля множества $$b$$ и определения предиката $$\Phi$$ следует, что если пустое множество принадлежит множеству $$k$$, то пустое множество должно являться подмножеством множества $$k$$: $$ \Phi(\mathfrak{o}_a,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \varnothing\in k \Rightarrow \varnothing\subseteq k $$ Из теоремы о свойствах пустого множества следует, что пустое множество является подмножеством любого множества: $$ \forall l \quad \varnothing\subseteq l $$ Таким образом, пустое множество и произвольное множество удовлетворяют предикату $$\Phi$$. Таким образом, нуль множества удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$.

Докажем, что для любого элемента множества $$b$$ если данный элемент множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$, то последователь данного элемента множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$.

Выдвинем следующие предположения: $$ l\in b $$ $$ \Upsilon(l) $$ Из определения предиката $$\Upsilon$$ следует, что:
 * дан элемент множества $$b$$ :
 * множество $$l$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$:

последователь множества $$l$$ и произвольный элемент множества $$b$$ должны удовлетворять предикату $$\Phi$$: $$ \Upsilon\bigl( \mathfrak{s}_a(l) \bigr) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in b \Rightarrow \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),\mathrm{b} \bigr) $$

Из того, что предикат $$\Phi$$ определён на множестве $$b$$ и для алгебраической структуры $$a$$ выполнено третье условие, следует, что достаточно доказать следующее утверждение:

последователь множества $$l$$ и нуль множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$ и для любого элемента множества $$b$$ если последователь множества $$l$$ и данный элемент множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Upsilon$$, то последователь множества $$l$$ и последователь данного элемента множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Upsilon$$: $$ \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),\mathfrak{o}_a \bigr) \ \land \ \Bigl( \ \forall j \quad j\in b \Rightarrow \Bigl(\, \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),j \bigr) \Rightarrow \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),\mathfrak{s}_a(j) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Докажем, что последователь множества $$l$$ и нуль множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$.

Из определения предиката $$\Phi$$ следует, что если последователь множества $$l$$ принадлежит нулю множества $$b$$, то последователь множества $$l$$ должен являться подмножеством нуля множества $$b$$: $$ \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),\mathfrak{o}_a \bigr) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \mathfrak{s}_a(l)\in \mathfrak{o}_a \Rightarrow \mathfrak{s}_a(l)\subseteq \mathfrak{o}_a $$ Из определения нуля на множестве $$b$$ и определения пустого множества следует, что неверно, что некоторое множество является элементом нуля множества $$b$$: $$ {}^\neg(\exists m \quad m\in \mathfrak{o}_a) $$ Таким образом, последователь множества $$l$$ и нуль множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$.

Докажем, что для любого элемента множества $$b$$ если последователь множества $$l$$ и данный элемент множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Upsilon$$, то последователь множества $$l$$ и последователь данного элемента множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Upsilon$$.

Выдвинем следующие предположения: $$ m\in b $$ $$ \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),m \bigr) $$ Из определения предиката $$\Phi$$ следует, что если последователь множества $$l$$ принадлежит последователю множества $$m$$, то последователь множества $$l$$ должен являться подмножеством последователя множества $$m$$: $$ \mathfrak{s}_a(l)\in \mathfrak{s}_a(m) \Rightarrow \mathfrak{s}_a(l)\subseteq \mathfrak{s}_a(m) $$ Из определения операции следования на множестве $$b$$ следует, что если объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит объединению множества $$m$$ и единичного множества множества $$m$$, то объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ должно являться подмножеством объединения множества $$m$$ и единичного множества множества $$m$$: $$ (l\cup \{l\})\in (m\cup \{m\}) \Rightarrow (l\cup \{l\})\subseteq (m\cup \{m\}) $$ Из определения объединения двух множеств следует, что если объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит объединению множества $$m$$ и единичного множества множества $$m$$, то объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит множеству $$m$$ или объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит единичному множеству множества $$m$$: $$ (l\cup \{l\})\in (m\cup \{m\}) \Rightarrow \bigl(\, (l\cup \{l\})\in m \ \lor \ (l\cup \{l\})\in \{m\} \,\bigr) $$ Из определения единичного множества множества следует, что если объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит единичному множеству множества $$m$$, то объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ равно множеству $$m$$: $$ (l\cup \{l\})\in \{m\} \Rightarrow (l\cup \{l\}) = m $$ Из первого предположения и второго предположения следует, что если объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит множеству $$m$$, то объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ является подмножеством множества $$m$$: $$ (l\cup \{l\})\in m \Rightarrow (l\cup \{l\})\subseteq m $$ Из определения равенства множеств следует, что объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ равно множеству $$m$$, то объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ является подмножеством множества $$m$$: $$ (l\cup \{l\}) = m \Rightarrow (l\cup \{l\})\subseteq m $$ Таким образом, если объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ принадлежит множеству $$m$$ или объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ равно множеству $$m$$, то объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ является подмножеством множества $$m$$: $$ \bigl(\, (l\cup \{l\})\in m \ \lor \ (l\cup \{l\}) = m \,\bigr) \Rightarrow (l\cup \{l\})\subseteq m $$ Из определения объединения двух множеств следует, что множество $$m$$ является подмножеством объединения множества $$m$$ и единичного множества множества $$m$$: $$ m \subseteq (m\cup \{m\}) $$ Из теоремы о свойствах отношения подмножественности следует транзитивность отношения подмножественности: $$ \subseteq\, \in \mathrm{TransitRel} $$ Из транзитивности отношения подмножественности следует, что объединение множества $$l$$ и единичного множества множества $$l$$ является подмножеством объединения множества $$m$$ и единичного множества множества $$m$$: $$ \bigl(\, (l\cup \{l\})\subseteq m \ \land \ m\subseteq (m\cup \{m\}) \,\bigr) \Rightarrow (l\cup \{l\})\subseteq (m\cup \{m\}) $$ Таким образом, ввиду произвольности множества $$m$$ доказано, что для любого элемента множества $$b$$ если последователь множества $$l$$ и данный элемент множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$, то последователь множества $$l$$ и последователь данного элемента множества $$b$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$: $$ \forall j \quad j\in b \Rightarrow \Bigl(\, \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),j \bigr) \Rightarrow \Phi\bigl( \mathfrak{s}_a(l),\mathfrak{s}_a(j) \bigr) \,\Bigr) $$ Из того, что предикат $$\Phi$$ определён на множестве $$b$$ и для множества $$a$$ выполнено третье условие, следует, что последователь множества $$l$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$: $$ \Upsilon\bigl( \mathfrak{s}_a(l) \bigr) $$ Из того, что предикат $$\Upsilon$$ определён на множестве $$b$$ и для множества $$a$$ выполнено третье условие, следует, что любой элемент множества $$b$$ удовлетворяет предикату $$\Upsilon$$: $$ \forall j \quad j\in b \Rightarrow \Upsilon(j) $$ Таким образом, вспомогательное утверждение доказано.
 * дан элемент множества $$b$$ :
 * последователь множества $$l$$ и множество $$m$$ удовлетворяют предикату $$\Phi$$ :

Второе условие
Докажем второе условие.

Из определения инъекции, действующей из множества в множество, и из определения операции следования на множестве $$b$$ следует, что операция следования на множестве $$b$$ должна удовлетворять следующему условию:

для любых двух элементов множества $$b$$ если {объединение первого элемента множества $$b$$ и единичного множества первого элемента множества $$b$$} равно {объединение второго элемента множества $$b$$ и единичного множества второго элемента множества $$b$$}, то первый элемент множества $$b$$ равен второму элементу множества $$b$$: $$ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \bigl( \ (h\cup \{h\}) = (i\cup \{i\}) \Rightarrow h = i \ \bigr) $$ Выдвинем следующее предположение:

даны два элемента множества $$b$$ : $$ h\in b \ \land \ i\in b $$ Из определения единичного множества множества и определения объединения двух множеств следует, что множество $$h$$ принадлежит объединению множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$: $$ h\in (h\cup \{h\}) $$ Из определения отношения равенства следует, что множество $$h$$ принадлежит объединению множества $$i$$ и единичного множества множества $$i$$: $$ h\in (i\cup \{i\}) $$ Из определения объединения двух множеств следует, что множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$ или множество $$h$$ принадлежит единичному множеству множества $$i$$: $$ h\in i \ \lor \ h\in \{i\} $$ Из определения единичного множества множества следует, что множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$ или множество $$h$$ равно множеству $$i$$: $$ h\in i \ \lor \ h = i $$ Из определения единичного множества множества и определения объединения двух множеств следует, что множество $$i$$ принадлежит объединению множества $$i$$ и единичного множества множества $$i$$: $$ i\in (i\cup \{i\}) $$ Из определения отношения равенства множеств следует, что множество $$i$$ принадлежит объединению множества $$h$$ и единичного множества множества $$h$$: $$ i\in (h\cup \{h\}) $$ Из определения объединения двух множеств следует, что множество $$i$$ принадлежит множеству $$h$$ или множество $$i$$ принадлежит единичному множеству множества $$h$$: $$ i\in h \ \lor \ i\in \{h\} $$ Из определения единичного множества множества следует, что множество $$i$$ принадлежит множеству $$h$$ или множество $$i$$ равно множеству $$h$$: $$ i\in h \ \lor \ i = h $$ Таким образом, {множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$ или множество $$h$$ равно множеству $$i$$} и {множество $$i$$ принадлежит множеству $$h$$ или множество $$i$$ равно множеству $$h$$}: $$ (h\in i \ \lor \ h = i) \ \land \ (i\in h \ \lor \ i = h) $$ Из антисимметричности отношения равенства множеств и того, что {множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$ или множество $$h$$ равно множеству $$i$$} и {множество $$i$$ принадлежит множеству $$h$$ или множество $$i$$ равно множеству $$h$$}, следует, что {множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$ и множество $$i$$ принадлежит множеству $$h$$} или множество $$h$$ равно множеству $$i$$: $$ \bigl(\, (h\in i \ \lor \ h = i) \ \land \ (i\in h \ \lor \ i = h) \,\bigr) \Rightarrow \bigl(\, (h\in i \ \land \ i\in h) \ \lor \ h = i \,\bigr) $$ Из вспомогательного утверждения следует, что если {множество $$h$$ принадлежит множеству $$i$$ и множество $$i$$ принадлежит множеству $$h$$}, то {множество $$h$$ является подмножеством множества $$i$$ и множество $$i$$ является подмножеством множества $$h$$}: $$ (h\in i \ \land \ i\in h) \Rightarrow (h\subseteq i \ \land \ i\subseteq h) $$ Из аксиомы объёмности следует, что если {множество $$h$$ является подмножеством множества $$i$$ и множество $$i$$ является подмножеством множества $$h$$} или множество $$h$$ равно множеству $$i$$, то множество $$h$$ равно множеству $$i$$: $$ \bigl(\, (h\subseteq i \ \land \ i\subseteq h) \ \lor \ h = i \,\bigr) \Rightarrow h = i $$ Таким образом, ввиду произвольности множеств $$h,i$$ для множества $$a$$ выполнено второе условие.

Таким образом, для алгебраической структуры $$a$$ выполнены первое условие, второе условие и третье условие. Построенное множество $$a$$ есть искомая структура натуральных чисел. Таким образом, доказано существование структуры натуральных чисел.

Примечания
= Лемма = Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома бесконечности,
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любого множества существует единственное множество такое, что множество $$a$$ и данное множество удовлетворяют следующему двухместному предикату:

второй аргумент данного предиката является упорядоченной парой первого аргумента данного предиката и {объединения первого аргумента данного предиката и единичного множества первого аргумента данного предиката}: $$ \begin{cases} \forall a \quad \bigl(\, \exists b \quad \Upsilon(a,b) \ \land \ (\forall c \quad \Upsilon(a,c)\Rightarrow c = b) \,\bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \mathrm{c} \ \exists \mathrm{d} \quad \mathrm{c} = \{\mathrm{a}\} \ \land \ \mathrm{d} = (\mathrm{a}\cup \mathrm{c}) \ \land \ \mathrm{b} = \langle \mathrm{a},\mathrm{d} \rangle\\ \end{cases} $$

Существование
Из теоремы о существовании единичного множества множества и теоремы о существовании объединения двух множеств следует существование единичного множества множества $$a$$ и существование объединения множества $$a$$ и множества $$c$$ : $$ \exists c \ \exists d \quad c = \{a\} \ \land \ d = (a\cup e) $$

Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной пары множеств $$a,d$$ : $$ \exists b \quad b = \langle a,d \rangle $$ Построенное множество $$b$$ есть искомая упорядоченная пара множества $$a$$ и {объединения множества $$a$$ и единичного множества множества $$a$$}. Таким образом, доказано существование упорядоченной пары множества $$a$$ и {объединения множества $$a$$ и единичного множества множества $$a$$}.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.

Пусть для некоторого множества и произвольного множества если множество $$a$$ и множество $$b$$ удовлетворяют данному двухместному предикату, то существует множество неравное множеству $$b$$ и множество $$a$$ и множество $$c$$ удовлетворяют данному двухместному предикату.

По определению данного двухместного предиката следует, что: $$ \begin{cases} \forall e \quad e = \{a\} \Rightarrow \bigl(\, \forall f \quad f = a\cup e \Rightarrow b = \langle a,f \rangle \,\bigr)\\ \forall e \quad e = \{a\} \Rightarrow \bigl(\, \forall f \quad f = a\cup e \Rightarrow c = \langle a,f \rangle \,\bigr)\\ \end{cases} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует, что множество $$b$$ равно множеству $$c$$. Пришли к необходимому противоречию. Таким образом, доказана единственность упорядоченной пары множества $$a$$ и {объединения множества $$a$$ и единичного множества множества $$a$$}.
 * множество $$b$$ является упорядоченной парой множества $$a$$ и {объединения множества $$a$$ и единичного множества множества $$a$$},
 * множество $$c$$ является упорядоченной парой множества $$a$$ и {объединения множества $$a$$ и единичного множества множества $$a$$}: