Линейно упорядоченная арифметика целых чисел

Из теоремы о линейном упорядочении арифметики целых чисел следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}\Bigl(\, \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \,\Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl(\, \{\, \leq \,\}, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \,\Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$f = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$b = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — линейно упорядоченная арифметика целых чисел (англ. linearly ordered arithmetic of integers, нем. linear geordnete Arithmetik der Ganzzahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall i \quad i = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_i\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Z})\\ \forall i \ \forall j \ \forall k \ \forall l \ \forall m \ \forall n \quad \bigl( (i\in b \ \land \ j\in b) \ \land \ (i = \langle k,l \rangle \ \land \ j = \langle m,n \rangle) \bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,n)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \langle i,j \rangle\in \ \leq_a \Leftrightarrow \bigl\langle +_e(k,n),+_e(m,l) \bigr\rangle\in \ \leq_e\\ \end{cases} $$
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ является арифметикой целых чисел,
 * 2) для любых двух элементов множества $$b$$ упорядоченная пара множеств $$i,j$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве $$b$$ тогда и только тогда, когда упорядоченная пара {суммы первой координаты множества $$i$$ и второй координаты множества $$j$$} и {суммы первой координаты множества $$j$$ и второй координаты множества $$i$$} принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве натуральных чисел $$f$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Z}_b)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Z})$$.