Отрезок

Отрезок линейно упорядоченной арифметики натуральных чисел с началом и концом

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$f = \{\, \leqslant \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$g = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$h = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$c = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$i\in c \ \land \ j\in c$$ - натуральные числа.

Множество $$a$$ — отрезок (англ. line segment, нем. Strecke, Geradenabschnitt oder Geradenstück) линейно упорядоченной арифметики натуральных чисел $$b$$ с началом $$i$$ и концом $$j$$ или кратко отрезок с началом $$i$$ и концом $$j$$, если множество $$a$$ состоит из натуральных чисел таких, что {упорядоченная пара натуральных чисел $$i,k$$ принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве натуральных чисел $$c$$} и {упорядоченная пара натуральных чисел $$k,j$$ принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве натуральных чисел $$c$$}: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in c \Rightarrow \Bigl( k\in a \Leftrightarrow \bigl( \langle i,k \rangle\in \leqslant_f \ \land \ \langle k,j \rangle\in \leqslant_f \bigr) \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LineSegment}_b(i,j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LineSegment}(i,j)$$.

Замечание
Если $$i$$ является нолём на множестве натуральных чисел $$c$$, то отрезок $$a$$ линейно упорядоченной арифметики натуральных чисел $$b$$ с началом $$i$$ и концом $$j$$ будем называть отрезком линейно упорядоченной арифметики натуральных чисел $$b$$ длины $$j$$ или кратко отрезком длины $$j$$.