Теорема о свойствах отношения структуры вещественных чисел

Пусть


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$f = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$j = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$p = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\}$$ - сигнатура,
 * $$l = f\setminus\{\, \mathfrak{o}_e \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$n = \mathrm{CartProd}(\langle j,l \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$m = \mathrm{AlgStruct}(n,o,p)$$ - алгебраическая структура,
 * $$r = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$q = m\bigr|_r$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$q\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$m\in \mathrm{LinOrdStruct}(n;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Group}(n;+)$$ - группа,
 * $$t = \left|\circ\right|_{+_m}^{\leq_m}$$ - операция взятия модуля,
 * $$u = \mathrm{DistanceOp}_t^m(n)$$ - операция расстояния,
 * $$s = \langle n,m,u \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$s = \mathrm{MetricSpace}(n,m;u)$$ - метрическое пространство,
 * $$b = \mathrm{CauchySequence}_f^s(n)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathfrak{R}$$ - структура вещественных чисел,

тогда интерпретация символа отношения $$\sim$$ на множестве $$b$$ является отношением эквивалентности на множестве $$b$$: $$ \forall a \ \ldots \ \forall u \qquad \begin{cases} d = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)\\ h = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)\\ e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)\\ e\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})\\ f = \mathbb{N}\\ j = \mathrm{CartPower}^2(f)\\ i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,d)\\ i\in \mathfrak{Z}\\ p = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\}\\ l = f\setminus\{\, \mathfrak{o}_e \,\}\\ n = \mathrm{CartProd}(\langle j,l \rangle)\\ m = \mathrm{AlgStruct}(n,o,p)\\ r = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)\\ q = m\bigr|_r\\ q\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})\\ m\in \mathrm{LinOrdStruct}(n;\leq)\\ m\in \mathrm{Group}(n;+)\\ t = \left|\circ\right|_{+_m}^{\leq_m}\\ u = \mathrm{DistanceOp}_t^m(n)\\ s = \mathrm{MetricSpace}(n,m;u)\\ b = \mathrm{CauchySequence}_f^s(n)\\ a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)\\ a\in \mathfrak{R}\\ \end{cases} \Rightarrow \ \sim_a \ \in \mathrm{EquivRel}(b) $$