Булева алгебра

Булева алгебра над множеством

 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$f = \bigl\{ \mathfrak{F},\mathfrak{T},\#, \,|\,, \& \bigr\}$$ - алфавит операций,
 * $$g = \Bigl\{ \bigl\langle \mathfrak{F}, 0_\mathrm{N} \bigr\rangle, \bigl\langle \mathfrak{T}, 0_\mathrm{N} \bigr\rangle, \bigl\langle \#, 1_\mathrm{N} \bigr\rangle, \bigl\langle \,|\,, 2_\mathrm{N} \bigr\rangle, \bigl\langle \&, 2_\mathrm{N} \bigr\rangle \Bigr\}$$ - функция местности,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств и сигнатуры,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ сигнатуры $$d$$, образованная множествами $$b,c$$ — булева алгебра (англ. Boolean algebra, нем. boolesche Algebra oder boolescher Verband) над множеством $$b$$, если выполняются следующие условия: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \,|_{\,a} \in \mathrm{CommOp}(b)\\ \&_a\in \mathrm{CommOp}(b)\\ \,|_{\,a}\in \mathrm{AssocOp}(b)\\ \&_a\in \mathrm{LeftDistribOp}_{\,|_{\,a}}(b)\\ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Bigl( \forall i \quad i = \#_a(h) \Rightarrow \,|_{\,a}(h,i) = \mathfrak{T}_a \Bigr)\\ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Bigl( \forall i \quad i = \#_a(h) \Rightarrow \&_a(h,i) = \mathfrak{F}_a \Bigr)\\ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Bigl( \forall i \quad i = \mathfrak{T}_a \Rightarrow \&_a(h,i) = h \Bigr)\\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h,i)\\ \end{cases}\\ \\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \Bigl( j = \,|_{\,a}(h,i) \ \land \ \bigl( k = \#_a(h) \ \land \ l = \#_a(i) \bigr) \Bigr) \Rightarrow \#_a(j) = \&_a(k,l)\\ \end{cases} $$
 * 1) интерпретация символа бинарной операции $$|$$ на множестве $$b$$ является коммутативной операцией на множестве $$b$$,
 * 2) интерпретация символа бинарной операции $$\&$$ на множестве $$b$$ является коммутативной операцией на множестве $$b$$,
 * 3) интерпретация символа бинарной операции $$|$$ на множестве $$b$$ является ассоциативной операцией на множестве $$b$$,
 * 4) интерпретация символа бинарной операции $$\&$$ на множестве $$b$$ является леводистрибутивной операцией на множестве $$b$$ относительно интерпретации символа бинарной операции $$|$$ на множестве $$b$$,
 * 5) для произвольного элемента множества $$b$$ значение интерпретации символа бинарной операции $$|$$ на множестве $$b$$ от упорядоченной пары множества $$h$$ и {значения интерпретации символа унарной операции $$\#$$ на множестве $$b$$ от множества $$h$$} равно значению интерпретации символа константы $$\mathfrak{T}$$ на множестве $$b$$,
 * 6) для произвольного элемента множества $$b$$ значение интерпретации символа бинарной операции $$\&$$ на множестве $$b$$ от упорядоченной пары множества $$h$$ и {значения интерпретации символа унарной операции $$\#$$ на множестве $$b$$ от множества $$h$$} равно значению интерпретации символа константы $$\mathfrak{F}$$ на множестве $$b$$,
 * 7) для произвольного элемента множества $$b$$ значение интерпретации символа бинарной операции $$\&$$ на множестве $$b$$ от упорядоченной пары множества $$h$$ и {значения интерпретации символа константы $$\mathfrak{T}$$ на множестве $$b$$} равно множеству $$h$$,
 * 8) для произвольных двух элементов множества $$b$$ значение интерпретации символа унарной операции $$\#$$ на множестве $$b$$ от {значения интерпретации символа бинарной операции $$|$$ на множестве $$b$$ от упорядоченной пары множеств $$h,i$$} равно значению интерпретации символа бинарной операции $$\&$$ от упорядоченной пары {значения интерпретации символа унарной операции $$\#$$ на множестве $$b$$ от множества $$h$$} и {значения интерпретации символа унарной операции $$\#$$ на множестве $$b$$ от множества $$i$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{BooleanAlgebra}\bigl( b;\mathfrak{F},\mathfrak{T},\#, \,|\,, \& \bigr)$$.