Измеримое множество

Совокупность измеримых подмножеств множества относительно внешней меры на множестве над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень множества,
 * $$g = \langle h,i,j \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in i \ \land \ j(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in i \ \land \ j(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{LinOrdGroup}(e;+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$m = \mathrm{PowerSet}(e)$$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\subseteq m$$ - подмножество множества-степени носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\in \mathrm{Top}(e)$$ - топология на носителе стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$k = \mathrm{TopSpace}(e,l)$$ - топологическое пространство,
 * $$n\in \mathrm{Function}(c,f)$$ - функция,
 * $$n\in \mathrm{OuterMeasure}_{\langle d,k \rangle}(c,f)$$ - внешняя мера.

Множество $$a$$ — совокупность измеримых подмножеств (англ. set of measurable subsets, нем. Menge von meßbare Teilmengen) множества $$b$$ относительно внешней меры $$n$$ на множестве $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$, или кратко совокупность $$n$$-измеримых множеств, если множество $$a$$ состоит из подмножеств множества $$b$$ таких, что для любого подмножества множества $$b$$ значение внешней меры $$n$$ от множества $$p$$ равно сумме {значения внешней меры $$n$$ от пересечения множеств $$o,p$$} и {значения внешней меры $$n$$ от пересечения множества $$o$$ и {дополнения множества $$p$$ до множества $$b$$}}: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \quad o\subseteq b \Rightarrow \Bigl( o\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall p \quad p\subseteq b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,p) \bigr) \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall q \quad q = \mathrm{Compl}_b(p) \Rightarrow \Bigl( \forall r \ \forall s \quad \bigl( r = a\cap p \ \land \ s = a\cap q \bigr) \Rightarrow n(p) = +_d\bigl( n(r),n(s) \bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MeasurableSet}_n(b)$$.

Измеримое подмножество множества относительно внешней меры на множестве над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень множества,
 * $$g = \langle h,i,j \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in i \ \land \ j(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in i \ \land \ j(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{LinOrdGroup}(e;+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$m = \mathrm{PowerSet}(e)$$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\subseteq m$$ - подмножество множества-степени носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\in \mathrm{Top}(e)$$ - топология на носителе стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$k = \mathrm{TopSpace}(e,l)$$ - топологическое пространство,
 * $$n\in \mathrm{Function}(c,f)$$ - функция,
 * $$n\in \mathrm{OuterMeasure}_{\langle d,k \rangle}(c,f)$$ - внешняя мера.

Множество $$a$$ — измеримое подмножество (англ. measurable subset, нем. meßbare Teilmenge) множества $$b$$ относительно внешней меры $$n$$ на множестве $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$, или кратко $$n$$-измеримое множество, если множество $$a$$ является элементом совокупности измеримых подмножеств множества $$b$$ относительно внешней меры $$n$$ на множестве $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \quad o = \mathrm{MeasurableSet}_n(b) \Rightarrow a\in o $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{MeasurableSet}_n(b)$$.