Связное множество

Связное множество топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество топологического пространства.

Множество $$a$$ — связное множество (англ. connected set, нем. zusammenhängender Menge) топологического пространства $$b$$ или кратко связное множество, если для любого собственного подмножества множества $$a$$ справедливо следующее:

для произвольной окрестности множества $$f$$ пересечение множества $$a$$ и [ разности множества $$g$$ и множества $$f$$ ] непусто: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall f \quad f\subset a \Rightarrow \Biggl( \ \forall g \quad g\in \mathrm{O}(f) \Rightarrow \Bigl(\, \forall h \quad h = g\setminus f \Rightarrow \bigl( \forall i \quad i = a\cap h \Rightarrow {}^\neg (i = \varnothing) \bigr) \,\Bigr) \ \Biggr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{ConnectedSet}(b)$$.