Топология

Топология на множестве

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень,
 * $$a\subseteq c$$ - система множеств.

Система множеств $$a$$, порождённая множеством $$b$$ — топология (англ. topology, нем. Topologie) на множестве $$b$$ или кратко топология, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \varnothing \in a\\ b \in a\\ \forall d \quad \bigl(\, \forall e \quad e\in \mathrm{Function}(d,a) \Rightarrow \bigcup\limits_e a \in a \,\bigr)\\ \forall d \quad \mathrm{Card}(d)< \aleph_0 \Rightarrow \bigl(\, \forall e \quad e\in \mathrm{Function}(d,a) \Rightarrow \bigcap\limits_e a \in a \,\bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) пустое множество принадлежит множеству $$a$$;
 * 2) множество $$b$$ принадлежит множеству $$a$$;
 * 3) для любого множества объединение элементов множества $$a$$ по множеству $$d$$ произвольной функцией, действующей из функции $$d$$ в множество $$a$$, принадлежит множеству $$a$$;
 * 4) для любого конечного множества пересечение элементов множества $$a$$ по множеству $$d$$ произвольной функцией, действующей из множества $$d$$ в множество $$a$$, принадлежит множеству $$a$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Top}(b)$$.

Связанные определения
Открытое множество;

Замкнутое множество.