Метрическое нормированное векторное пространство

Метрическое нормированное векторное пространство над линейно упорядоченным полем
Из теоремы о метризации нормированного векторного пространства следует справедливость следующего определения:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b\rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$u = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$t\in \mathrm{Function}(u,d)$$ - функция,
 * $$a = \langle p,t \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции.

Упорядоченная пара $$a$$ нормированного векторного пространства $$p$$ и функции $$t$$ — метрическое нормированное векторное пространство (англ. metric normed vector space, нем. metrischer normierter Vektorraum) над линейно упорядоченным полем $$c$$ или кратко метрическое нормированное векторное пространство, если для любых двух векторов нормированного векторного пространства $$p$$ значение функции $$t$$ от векторов $$v,w$$ равно норме суммы вектора $$v$$ и некоторой инверсии вектора $$w$$ относительно сложения векторов $$m$$ и нулевого вектора нормированного векторного пространства $$p$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \ \forall w \quad (v\in b \ \land \ w\in b) \Rightarrow \Bigl( \exists x \quad x\in \mathrm{Inversion}_m^{\vec{0}_p}(w) \ \land \ t(v,w) = r\bigl( m(v,x) \bigr) \,\Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,t)$$.