Ноль

Ноль множества-бесконечности

 * $$a,b$$ - множества,
 * $$b = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$a\in b$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — ноль (или нуль) (англ. null, нем. Null) множества-бесконечности $$b$$ или кратко ноль, если множество $$a$$ является пустым множеством: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \varnothing $$

Из теоремы о существовании и единственности множества-бесконечности следует справедливость следующего обозначения для нуля множества-бесконечности $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = 0_\mathrm{N}$$.

Ноль на множестве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$\mathfrak{o}\in g$$ - символ операции.

Множество $$a$$ — ноль (или нуль) (англ. null, нем. Null) на множестве $$c$$ или кратко ноль, если множество $$a$$ является интерпретацией символа операции $$\mathfrak{o}$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathfrak{o}_b $$

Ноль аддитивного моноида

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$+\in f \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - бинарная операция,
 * $$b\in \mathrm{Monoid}(c;+)$$ - аддитивный моноид.

Множество $$a$$ — ноль (или нуль) (англ. null, нем. Null) аддитивного моноида $$b$$ или кратко ноль, если множество $$a$$ является нейтральным элементом сложения на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Neutral}(+_b) $$

Замечание
Так как стандартное кольцо является аддитивным моноидом, то нейтральный элемент сложения на носителе стандартного кольца будем называть нолем стандартного кольца.