Структура вещественных чисел

Из теоремы о метризации линейно упорядоченной арифметики рациональных чисел следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$f = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$j = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$p = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$l = f\setminus\{\, \mathfrak{o}_e \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$n = \mathrm{CartProd}(\langle j,l \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$m = \mathrm{AlgStruct}(n,o,p)$$ - алгебраическая структура,
 * $$r = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$q = m\bigr|_r$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$q\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$m\in \mathrm{LinOrdStruct}(n;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Group}(n;+)$$ - группа,
 * $$t = \left|\circ\right|_{+_m}^{\leq_m}$$ - операция взятия модуля,
 * $$u = \mathrm{DistanceOp}_t^m(n)$$ - операция расстояния,
 * $$s = \langle n,m,u \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$s = \mathrm{MetricSpace}(n,m;u)$$ - метрическое пространство,
 * $$b = \mathrm{CauchySequence}_f^s(n)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — структура вещественных чисел (англ. structure of real numbers, нем. Struktur der reellen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующему условию:

упорядоченная пара любых двух элементов множества $$b$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\sim$$ на множестве $$b$$ тогда и только тогда, когда для любого элемента множества $$n$$ если {существует нейтральный элемент сложения на множестве $$n$$ такой, что упорядоченная пара данного нейтрального элемента сложения на множестве $$n$$ и данного элемента множества $$n$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве $$n$$ и данный элемент множества $$n$$ не равен данному нейтральному элементу сложения на множестве $$n$$}, то {существует натуральное число такое, что для любого натурального числа если упорядоченная пара первого натурального числа и второго натурального числа принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве натуральных чисел $$f$$, то {упорядоченная пара {расстояния между членом первого элемента множества $$b$$, соответствующим второму натуральному числу, и членом второго элемента множества $$b$$, соответствующим второму натуральному числу} и данного элемента множества $$n$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве $$n$$} и {расстояние между членом первого элемента множества $$b$$, соответствующим второму натуральному числу, и членом второго элемента множества $$b$$, соответствующим второму натуральному числу, не равно данному элементу множества $$n$$}: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \ \forall w \quad (\, v\in b \ \land \ w\in b \,) \Rightarrow \Bigl( \ \langle v,w \rangle \in \sim_a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall x \quad x\in n \Rightarrow \Bigl(\, \Phi(a,\ldots,x) \Rightarrow \bigl( \exists y \quad y\in f \ \land \ \mathrm{X}(a,\ldots,y) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists y \quad y\in \mathrm{Neutral}(+_m) \ \land \ \bigl(\, \langle y,x \rangle \in \ \leq_m \ \land \ {}^\neg(x = y) \,\bigr)\\ \mathrm{X}(a,\ldots,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall z \quad z\in f \Rightarrow  \Bigl( \ \langle y,z \rangle \in \ \leq_e \Rightarrow \Bigl( \, \bigl\langle u\bigl( v(z),w(z) \bigr), x \bigr\rangle \in \ \leq_m \ \land \ {}^\neg\bigl( u\bigl( v(z),w(z) \bigr) = x \bigr) \, \Bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{R}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{R}$$.