Сужение

Сужение функции на множество

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$e\subseteq c$$ - подмножество множества,
 * $$b\in \mathrm{Function}(c,d)$$ - функция.

Множество $$a$$ — сужение (англ. restriction, нем. Einschränkung) функции $$b$$ на множество $$e$$ или кратко сужение функции $$b$$, если множество $$a$$ является функцией, действующей из множества $$e$$ в множество $$d$$, причём график функции $$a$$ является подмножеством графика функции $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Function}(e,d)  \ \land \ \bigl( \ \forall g \ \forall h \quad (\, g = \mathrm{Graph}(a) \ \land \ h = \mathrm{Graph}(b) \,) \Rightarrow g\subseteq h \ \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = b\bigr|_e$$.

Сужение алгебраической структуры до сигнатуры
алфавита операций]],
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g), j = \mathrm{\Sigma}(k,l,m)$$ - сигнатуры,
 * $$e\subseteq k$$ - подмножество алфавита отношений,
 * $$f\subseteq l$$ - подмножество алфавита операций,
 * $$n = e\cup f$$ - объединение алфавита отношений и [[Алфавит операций|
 * $$g = m\bigr|_n$$ - сужение функции местности,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d), h = \mathrm{AlgStruct}(b,i,j)$$ - алгебраические структуры.

Алгебраическая структура $$a$$ — сужение (англ. restriction, нем. Einschränkung) алгебраической структуры $$h$$ до сигнатуры $$d$$, если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующему условию: функция интерпретации $$c$$ сигнатуры $$d$$ на множестве $$b$$ равна сужению функции интерпретации $$i$$ сигнатуры $$j$$ на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ c = i\bigr|_n $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = h\bigr|_d$$.