Теорема о существовании и единственности совокупности функций

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома множества-степени,
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома пустого множества,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любых двух множеств существует единственная совокупность функций, действующих из множества $$a$$ в множество $$b$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \quad \Bigl( \ \exists c \quad \Upsilon(a,b,c) \ \land \ \bigl(\, \forall d \quad \Upsilon(a,b,d) \Rightarrow d = c \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \Phi(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d})\\ \Phi(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \mathrm{e} \quad \begin{cases} \mathrm{e}\subseteq \mathrm{CartProd}(\langle \mathrm{a},\mathrm{b} \rangle)\\ \mathrm{d} = \langle \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{e} \rangle\\ \forall \mathrm{f} \quad \mathrm{f}\in \mathrm{a} \Rightarrow \Bigl( \ \exists \mathrm{g} \quad \mathrm{g}\in \mathrm{b} \ \land \ \langle \mathrm{f},\mathrm{g} \rangle \in \mathrm{e} \ \land \ \bigl(\, \forall \mathrm{h} \quad (\mathrm{h}\in \mathrm{b} \ \land \ \langle \mathrm{f},\mathrm{h} \rangle \in \mathrm{e}) \Rightarrow \mathrm{h} = \mathrm{g} \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases} $$

Существование
Из теоремы о существовании и единственности прямого произведения двух множеств следует существование прямого произведения множеств $$a,b$$ : $$ \exists d \quad d = \mathrm{CartProd}(\langle a,b \rangle) $$ Из аксиомы множества-степени следует существование множества-степени множества $$d$$ : $$ \exists e \quad e = \mathrm{PowerSet}(d) $$ Из аксиомы схемы выделения следует существование совокупности элементов множества $$e$$ таких, что для любого элемента множества $$a$$ существует единственный элемент множества $$b$$ такой, что упорядоченная пара данного элемента множества $$a$$ и данного элемента множества $$b$$ принадлежит данному элементу множества $$e$$ : $$ \begin{cases} \exists f \quad \forall g \quad g\in f \Leftrightarrow \Bigl( \ g\in e \ \land \ \Bigl( \ \forall h \quad h\in a \Rightarrow \Bigl( \ \exists i \quad \Upsilon(b,g,h,i) \ \land \ \bigl(\, \forall j \quad \Upsilon(b,g,h,j) \Rightarrow j = i \,\bigr) \ \Bigr) \ \Bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \mathrm{d}\in \mathrm{a} \ \land \ ( \exists \mathrm{e} \quad e = \langle \mathrm{c},\mathrm{d} \rangle \ \land \ e\in \mathrm{b})\\ \end{cases} $$ Из теоремы о существовании и единственности упорядоченной пары множеств следует существование упорядоченной пары множеств $$a,b$$ : $$ \exists g \quad g = \langle a,b \rangle $$ Из теоремы о существовании и единственности единичного множества множества следует существование единичного множества множества $$g$$ : $$ \exists h \quad h = \{g\} $$ Из теоремы о существовании и единственности прямого произведения двух множеств следует существование прямого произведения множеств $$h,f$$ : $$ \exists c \quad c = \mathrm{CartProd}(\langle h,f \rangle) $$ Построенное множество $$c$$ есть искомая совокупность функций, действующих из множества $$a$$ в множество $$b$$. Таким образом, ввиду произвольности множеств $$a,b$$ доказано существование совокупности функций, действующих из множества в множество, для любых двух множеств.

Единственность
$$ \exists a \ \exists b \quad \Bigl( \ \forall c \quad \Upsilon(a,b,c) \Rightarrow \bigl(\, \exists d \quad \Upsilon(a,b,d) \ \land \ {}^\neg(d = c) \,\bigr) \ \Bigr) $$