Арифметика рациональных чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений сигнатуры,
 * $$f = \{\, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$g = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$k = \mathrm{\Sigma}\bigl(\, \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, l \,\bigr)$$ - сигнатура,
 * $$l = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,k)$$ - алгебраическая структура,
 * $$h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$i = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(i)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$n = i\setminus\{\, \mathfrak{o}_h \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$b = \mathrm{CartProd}(\langle m,q \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — арифметика рациональных чисел (англ. arithmetic of rational numbers, нем. Arithmetik der rationalen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям:
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой рациональных чисел;
 * 2) для любых двух элементов множества $$b$$ сумма множеств $$o,p$$ равна упорядоченной паре {упорядоченной пары {суммы {произведения множества $$q$$ и множества $$v$$} и {произведения множества $$t$$ и множества $$s$$}} и {суммы {произведения множества $$r$$ и множества $$v$$} и {произведения множества $$u$$ и множества $$s$$}}} и {произведения множества $$s$$ и множества $$v$$};

$$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall o \quad o = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_o\in \mathfrak{Q}\\ \\ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \ \forall t \ \forall u \ \forall v \quad \begin{cases} o = \bigl\langle \langle q,r \rangle, s \bigr\rangle\\ p = \bigl\langle \langle t,u \rangle, v \bigr\rangle\\ o\in b\\ p\in b\\ \end{cases} \Rightarrow +_a(o,p) = \Bigl\langle \Bigl\langle +_h\bigl( \cdot_h(q,v), \, \cdot_h(t,s) \,\bigr), +_h\bigl( \cdot_h(r,v), \, \cdot_h(u,s) \,\bigr) \Bigr\rangle, \, \cdot_h(s,v) \ \Bigr\rangle\\ \\ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \ \forall t \ \forall u \ \forall v \quad \begin{cases} o = \bigl\langle \langle q,r \rangle, s \bigr\rangle\\ p = \bigl\langle \langle t,u \rangle, v \bigr\rangle\\ o\in b\\ p\in b\\ \end{cases} \Rightarrow \, \cdot_{\, a}(o,p) = \Bigl\langle \Bigl\langle +_h\bigl( \cdot_h(q,t), \, \cdot_h(r,u) \,\bigr), +_h\bigl( \cdot_h(q,u), \, \cdot_h(r,t) \,\bigr) \Bigr\rangle, \, \cdot_h(s,v) \ \Bigr\rangle\\ \end{cases} $$
 * 1) для любых двух элементов множества $$b$$ произведение множеств $$o,p$$ равна упорядоченной паре {упорядоченной пары {суммы {произведения множества $$q$$ и множества $$t$$} и {произведения множества $$r$$ и множества $$u$$}} и {суммы {произведения множества $$q$$ и множества $$u$$} и {произведения множества $$r$$ и множества $$t$$}}} и {произведения множества $$s$$ и множества $$v$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Q}_b)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Q})$$.