Теорема о свойствах отношения структуры целых чисел

Пусть


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$k = \mathrm{\Sigma}(l,m,n)$$ - сигнатура,
 * $$l = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$m = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$n = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,k)$$ - алгебраическая структура,
 * $$h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$i = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$b = \mathrm{CartPower}^2(i)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$f = \varnothing$$ - пустой алфавит операций,
 * $$g = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle\,\}$$ - функция местности,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,

тогда интерпретация символа отношения $$\sim$$ на множестве $$b$$ является отношением эквивалентности на множестве $$b$$: $$ \forall a \ \ldots \ \forall n \qquad \begin{cases} k = \mathrm{\Sigma}(l,m,n)\\ l = \varnothing\\ m = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}\\ n = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}\\ h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,k)\\ h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})\\ i = \mathbb{N}\\ b = \mathrm{CartPower}^2(i)\\ d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)\\ e = \{\, \sim \,\}\\ f = \varnothing\\ g = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle\,\}\\ a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)\\ a\in \mathfrak{Z}\\ \end{cases} \Rightarrow \ \sim_a \ \in \mathrm{EquivRel}(b) $$