Минимальный элемент

Совокупность минимальных элементов подмножества носителя упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры.

Множество $$a$$ — совокупность минимальных элементов (англ. set of minimal elements, нем. Menge der minimale Elemente) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ или кратко совокупность минимальных элементов множества $$j$$, если множество $$a$$ состоит из элементов носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ таких, что для произвольного элемента носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ если упорядоченная пара множеств $$l,k$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$i$$ на множестве $$c$$, то множество $$l$$ равно множеству $$k$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in a \Leftrightarrow \Bigl( k\in c \ \land \ \bigl( \forall l \quad l\in c \Rightarrow (\langle l,k \rangle\in i_b \Rightarrow l = k) \bigr) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Minimal}_{i_b}(j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Minimal}(j)$$.

Минимальный элемент подмножества носителя упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры.

Множество $$a$$ — минимальный элемент (англ. minimal element, нем. minimales Element) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ упорядоченной структуры $$b$$ или кратко минимальный элемент множества $$j$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности минимальных элементов подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{Minimal}_{i_b}(j) \Rightarrow a\in k $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Minimal}_{i_b}(j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Minimal}(j)$$.

Связанные определения
Максимальный элемент.