Арифметика целых чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,k)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений сигнатуры,
 * $$j = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$k = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$i = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений сигнатуры,
 * $$f = \{\, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$b = \mathrm{CartPower}^2(i)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — арифметика целых чисел (англ. arithmetic of integers, нем. Arithmetik der Ganzzahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall l \quad l = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_l\in \mathfrak{Z}\\ \\ \forall l \ \forall m \ \forall n \ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad \begin{cases} p = \langle l,m \rangle\\ q = \langle n,o \rangle\\ p\in b\\ q\in b\\ \end{cases} \Rightarrow +_a(p,q) = \bigl\langle +_h(l,n), +_i(m,o) \bigr\rangle\\ \\ \forall l \ \forall m \ \forall n \ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad \begin{cases} p = \langle l,m \rangle\\ q = \langle n,o \rangle\\ p\in b\\ q\in b\\ \end{cases} \Rightarrow \, \cdot_{\, a}(p,q) = \Bigl\langle +_h\bigl( \cdot_{\, h}(l,n), \, \cdot_{\, h}(m,o) \,\bigr), +_h\bigl( \cdot_{\, h}(l,o), \, \cdot_{\, h}(m,n) \,\bigr) \Bigr\rangle\\ \end{cases} $$
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой целых чисел,
 * 2) сумма двух произвольных элементов множества $$b$$ равна упорядоченной паре {суммы первой координаты первого элемента множества $$b$$ и первой координаты второго элемента множества $$b$$} и {суммы второй координаты первого элемента множества $$b$$ и второй координаты второго элемента множества $$b$$};
 * 3) произведение двух произвольных элементов множества $$b$$ равно упорядоченной паре {суммы {произведения первой координаты первого элемента множества $$b$$ и первой координаты второго элемента множества $$b$$} и {произведения второй координаты первого элемента множества $$b$$ и второй координаты второго элемента множества $$b$$}} и {суммы {произведения первой координаты первого элемента множества $$b$$ и второй координаты второго элемента множества $$b$$} и {произведения второй координаты первого элемента множества $$b$$ и первой координаты второго элемента множества $$b$$}}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Z}_b)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Z})$$.