Замкнутое множество

Замкнутое множество топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество топологического пространства.

Множество $$a$$ — замкнутое множество (англ. closed set, нем. abgeschlossene Menge) топологического пространства $$b$$ или кратко замкнутое множество, если дополнение множества $$a$$ до множества $$c$$ является открытым множеством топологического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall f \quad f = \mathrm{Compl}_c(a) \Rightarrow f\in \mathrm{OpenSet}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{ClosedSet}(b)$$.

Замкнутое множество метрического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$a\subseteq c$$ - подмножество метрического пространства.

Множество $$a$$ — замкнутое множество (англ. closed set, нем. abgeschlossene Menge) метрического пространства $$b$$ или кратко открытое множество, если дополнение множества $$a$$ до множества $$c$$ является открытым множеством метрического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \quad o = \mathrm{Compl}_c(a) \Rightarrow o\in \mathrm{OpenSet}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{ClosedSet}(b)$$.