Линейно упорядоченное поле

Линейно упорядоченное поле по отношению и операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in e \ \land \ e(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(i\in f \ \land \ e(i) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (j\in f \ \land \ e(j) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ сигнатуры $$d$$, образованная множествами $$b,c$$ — линейно упорядоченное поле (англ. linearly ordered field, нем. linear geordnete Körper) по отношению $$h$$ и операциям $$i,j$$ или кратко линейно упорядоченное поле, если алгебраическая структура $$a$$ является линейно упорядоченной структурой по отношению $$h$$ и алгебраическая структура $$a$$ является полем по операциям $$i,j$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdStruct}(b;h) \ \land \ a\in \mathrm{Field}(b;i,j) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdField}(b;h;i,j)$$.

Замечание
Линейно упорядоченное поле по отношению $$\leqslant$$ и операциям $$+, \cdot$$ будем называть стандартным линейно упорядоченным полем (англ. standard linearly ordered field, нем. standard linear geordnete Körper).

Согласованное по сложению стандартное линейно упорядоченное поле

 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in e \ \land \ e(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(+\in f \ \land \ e(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in f \ \land \ e(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathrm{LinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле.

Стандартное линейно упорядоченное стандартное поле $$a$$ — согласованное по сложению стандартное линейно упорядоченное поле (англ. associated by addition standard linearly ordered field, нем. angeschlossen beim Addition standard linear geordnete Körper), если для любых четырёх элементов носителя $$b$$ стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ если {упорядоченная пара множеств $$i,j$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$} и {упорядоченная пара множеств $$k,l$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$}, то упорядоченная пара {суммы множеств $$i,k$$} и {суммы множеств $$j,l$$} принадлежит интерпретации символа операции $$\leqslant$$ на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall i \ \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \bigl( (i\in b \ \land \ j\in b) \ \land \ (k\in b \ \land \ l\in b) \bigr) \Rightarrow \Bigl( \bigl( \langle i,j \rangle\in \leqslant_a \ \land \ \langle k,l \rangle\in \leqslant_a \bigr) \Rightarrow \bigr\langle +(i,k), +(j,l) \bigr\rangle\in \leqslant_a \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,\leqslant) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddAssocLinOrdField}(b;\leqslant;+,\cdot)$$.

Согласованное по умножению стандартное линейно упорядоченное поле

 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in e \ \land \ e(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(+\in f \ \land \ e(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in f \ \land \ e(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathrm{LinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле.

Стандартное линейно упорядоченное поле $$a$$ — согласованное по умножению стандартное линейно упорядоченное поле (англ. associated by multiplication standard linearly ordered field, нем. angeschlossen beim Multiplikation standard linear geordnete Körper), если выполняются следующие условия: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall h \quad h\in b \Rightarrow \Bigl( h \neq \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \bigl( \forall i \quad i = \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \bigr) \Bigr)\\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \Bigl( \langle h,i \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl( \forall j \quad j\in b \Rightarrow (\Chi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \land \ \Psi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)) \bigr) \Bigr) \end{cases}\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \langle h,i \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl( \forall j \quad j = \mathrm{Inverse}_{\,\cdot_{\, a}}(h) \Rightarrow \langle j,i \rangle\in \leqslant_a \bigr)\\ \langle i,h \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl( \forall j \quad j = \mathrm{Inverse}_{\,\cdot_{\, a}}(h) \Rightarrow \langle i,j \rangle\in \leqslant_a \bigr)\\ \end{cases}\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \Bigl( \langle j,k \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl\langle \cdot_{\, a}(i,j),\cdot_{\, a}(h,j) \bigr\rangle\in \leqslant_a \Bigr)\\ \Psi(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{Neutral}(+_a) \Rightarrow \Bigl( \langle k,j \rangle\in \leqslant_a \Rightarrow \bigl\langle \cdot_{\, a}(h,j),\cdot_{\, a}(i,j) \bigr\rangle\in \leqslant_a \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{MultAssocLinOrdField}(b;\leqslant;+,\cdot)$$.
 * 1) для любого элемента носителя $$b$$ стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$, который не равен нолю стандартного линейно упорядоченного поля, {если упорядоченная пара множества $$i$$ и ноля стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$, то упорядоченная пара инверсии множества $$i$$ и ноля стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$}, и {если упорядоченная пара ноля стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ и множества $$i$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$, то упорядоченная пара ноля стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ и инверсии множества $$i$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$},
 * 2) для любых двух элементов носителя $$b$$ стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ если упорядоченная пара множеств $$i,j$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$, то для любого элемента носителя $$b$$ стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ справедливы следующие утверждения:
 * 3) если {упорядоченная пара множества $$k$$ и ноля стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$}, то упорядоченная пара {произведения множеств $$j,k$$} и {произведения множеств $$i,k$$} принадлежит интерпретации символа операции $$\leqslant$$ на множестве $$b$$,
 * 4) если {упорядоченная пара ноля стандартного линейно упорядоченного поля $$a$$ и множества $$k$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$b$$}, то упорядоченная пара {произведения множеств $$j,k$$} и {произведения множеств $$i,k$$} принадлежит интерпретации символа операции $$\leqslant$$ на множестве $$b$$:

Согласованное стандартное линейно упорядоченное поле

 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in e \ \land \ e(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(+\in f \ \land \ e(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in f \ \land \ e(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a\in \mathrm{LinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле.

Линейно упорядоченное стандартное поле $$a$$ — согласованное стандартное линейно упорядоченное поле (англ. associated standard linearly ordered field, нем. angeschlossen standard linear geordnete Körper), если стандартное линейно упорядоченное поле $$a$$ является согласованным по сложению стандартным линейно упорядоченным полем и стандартное линейно упорядоченное поле $$a$$ является согласованным по умножению стандартным линейно упорядоченным полем: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddAssocLinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot) \ \land \ a\in \mathrm{MultAssocLinOrdField}(b; \leqslant; +,\cdot) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AssocLinOrdField}(b;\leqslant;+,\cdot)$$.