Подмножество

Подмножество множества

 * $$a,b$$ – множества.

Множество $$a$$ — подмножество (англ. subset, нем. Teilmenge) множества $$b$$, если любой элемент множества $$a$$ является элементом множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in a\Rightarrow c\in b $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subseteq b$$.

Собственное подмножество множества

 * $$a,b$$ – множества

Множество $$a$$ – собственное подмножество (англ. proper subset, нем. echte Teilmenge) множества $$b$$, если множество $$a$$ является подмножеством множества $$b$$ и существует элемент множества $$b$$, не принадлежащий множеству $$a$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subseteq b \;\land\; \bigl( \exists c \quad c\in b \;\land\; ^\neg(c\in a) \bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subset b$$.

Подмножество топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - система множеств,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство.

Множество $$a$$ — подмножество (англ. subset, нем. Teilmenge) топологического пространства $$b$$, если множество $$a$$ является подмножеством носителя $$c$$ топологического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subseteq c $$

Собственное подмножество топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство.

Множество $$a$$ – собственное подмножество (англ. proper subset, нем. echte Teilmenge) топологического пространства $$b$$, если множество $$a$$ является собственным подмножеством носителя $$c$$ топологического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subset c $$

Подмножество метрического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ – множества.
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$n = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$m\in \mathrm{Function}(n,e)$$ - функция,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;m)$$.

Множество $$a$$ — подмножество (англ. subset, нем. Teilmenge) метрического пространства $$b$$, если множество $$a$$ является подмножеством носителя $$c$$ метрического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subseteq c $$

Собственное подмножество метрического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ – множества.
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$n = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$m\in \mathrm{Function}(n,e)$$ - функция,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;m)$$.

Множество $$a$$ – собственное подмножество (англ. proper subset, нем. echte Teilmenge) метрического пространства $$b$$, если множество $$a$$ является собственным подмножеством носителя $$c$$ метрического пространства $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\subset c $$