Векторное пространство

Векторное пространство над полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$l\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$n = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение носителя поля и множества,
 * $$m\in \mathrm{Function}(n,b)$$ - функция,
 * $$a = \langle b,c,l,m \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, поля, бинарной операции и функции.

Упорядоченная четвёрка $$a$$ множества $$b$$, поля $$c$$, бинарной операции $$l$$ на множестве $$b$$ и функции $$m$$, действующей из прямого произведения $$n$$ носителя $$d$$ поля $$c$$ и множества $$b$$ в множество $$b$$ — векторное пространство (или линейное пространство) (англ. vector space, нем. Vektorraum oder linearer Raum) над полем $$c$$ или кратко векторное пространство, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} l\in \mathrm{CommOp}(b)\\ l\in \mathrm{AssocOp}(b)\\ \exists o \quad o\in b \ \land \ o\in \mathrm{Neutral}(l)\\ \forall o \quad o\in b \Rightarrow \Bigl( \ \exists p \quad p\in b \ \land \ p\in \mathrm{Neutral}(l) \ \land \ \bigl(\, \exists q \quad q\in \mathrm{Inversion}_l^p(o) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \forall o \ \forall p \quad (o\in \mathrm{Neutral}(k_c) \ \land \ p\in b) \Rightarrow m(o,p) = p\\ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad (\, o\in d \ \land \ p\in d \ \land \ q\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, m\bigl( o,m(p,q)  \bigr) = m\bigl(  k_c(o,p),q  \bigr) \,\Bigr)\\ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad (\, o\in d \ \land \ p\in d \ \land \ q\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, m\bigl( j_c(o,p),q  \bigr) = l\bigl(  m(o,q),m(p,q)  \bigr) \,\Bigr)\\ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad (\, o\in d \ \land \ p\in b \ \land \ q\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, m\bigl( o,l(p,q)  \bigr) = l\bigl(  m(o,p),m(o,q)  \bigr) \,\Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) бинарная операция $$l$$ является коммутативной операцией на множестве $$b$$;
 * 2) бинарная операция $$l$$ является ассоциативной операцией на множестве $$b$$;
 * 3) существует нейтральный элемент бинарной операции $$l$$;
 * 4) для любого элемента множества $$b$$ существует инверсия данного элемента множества $$b$$ относительно бинарной операции $$l$$ и некоторого её нейтрального элемента;
 * 5) для любого элемента множества $$b$$ значение функции $$m$$ от нейтрального элемента интерпретации символа бинарной операции $$k$$ и данного элемента множества $$b$$ является данным элементом множества $$b$$;
 * 6) для любых двух элементов множества $$d$$ и для произвольного элемента множества $$b$$ значение функции $$m$$ от первого элемента множества $$d$$ и {значения функции $$m$$ от второго элемента множества $$d$$ и данного элемента множества $$b$$} равно значению функции $$m$$ от {значения интерпретации символа операции $$k$$ от первого элемента множества $$d$$ и второго элемента множества $$d$$} и данного элемента множества $$b$$;
 * 7) для любых двух элементов множества $$d$$ и для произвольного элемента множества $$b$$ значение функции $$m$$ от {значения интерпретации символа операции $$j$$ от первого элемента множества $$d$$ и второго элемента множества $$d$$} и данного элемента множества $$b$$ равно значению бинарной операции $$l$$ от {значения функции $$m$$ от первого элемента множества $$d$$ и данного элемента множества $$b$$} и {значения функции $$m$$ от второго элемента множества $$d$$ и данного элемента множества $$b$$};
 * 8) для любого элемента множества $$d$$ и для двух произвольных элементов множества $$b$$ значение функции $$m$$ от данного элемента множества $$d$$ и {значения бинарной операции $$l$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$} равно значению бинарной операции $$l$$ от {значения функции $$m$$ от данного элемента множества $$d$$ и первого элемента множества $$b$$} и {значения функции $$m$$ от данного элемента множества $$d$$ и второго элемента множества $$b$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{VectorSpace}(b,c;l,m)$$.

Связанные статьи
Носитель;

Вектор;

Скаляр;

Сложение векторов;

Умножение вектора на скаляр;

Нормированное векторное пространство.

Векторное пространство со скалярным умножением векторов,

Аффинное пространство.

Кортеж векторных пространств над полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,


 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,


 * $$l = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$m\in l$$ - элемент множества-бесконечности,


 * $$n\in \mathrm{Function}(m, b)$$ - кортеж элементов множества,


 * $$o = \mathrm{Function}\bigl( m,\{c\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением поля,


 * $$p\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^2\bigl( n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж бинарных операций на элементах кортежа элементов множества,


 * $$q = \mathrm{Function}\bigl( m,\{d\} \bigr)$$ - постоянный кортеж со значением носителя поля,
 * $$r = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle q(\epsilon),n(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - прямое произведение координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества,
 * $$s\in \Bigl\langle \mathrm{Function}\bigl( r(\epsilon),n(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж функций, действующих из координат прямого произведения координат постоянного кортежа со значением носителя поля и координат кортежа элементов множества в координаты кортежа элементов множества,


 * $$t = \Bigl\{ \bigl\langle n(\epsilon), o(\vartheta), p(\varkappa), s(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in m \atop \vartheta\in m} \atop {\varkappa\in m \atop \varpi\in m}}$$ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей,
 * $$a\in \mathrm{Function}(m,t)$$ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
 * $$a = \Bigl\langle \bigl\langle n(\epsilon),o(\epsilon),p(\epsilon),s(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$ - кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей.

Кортеж упорядоченных четвёрок $$a$$ координат {кортежа $$n$$ длины $$m$$ элементов множества $$b$$}, {постоянного кортежа $$o$$ длины $$m$$ со значением поля $$c$$}, {кортежа $$p$$ длины $$m$$ бинарных операций на элементах кортежа $$n$$ длины $$m$$ элементов множества $$b$$}, {кортежа $$s$$ функций, действующих из координат прямого произведения $$r$$ координат постоянного кортежа $$q$$ со значением носителя $$d$$ поля $$c$$ и координат кортежа $$n$$ длины $$m$$ элементов множества $$b$$ в координаты кортежа $$n$$ длины $$m$$ элементов множества $$b$$} — кортеж векторных пространств (или кортеж линейных пространств) (англ. tuple of vector spaces, нем. Tuple der Vektorräumen oder Tuple der lineare Räumen) над полем $$c$$ или кратко кортеж векторных пространств, если для произвольного элемента элемента $$m$$ множества-бесконечности $$l$$ $u$-я координата кортежа $$a$$ является векторным пространством над полем $$c$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u\in m \Rightarrow \Phi(a,\ldots,u)\\ \Phi(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \ \forall w \ \forall x \qquad \begin{cases} v = n(u)\\ w = p(u)\\ x = s(u)\\ y = a(u)\\ \end{cases} \Rightarrow y = \mathrm{VectorSpace}(v,c;w,x)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{VectorSpace}\bigl( n(\epsilon),c; p(\epsilon), s(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in m}$$.