Теорема о существовании и единственности пустого множества

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пустого множества.

Тогда существует единственное пустое множество: $$ \begin{cases} \exists a \quad \Upsilon(a) \ \land \ \bigl(\, \forall b \quad \Upsilon(b) \Rightarrow b = a \,\bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ {}^\neg(\exists \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in \mathrm{a})\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы пустого множества следует существование пустого множества : $$ \begin{cases} \exists a \quad \Upsilon(a)\\ \Upsilon(\mathrm{a}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ {}^\neg(\exists \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in \mathrm{a})\\ \end{cases} $$ Построенное множество $$a$$ есть искомое пустое множество. Таким образом, доказано существование пустого множества.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.