Коммутативная операция

Совокупность коммутативных операций на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность коммутативных операций (англ. set of commutative operations, нем. Menge der kommutative Operationen) на множестве $$b$$, если произвольная бинарная операция на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда для двух любых элементов множества $$b$$ значение данного элемента множества $$c$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ равно значению данного элемента множества $$c$$ от второго элемента множества $$b$$ и первого элемента множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Op}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \bigl( \, \forall d \ \forall e \quad (d\in b \ \land \ e\in b) \Rightarrow c(d,e) = c(e,d) \, \bigr) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CommOp}(b)$$.

Коммутативная операция на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — коммутативная операция (англ. commutative operation, нем. kommutative Operation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности коммутативных операций на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{CommOp}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CommOp}(b)$$.