Алгебраическая структура

Алгебраическая структура сигнатуры, образованная множествами

 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \Sigma(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$a = \langle b, c, d \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств.

Упорядоченная тройка $$a$$ множеств $$b,c,d$$ — алгебраическая структура (или алгебраическая система) (англ. algebraic structure, нем. algebraischen Struktur) сигнатуры $$d$$, образованная множествами $$b,c$$, или кратко алгебраическая структура, если множество $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} {}^\neg(b = \varnothing)\\ c\in \mathrm{Function}\bigl(\, e \cup f,\mathrm{Op}(b) \cup \mathrm{Rel}(b) \,\bigr)\\ \forall i \quad \bigl( i\in e \Rightarrow c(i)\in\mathrm{Rel}^{g(i)}(b) \bigr) \ \land \ \bigl( i\in f \Rightarrow c(i)\in\mathrm{Op}^{g(i)}(b) \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) множество $$b$$ непусто;
 * 2) множество $$c$$ является функцией, действующей из объединения множеств $$e,f$$ в {объединение совокупности всех отношений на множестве $$b$$ и совокупности всех операций на множестве $$b$$}, такой, что
 * 3) *значение функции $$c$$ от элемента множества $$e$$ является отношением на множестве $$a$$ с местностью, равной значению функции $$g$$ от данного элемента множества $$e$$,
 * 4) *значение функции $$c$$ от элемента множества $$f$$ является операцией на множестве $$a$$ с местностью, равной значению функции $$g$$ от данного элемента множества $$f$$,:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d) $$.

Связанные определения
Носитель;

Функция интерпретации.

Таким образом, алгебраическую структуру сигнатуры $$d$$, образованную множествами $$b,c$$, будем также называть алгебраической структурой сигнатуры $$d$$ с носителем $$b$$ и функцией интерпретации $$c$$ или кратко алгебраической структурой сигнатуры $$d$$ (или алгебраической структурой).

Примеры
Упорядоченная структура;

Линейно упорядоченная структура;

Вполне упорядоченная структура;

Полугруппа;

Моноид;

Группа;

Кольцо;

Тело;

Поле.