Теорема о нормировании векторного пространства со скалярным умножением векторов

Пусть


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$q = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b\rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$q\in \mathrm{Function}(r,d)$$ - функция,
 * $$a = \langle p,q \rangle$$ - упорядоченная пара множеств,
 * $$a = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,q)$$ - векторное пространство со скалярным умножением векторов,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля,

тогда упорядоченная пара векторного пространства $$p$$ и функционала векторного пространства $$p$$, такой, что для любого вектора векторного пространства со скалярным умножением векторов $$a$$ значение функционала $$t$$ от вектора $$u$$ равно скалярному произведению векторов $$u,u$$, является нормированным векторным пространством: $$ \begin{cases} \forall a \ \ldots \ \forall s \qquad \begin{cases} f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)\\ \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}\\ j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}\\ l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}\\ c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)\\ c\in \mathrm{Field}(d;j,k)\\ c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)\\ m\in \mathrm{Op}^2(b)\\ o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b\rangle)\\ n\in \mathrm{Function}(o,b)\\ p = \langle b,c,m,n \rangle\\ p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)\\ r = \mathrm{CartPower}^2(b)\\ q\in \mathrm{Function}(r,d)\\ a = \langle p,q \rangle\\ a = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,q)\\ s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}\\ \end{cases} \Rightarrow \Upsilon(a,\ldots,s)\\ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall t \quad t\in \mathrm{Functional}(p) \Rightarrow \Bigl( \ \Phi(a,\ldots,t) \Rightarrow \bigl(\, \forall u \quad u = \langle p,t \rangle \Rightarrow u = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,t) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \quad u\in b \Rightarrow t(u) = q(u,u)\\ \end{cases} $$

Связанные статьи
Нормированное векторное пространство со скалярным умножением векторов.