Оператор

Совокупность операторов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность операторов (англ. set of operators, нем. Menge von Operatoren) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ является совокупностью функций, действующих из носителя $$c$$ векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ в носитель $$c$$ векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(c,c) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Operator}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность функционалов векторного пространства.

Оператор векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — оператор (англ. operator, нем. Operator) векторного пространства $$b$$ или кратко оператор, если множество $$a$$ является элементом совокупности операторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{Operator}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Operator}(b)$$.

Связанные определения
Функционал векторного пространства.

Совокупность однородных операторов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность однородных операторов (англ. set of homogeneous operators, нем. Menge von homogen Operatoren) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ состоит из операторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что для любого скаляра векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ и для любого вектора векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ значение данного оператора от {значения функции $$n$$ от скаляра $$q$$ и вектора $$r$$} равно значению функции $$n$$ от скаляра $$q$$ и {значения данного оператора от вектора $$r$$}: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in \mathrm{Operator}(b) \ \land \ \Bigl(\, \forall q \ \forall r \quad (q\in e \ \land \ r\in c) \Rightarrow p\bigl( n(q,r) \bigr) = n\bigl( q,p(r) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{HomOperator}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность однородных функционалов векторного пространства.

Однородный оператор векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — однородный оператор (англ. homogeneous operator, нем. homogene Operator) векторного пространства $$b$$ или кратко однородный оператор, если множество $$a$$ является элементом совокупности однородных операторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{HomOperator}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{HomOperator}(b)$$.

Связанные определения
Однородный функционал векторного пространства.

Совокупность аддитивных операторов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность аддитивных операторов (англ. set of additive operators, нем. Menge von additiv Operatoren) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ состоит из операторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что для любых двух векторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ значение данного оператора от {значения операции $$m$$ от вектора $$q$$ и вектора $$r$$} равно значению операции $$m$$ от {значения данного оператора от вектора $$q$$} и {значения данного оператора от вектора $$r$$}: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in \mathrm{Operator}(b) \ \land \ \Bigl(\, \forall q \ \forall r \quad (q\in c \ \land \ r\in c) \Rightarrow p\bigl( m(q,r) \bigr) = m\bigl( p(q),p(r) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AddOperator}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность аддитивных функционалов векторного пространства.

Аддитивный оператор векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — аддитивный оператор (англ. additive operator, нем. additive Operator) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности аддитивных операторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{AddOperator}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddOperator}(b)$$.

Связанные определения
Аддитивный функционал векторного пространства.

Совокупность линейных операторов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность линейных операторов (англ. set of linear operators, нем. Menge von lineare Operatoren) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ состоит из операторов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что данные операторы являются однородными операторами векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ и аддитивными операторами векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in \mathrm{Operator}(b) \ \land \ \bigl(\, p\in \mathrm{HomOperator}(b) \ \land \ p\in \mathrm{AddOperator}(b) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinOperator}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность линейных функционалов векторного пространства.

Линейный оператор векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p = \mathrm{LinOperator}(b)$$ - совокупность линейных операторов,
 * $$a\in p$$ - элемент совокупности линейных операторов.

Элемент $$a$$ совокупности линейных операторов $$p$$ — линейный оператор (англ. linear operator, нем. linearer Operator) векторного пространства $$b$$ или кратко линейный оператор.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOperator}(b)$$.

Связанные определения
Линейный функционал векторного пространства.