Теорема о свойствах подпространства векторного пространства, порождённого множеством

Пусть тогда упорядоченная четвёрка $$a$$ множеств $$p,d,q,s$$ является векторным пространством: $$ \forall a \ \ldots \ \forall s \qquad \begin{cases} g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)\\ k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}\\ d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)\\ d\in \mathrm{Field}(e;k,l)\\ m\in \mathrm{Op}^2(c)\\ o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)\\ n\in \mathrm{Function}(o,c)\\ b = \langle c,d,m,n \rangle\\ b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)\\ p\subseteq c\\ q\in \mathrm{Op}^2(p)\\ s = \mathrm{CartProd}(\langle e,p \rangle)\\ r\in \mathrm{Function}(s,p)\\ a = \langle p,d,q,r \rangle\\ a = \mathrm{Subspace}_b(p,d;q,s)\\ \end{cases} \Rightarrow a = \mathrm{VectorSpace}(p,d;q,s) $$
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p\subseteq c$$ - подмножество носителя,
 * $$q\in \mathrm{Op}^2(p)$$ - бинарная операция,
 * $$s = \mathrm{CartProd}(\langle e,p \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$r\in \mathrm{Function}(s,p)$$ - функция,
 * $$a = \langle p,d,q,r \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$a = \mathrm{Subspace}_b(p,d;q,s)$$ - подпространство векторного пространства, порождённое множеством,