Множество вещественных чисел

Из теоремы о свойствах отношения структуры вещественных чисел и теоремы о разбиении множества на классы эквивалентности следует:


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$e = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$i = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{o}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{o}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$f = \mathrm{AlgStruct}(g,h,i)$$ - алгебраическая структура,
 * $$f\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$g = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$k = \mathrm{CartPower}^2(g)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$j = \mathrm{AlgStruct}(k,l,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$j\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$q = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$m = g\setminus\{\, \mathfrak{o}_f \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle k,m \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$n = \mathrm{AlgStruct}(o,p,q)$$ - алгебраическая структура,
 * $$s = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$r = n\bigr|_s$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$r\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$n\in \mathrm{LinOrdStruct}(o;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$n\in \mathrm{Group}(o;+)$$ - группа,
 * $$u = \left|\circ\right|_{+_n}^{\leq_n}$$ - операция взятия модуля,
 * $$v = \mathrm{DistanceOp}_u^n(o)$$ - операция расстояния,
 * $$t = \langle o,n,v \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$t = \mathrm{MetricSpace}(o,n;v)$$ - метрическое пространство,
 * $$c = \mathrm{CauchySequence}_g^t(o)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathfrak{R}$$ - структура вещественных чисел.

Множество $$a$$ — множество вещественных чисел (англ. set of real numbers, нем. Menge der reellen Zahlen), если множество $$a$$ является фактор-множеством множества $$c$$ по интерпретации символа отношения $$\sim$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{QuotientSet}_{\sim_b}(c) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathbb{R}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathbb{R}$$.

Замечание
Так как сужение арифметики вещественных чисел до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой вещественных чисел, фактор-множество носителя арифметики вещественных чисел по интерпретации символа отношения $$\sim$$ на данном носителе будем также называть множеством вещественных чисел.