Вещественное число


 * $$b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$j = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{o}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{o}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$g = \mathrm{AlgStruct}(h,i,j)$$ - алгебраическая структура,
 * $$g\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$h = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$l = \mathrm{CartPower}^2(h)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$k = \mathrm{AlgStruct}(l,m,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$k\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$r = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\}$$ - сигнатура,
 * $$n = h\setminus\{\, \mathfrak{o}_g \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$p = \mathrm{CartProd}(\langle l,n \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$o = \mathrm{AlgStruct}(p,q,r)$$ - алгебраическая структура,
 * $$t = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$s = o\bigr|_t$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$s\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$o\in \mathrm{LinOrdStruct}(p;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$o\in \mathrm{Group}(p;+)$$ - группа,
 * $$v = \left|\circ\right|_{+_o}^{\leq_o}$$ - операция взятия модуля,
 * $$w = \mathrm{DistanceOp}_v^o(p)$$ - операция расстояния,
 * $$u = \langle p,o,w \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$u = \mathrm{MetricSpace}(p,o;w)$$ - метрическое пространство,
 * $$d = \mathrm{CauchySequence}_h^u(p)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$c\in \mathfrak{R}$$ - структура вещественных чисел,
 * $$b = \mathbb{R}$$ - множество вещественных чисел.

Множество $$a$$ — вещественное число (англ. real number, нем.  reelle Zahl), если множество $$a$$ является элементом множества вещественных чисел $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,w) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in b $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,w) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathbb{R}$$.

Замечание
Так как сужение арифметики вещественных чисел до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой вещественных чисел, элемент фактор-множества носителя арифметики вещественных чисел по интерпретации символа отношения $$\sim$$ на данном носителе будем также называть вещественным числом.