Ограниченное отображение

Совокупность ограниченных отображений, действующих из нормированного векторного пространства в нормированное векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{Functional}(p)$$ - функционал,
 * $$q = \langle p,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$q = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$u\in \mathrm{Op}^2(t)$$ - бинарная операция,
 * $$w = \mathrm{CartProd}(\langle d,t \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$v\in \mathrm{Function}(w,t)$$ - функция,
 * $$s = \langle t,c,u,v \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$s = \mathrm{VectorSpace}(t,c;u,v)$$ - векторное пространство,
 * $$y = \mathrm{Functional}(s)$$ - функционал,
 * $$x = \langle s,y \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$x = \mathrm{NormedVectorSpace}(t,c;u,v,y)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$z = \mathrm{Map}(p,s)$$ - совокупность отображений,
 * $$a\subseteq z$$ - подмножество совокупности отображений.

Множество $$a$$ — совокупность ограниченных отображений (англ. set of bounded maps, нем. Menge von beschränkte Abbildungen), действующих из нормированного векторного пространства $$q$$ в нормированное векторного пространство $$x$$, или кратко совокупность ограниченных отображений, если для любого элемента множества $$a$$ существует элемент носителя $$d$$ линейно упорядоченного поля $$c$$ такой, что для произвольного вектора нормированного векторного пространства $$q$$ упорядоченная пара нормы {значения отображения $$\alpha$$ от вектора $$\gamma$$} и {значения интерпретации символа операции $$k$$ на множестве $$d$$ от множества $$\beta$$ и нормы вектора $$\gamma$$} принадлежит интерпретации символа отношения $$l$$ на множестве $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,z) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \alpha \quad \alpha\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists \beta \quad \beta\in d \ \land \ \Bigl(\, \forall \gamma \quad \gamma\in b \Rightarrow \Bigl\langle y\bigl( \alpha(\gamma) \bigr),k_d\bigl( \beta,r(\gamma) \bigr) \Bigr\rangle\in l_d \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{BoundedMap}(q,x)$$.

Связанные статьи
Совокупность ограниченных операторов.

Ограниченное отображение, действующее из нормированного векторного пространства в нормированное векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{Functional}(p)$$ - функционал,
 * $$q = \langle p,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$q = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$u\in \mathrm{Op}^2(t)$$ - бинарная операция,
 * $$w = \mathrm{CartProd}(\langle d,t \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$v\in \mathrm{Function}(w,t)$$ - функция,
 * $$s = \langle t,c,u,v \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$s = \mathrm{VectorSpace}(t,c;u,v)$$ - векторное пространство,
 * $$y = \mathrm{Functional}(s)$$ - функционал,
 * $$x = \langle s,y \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$x = \mathrm{NormedVectorSpace}(t,c;u,v,y)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$z = \mathrm{Map}(p,s)$$ - совокупность отображений,
 * $$\alpha\subseteq z$$ - подмножество совокупности отображений.
 * $$\alpha = \mathrm{BoundedMap}(q,x)$$ - совокупность ограниченных отображений,
 * $$a\in \alpha$$ - элемент совокупность ограниченных отображений.

Множество $$a$$ — ограниченное отображение (англ. bounded map, нем. beschränkte Abbildung), действующее из нормированного векторного пространства $$q$$ в нормированное векторного пространство $$x$$, или кратко ограниченное отображение.

Связанные статьи
Ограниченный оператор.