Антисимметричное отношение

Совокупность антисимметричных отношений на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность антисимметричных отношений (англ. set of antisymmetric relations, нем. Menge der antisymmetrische Relationen) на множестве $$b$$, если произвольное бинарное отношение на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда пересечение бинарного отношения $$c$$ и {обратного отношения к бинарному отношению $$c$$} является подмножеством диагонали множества $$b$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \bigl(\, c\in a \Leftrightarrow \Phi(a,b,c) \,\bigr)\\ \Phi(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \mathrm{InvRel}(c) \Rightarrow \Bigl( \ \forall e \quad e = c \cap d \Rightarrow \bigl(\, \forall f \quad f = \mathrm{Diagonal}(b) \Rightarrow e\subseteq f \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AntisymRel}(b)$$.

Антисимметричное отношение на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — антисимметричное отношение (англ. antisymmetric relation, нем. antisymmetrische Relation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности антисимметричных отношений на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{AntisymRel}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AntisymRel}(b)$$.