Арифметика комплексных чисел

Из теоремы о свойствах арифметики вещественных чисел следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z$$ - множества,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$n = \mathrm{CartPower}^2(j)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$m = \mathrm{AlgStruct}(n,o,p)$$ - алгебраическая структура,
 * $$m\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$u = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$q = j\setminus\{\, \mathfrak{s}_e \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$s = \mathrm{CartProd}(\langle n,q \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$r = \mathrm{AlgStruct}(s,t,u)$$ - алгебраическая структура,
 * $$w = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$v = r\bigr|_w$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$v\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$r\in \mathrm{LinOrdStruct}(s;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$r\in \mathrm{Group}(s;+)$$ - группа,
 * $$y = \left|\circ\right|_{+_r}^{\leq_r}$$ - операция взятия модуля,
 * $$z = \mathrm{DistanceOp}_y^r(s)$$ - операция расстояния,
 * $$x = \langle s,r,z \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$x = \mathrm{MetricSpace}(s,r;z)$$ - метрическое пространство,
 * $$f = \mathrm{CauchySequence}_j^x(s)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{R})$$ - арифметика вещественных чисел,
 * $$f = \mathbb{R}$$ - множество вещественных чисел,
 * $$d = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \ast, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \ast,1_\omega \rangle, \langle +,2_\omega \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\omega \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$b = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ - декартов квадрат множества вещественных чисел,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — арифметика комплексных чисел (англ. arithmetic of complex numbers, нем. Arithmetik der komplexen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,z) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall \alpha \quad \alpha = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing, \{\, \ast \,\}, \bigl\{\, \langle \ast, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_\alpha\in \mathfrak{C}\\ \forall \alpha \ \forall \beta \quad (\alpha\in b \ \land \ \beta\in b) \Rightarrow \Bigl( \forall \gamma \ \forall \delta \ \forall \varepsilon \ \forall \zeta \quad \bigl( \alpha = \langle \gamma,\delta \rangle \ \land \ \beta = \langle \varepsilon,\zeta \rangle \bigr) \Rightarrow +_a(\alpha,\beta) = \bigl\langle +_e(\gamma,\varepsilon), +_e(\delta,\zeta) \bigr\rangle \Bigr)\\ \forall \alpha \ \forall \beta \quad (\alpha\in b \ \land \ \beta\in b) \Rightarrow \Biggl( \forall \gamma \ \forall \delta \ \forall \varepsilon \ \forall \zeta \quad \bigl( \alpha = \langle \gamma,\delta \rangle \ \land \ \beta = \langle \varepsilon,\zeta \rangle \bigr) \Rightarrow \Bigl( \exists \eta \quad \eta\in \mathrm{Inverse}_{+_e}\bigl( \,\cdot_{\ e}(\delta,\zeta) \bigr) \ \land \ \,\cdot_{\ a}(\alpha,\beta) = \bigl\langle +_e\bigl( \,\cdot_{\ e}(\gamma,\varepsilon), \eta \bigr), +_e\bigl( \,\cdot_{\ e}(\gamma,\zeta),\,\cdot_{\ e}(\delta,\varepsilon) \bigr) \bigr\rangle \Bigr) \Biggr) \end{cases} $$
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing, \{\, \ast \,\}, \bigl\{\, \langle \ast, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой комплексных чисел,
 * 2) для двух произвольных элементов носителя $$b$$ алгебраической структуры $$a$$ сумма упорядоченной пары множеств $$\alpha,\beta$$ равна упорядоченной паре суммы вещественных чисел $$\gamma,\varepsilon$$ и суммы вещественных чисел $$\delta,\zeta$$,
 * 3) для двух произвольных элементов носителя $$b$$ алгебраической структуры $$a$$ произведение упорядоченной пары множеств $$\alpha,\beta$$ равно упорядоченной паре {суммы {произведения вещественных чисел $$\gamma,\varepsilon$$} и {некоторой инверсии относительно сложения на множестве вещественных чисел $$f$$ и некоторого его нейтрального элемента произведения вещественных чисел $$\delta,\zeta$$}} и {суммы {произведения вещественных чисел $$\gamma,\zeta$$} и {произведения вещественных чисел $$\delta,\varepsilon$$}}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,z) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{C})$$.