Бесконечномерное векторное пространство

Бесконечномерное векторное пространство над полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$l\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$n = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$m\in \mathrm{Function}(n,b)$$ - функция.
 * $$a = \mathrm{VectorSpace}(b,c;l,m)$$ - векторное пространство.

Векторное пространство $$a$$ — бесконечномерное векторное пространство (англ. infinite-dimensional vector space, нем. unendlichdimensionalen Vektorraum) над полем $$d$$ или кратко бесконечномерное векторное пространство, если для любого базиса векторного пространства $$a$$ над полем $$c$$ и для произвольного элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$ каждый кортеж длины $$p$$ элементов базиса $$o$$ не является биекцией, действующей из множества $$p$$ в базис $$o$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \quad o\in \mathrm{Basis}(a) \Rightarrow \Bigl( \ \forall p \quad p\in \mathrm{N} \Rightarrow \bigr(\, \forall q \quad q\in \mathrm{Function}(p,o) \Rightarrow {}^\neg(q\in \mathrm{Bijection}(p,o)) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{InfDimVectorSpace}(b,c;l,m)$$.

Связанные определения
Конечномерное векторное пространство.