Аксиома схемы замещения

Аксиома схемы замещения
Аксиома схемы замещения (аксиома схемы замены, аксиома схемы преобразования) (англ. axiom schema of replacement, нем. Axiom Schema der Ersetzung) — следующее высказывание теории множеств:

для любого множества и любого двухместного предиката такого, что для любого элемента множества $$a$$ существует единственное удовлетворяющее предикату $$\Phi$$ множество, существует множество, для произвольного элемента которого найдётся элемент множества $$a$$ такой, что данный элемент множества $$a$$ и данный элемент данного множества удовлетворяют предикату $$\Phi$$: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} \Upsilon & \stackrel{\mathrm{def}}{=} & \forall a \ \forall \Phi \quad \Phi\in\mathrm{Pred}^2 \Rightarrow \bigl(\, \mathrm{X}(a,\Phi) \Rightarrow \Psi(a,\Phi) \,\bigr)\\ \mathrm{X}(\mathrm{a},\Phi) & \stackrel{\mathrm{def}}{=} & \forall \mathrm{b} \quad \mathrm{b}\in \mathrm{a} \Rightarrow \Bigl( \ \exists \mathrm{c} \quad \Phi(\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \land \ \bigl(\, \forall \mathrm{d} \quad \Phi(\mathrm{b},\mathrm{d}) \Rightarrow \mathrm{c} = \mathrm{d} \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Psi(\mathrm{a},\Phi) & \stackrel{\mathrm{def}}{=} & \exists \mathrm{b} \quad \Bigl( \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow \bigl(\, \exists \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{a} \ \land \ \Phi(\mathrm{d},\mathrm{c}) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{array} \right. $$