Отношение коллинеарности векторов

Отношение коллинеарности векторов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$a\in \mathrm{Rel}^2(c)$$ - бинарное отношение на носителе векторного пространства.

Бинарное отношение $$a$$ на носителе $$c$$ векторного пространства $$b$$ — отношение коллинеарности (англ. collinearity relation, нем. Kollinearitätsrelation) векторов векторного пространства $$b$$ или кратко отношение коллинеарности векторов, если для любых двух векторов векторного пространства $$b$$ упорядоченная пара векторов $$p,q$$ принадлежит отношению $$a$$ тогда и только тогда, когда существует скаляр векторного пространства $$b$$ такой, что вектор $$p$$ равен произведению вектора $$q$$ на скаляр $$s$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \ \forall q \quad (p\in c \ \land \ q\in c) \Rightarrow \Bigl( \ \forall r \quad r = \langle p,q \rangle \Rightarrow \bigl(\, r\in a \Leftrightarrow ( \exists s \quad s\in e \ \land \ p = n(s,q) ) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \,\parallel_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \,\parallel$$.

Связанные статьи
Теорема о свойствах отношения коллинеарности векторов;

Прямая.