Дифференцируемое отображение

Совокупность дифференцируемых в точке отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta,\theta$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$x\in \mathrm{Op}^2(w)$$ - бинарная операция,
 * $$z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$y\in \mathrm{Function}(z,b)$$ - функция,
 * $$\alpha = \langle w,c,x,y \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$\alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y)$$ - векторное пространство,
 * $$\beta\in \mathrm{Functional}(\alpha)$$ - функционал,
 * $$\gamma = \langle \alpha,\beta \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$\gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$\delta = \mathrm{CartPower}^2(w)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$\varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d)$$ - функция,
 * $$\zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$\zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$\eta = \mathrm{Map}(q,\alpha)$$ - совокупность отображений,
 * $$a\subseteq \eta$$ - подмножество совокупности отображений,
 * $$\theta\in b$$ - точка метрического нормированного векторного пространства.

Множество $$a$$ — совокупность дифференцируемых в точке $$\theta$$ отображений (англ. set of differentiable at point $$\theta$$ maps, нем. Menge von differenzierbar im Punkt $$\theta$$ Abbildungen), действующих из метрического нормированного векторного пространства $$t$$ в метрическое нормированное векторного пространство $$\zeta$$, или кратко совокупность дифференцируемых в точке $$\theta$$ отображений, если для любого элемента множества $$a$$ существуют ограниченное линейное отображение и отображение, удовлетворяющие следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,\theta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \iota \quad \iota\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists \kappa \ \exists \lambda \quad \Bigl(\, \bigl( \kappa\in \mathrm{LinMap}(q,\alpha) \ \land \ \kappa\in \mathrm{BoundedMap}(p,\gamma) \bigr) \ \land \ \lambda\in \mathrm{Map}(q,\alpha) \,\Bigr) \ \land \ \bigl( \forall \mu \quad \mu\in b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,\mu) \bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,\mu) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \iota\bigl(m(\theta,\mu)\bigr) = x\Bigl( x\bigl( \iota(\theta),\kappa(\mu) \bigr),\lambda(\mu) \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall \nu \quad \Bigl(\, \nu\in \mathrm{Map}(q,\alpha) \ \land \ \bigl( \forall \xi \quad \xi\in b \Rightarrow \Chi(a,\ldots,\xi) \bigr) \,\Bigr) \Rightarrow \lim\limits_{\epsilon\to \vec{0}_t} \nu(\epsilon) = \vec{0}_\zeta \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,\xi) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \pi \ \exists \rho \quad \Bigl(\, \pi\in \mathrm{Neutral}(k_d) \ \land \ \rho\in\mathrm{Inversion}_{k_d}^\pi\bigl( r(\xi) \bigr) \,\Bigr) \ \land \ \nu(\xi) = y\bigl( \rho,\lambda(\xi) \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) для произвольной точки метрического нормированного векторного пространства $$t$$ значение отображения $$\iota$$ от суммы векторов $$\theta,\mu$$ равно сумме {суммы значения отображения $$\iota$$ в точке $$\theta$$ и значения отображения $$\kappa$$ в точке $$\mu$$} и значения отображения $$\lambda$$ в точке $$\mu$$;
 * 2) предел произвольного отображения такого, что для любой точки метрического нормированного пространства $$t$$ значение отображения $$\nu$$ в точке $$\xi$$ равно {произведению {значения отображения $$\lambda$$ в точке $$\xi$$} на инверсию {нормы вектора $$\xi$$} относительно интерпретации символа бинарной операции $$k$$ на множестве $$d$$ и некоторого её нейтрального элемента}, в нулевом векторе метрического нормированного векторного пространства $$t$$ равен нулевому вектору метрического нормированного векторного пространства $$\zeta$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,\theta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DifferentiableMap}_\theta(t,\zeta)$$.

Дифференцируемое в точке отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta,\theta,\iota$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$x\in \mathrm{Op}^2(w)$$ - бинарная операция,
 * $$z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$y\in \mathrm{Function}(z,b)$$ - функция,
 * $$\alpha = \langle w,c,x,y \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$\alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y)$$ - векторное пространство,
 * $$\beta\in \mathrm{Functional}(\alpha)$$ - функционал,
 * $$\gamma = \langle \alpha,\beta \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$\gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$\delta = \mathrm{CartPower}^2(w)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$\varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d)$$ - функция,
 * $$\zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$\zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$\eta = \mathrm{Map}(q,\alpha)$$ - совокупность отображений,
 * $$\theta\subseteq \eta$$ - подмножество совокупности отображений,
 * $$\iota\in b$$ - точка метрического нормированного векторного пространства,
 * $$\theta = \mathrm{DifferentiableMap}_\iota(t,\zeta)$$ - совокупность дифференцируемых в точке отображений,
 * $$a\in \theta$$ - элемент совокупности дифференцируемых в точке отображений.

Множество $$a$$ — дифференцируемое в точке $$\iota$$ отображение (англ. differentiable at point $$\iota$$ map, нем. differenzierbar im Punkt $$\iota$$ Abbildung), действующее из метрического нормированного векторного пространства $$t$$ в метрическое нормированное векторное пространство $$\zeta$$, или кратко дифференцируемое в точке $$\iota$$ отображение.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,\iota) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DifferentiableMap}_\iota(t,\zeta)$$.

Совокупность дифференцируемых отображений, действующих из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$x\in \mathrm{Op}^2(w)$$ - бинарная операция,
 * $$z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$y\in \mathrm{Function}(z,b)$$ - функция,
 * $$\alpha = \langle w,c,x,y \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$\alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y)$$ - векторное пространство,
 * $$\beta\in \mathrm{Functional}(\alpha)$$ - функционал,
 * $$\gamma = \langle \alpha,\beta \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$\gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$\delta = \mathrm{CartPower}^2(w)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$\varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d)$$ - функция,
 * $$\zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$\zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$\eta = \mathrm{Map}(q,\alpha)$$ - совокупность отображений,
 * $$a\subseteq \eta$$ - подмножество совокупности отображений.

Множество $$a$$ — совокупность дифференцируемых отображений (англ. set of differentiable maps, нем. Menge von differenzierbar Abbildungen), действующих из метрического нормированного векторного пространства $$t$$ в метрическое нормированное векторное пространство $$\zeta$$, или кратко совокупность дифференцируемых отображений, если для любого элемента множества $$a$$ и для каждой точки метрического нормированного векторного пространства $$t$$ отображение $$\theta$$ является дифференцируемым в точке $\iota$ отображением: $$ \Upsilon(a,\ldots,\eta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \theta \quad \theta\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall \iota \quad \iota\in b \Rightarrow \theta\in \mathrm{DifferentiableMap}_\iota(t,\zeta) \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,\theta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DifferentiableMap}(t,\zeta)$$.

Дифференцируемое отображение, действующее из метрического нормированного векторного пространства в метрическое нормированное векторное пространство

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta,\eta,\theta,\iota$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$x\in \mathrm{Op}^2(w)$$ - бинарная операция,
 * $$z = \mathrm{CartProd}(\langle d,w \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$y\in \mathrm{Function}(z,b)$$ - функция,
 * $$\alpha = \langle w,c,x,y \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$\alpha = \mathrm{VectorSpace}(w,c;x,y)$$ - векторное пространство,
 * $$\beta\in \mathrm{Functional}(\alpha)$$ - функционал,
 * $$\gamma = \langle \alpha,\beta \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$\gamma = \mathrm{NormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$\delta = \mathrm{CartPower}^2(w)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$\varepsilon\in \mathrm{Function}(\delta,d)$$ - функция,
 * $$\zeta = \langle \gamma,\varepsilon \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$\zeta = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(w,c;x,y,\beta,\varepsilon)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$\eta = \mathrm{Map}(q,\alpha)$$ - совокупность отображений,
 * $$\theta\subseteq \eta$$ - подмножество совокупности отображений,
 * $$\theta = \mathrm{DifferentiableMap}(t,\zeta)$$ - совокупность дифференцируемых в точке отображений,
 * $$a\in \theta$$ - элемент совокупности дифференцируемых отображений.

Множество $$a$$ — дифференцируемое отображение (англ. differentiable map, нем. differenzierbar Abbildung), действующее из метрического нормированного векторного пространства $$t$$ в метрическое нормированное векторное пространство $$\zeta$$, или кратко дифференцируемое отображение.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,\iota) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DifferentiableMap}(t,\zeta)$$.