Метрическое пространство

Метрическое пространство над линейно упорядоченной группой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,m,l$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j \in g \ \land \ h(j) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения сигнатуры,
 * $$k \in h \ \land \ h(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции сигнатуры,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c \in \mathrm{LinOrdGroup}(d;j,k)$$ - линейно упорядоченная группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$l\in \mathrm{Function}(m,d)$$ - функция,
 * $$a = \langle b,c,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множества, линейно упорядоченной группы и функции.

Упорядоченная тройка $$a$$ множества $$b$$, линейно упорядоченной группы $$c$$ и функции $$l$$, действующей из декартова квадрата $$m$$ множества $$b$$ в носитель $$d$$ линейно упорядоченной группы $$c$$ — метрическое пространство (англ. metric space, нем. metrischer Raum) над линейно упорядоченной группой $$c$$ или кратко метрическое пространство, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall n \ \forall o \quad (n\in b \ \land \ o\in b) \Rightarrow \bigl( \, (\exists p \quad p\in \mathrm{Neutral}(k_c) \ \land \ p = l(n,o)) \Leftrightarrow n = o \, \bigr)\\ \forall n \ \forall o \quad (n\in b \ \land \ o\in b) \Rightarrow \bigl( \, \forall p \quad p\in \mathrm{Neutral}(k_c) \Rightarrow \bigl\langle l(n,o), p \bigr\rangle \in j_c \,\bigr)\\ \forall n \ \forall o \quad (n\in b \ \land \ o\in b) \Rightarrow l(n,o) = l(o,n)\\ \forall n \ \forall o \ \forall p \quad \bigl(\, (n\in b \ \land \ o\in b ) \ \land \ p\in b \,\bigr) \Rightarrow \bigl\langle l(n,p),k_c (l(n,o),l(o,p)) \bigr\rangle \in j_c\\ \end{cases} $$
 * 1) для любых двух элементов множества $$b$$ значение функции $$l$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $$k$$ тогда и только тогда, когда первый элемент множества $$b$$ равен второму элементу множества $$b$$;
 * 2) для любых двух элементов множества $$b$$ упорядоченная пара {произвольного нейтрального элемента интерпретации символа бинарной операции $$k$$} и {значение функции $$l$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$} принадлежит интерпретации символа отношения $$j$$;
 * 3) для любых двух элементов множества $$b$$ значение функции $$l$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ равно значению функции $$l$$ от второго элемента множества $$b$$ и первого элемента множества $$b$$;
 * 4) для любых трёх элементов множества $$b$$ упорядоченная пара {значения функции $$l$$ от первого элемента множества $$b$$ и третьего элемента множества $$b$$} и {значения интерпретации символа операции $$k$$ от {значения функции $$l$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$} и {значения функции $$l$$ от второго элемента множества $$b$$ и третьего элемента множества $$b$$}} принадлежит интерпретации символа отношения $$j$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MetricSpace}(b,c;l)$$.