Операция

Совокупность операций на множестве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d\in c$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — совокупность $$d$$-местных операций (или совокупность $$d$$-арных операций) (англ. set of $$d$$-place operations or set of $$d$$-ary operations, нем. Menge der $$d$$-stellige Operationen oder Menge der $$d$$-äre Operationen) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ состоит из функций, действующими из $d$-ой декартовой степени множества $$b$$ в множество $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall f \quad f = \mathrm{CartPower}^d(b) \Rightarrow e\in \mathrm{Function}(f,b) \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Op}^d(b)$$.

Операция на множестве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d\in c$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — $$d$$-местная операция (или $$d$$-арная операция) (англ. $$d$$-place operation or $$d$$-ary operation, нем. $$d$$-stellige Operation oder $$d$$-äre Operation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности $d$-местных операций на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a, b, c, d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{Op}^d(b) \Rightarrow a\in e $$

Обозначим $$ \Upsilon(a, b, c, d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Op}^d(b)$$.

Замечание
Всюду, где не будет оговорено, под $$0_\mathrm{N}$$-местной операцией на множестве $$b$$ будем понимать значение данной $$0_\mathrm{N}$$-местной операции.

Связанные определения
Местность операции.

Таким образом, $$d$$-местную операцию на множестве $$b$$ будем также называть операцией на множестве $$b$$ местности $$d$$.

Примеры
Операция на множестве $$b$$ местности $$0_\mathrm{N}$$ — константа (или постоянная) (англ. constant, нем. konstant) множества $$b$$ или кратко константа.

Операция на множестве $$b$$ местности $$1_\mathrm{N}$$ — одноместная (или унарная) операция (англ. unary operation, нем. unäre Operation) на множестве $$b$$ или кратко одноместная операция.

Операция на множестве $$b$$ местности $$2_\mathrm{N}$$ — двухместная (или бинарная) операция (англ. binary operation, нем. binäre Operation) на множестве $$b$$ или кратко двухместная операция.

Операция на множестве $$b$$ местности $$3_\mathrm{N}$$ — трёхместная (или тернарная) операция (англ. ternary operation, нем. ternäre Operation) на множестве $$b$$ или кратко трёхместная операция.

Совокупность всех операций на множестве

 * $$a,b,c$$ – множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность.

Множество $$a$$ — совокупность всех операций (англ. set of all operations, нем. Menge der aller Operationen) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ состоит из совокупностей операций на множестве $$b$$ некоторой местности: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \bigr( \exists e \quad e\in c \ \land \ d\in\mathrm{Op}^e(b) \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Op}(b)$$.

Связанные статьи
Коммутативная операция;

Ассоциативная операция;

Дистрибутивная операция;

Теорема о существовании совокупности операций на множестве;

Теорема о существовании совокупности всех операций на множестве.

Совокупность операций на элементах кортежа элементов множества

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d,e\in c$$ - элементы множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(d,b)$$ - кортеж элементов множества.

Множество $$a$$ — совокупность $$e$$-местных операций (англ. set of $$e$$-place operations, нем. Menge der $$e$$-stellige Operationen) на элементах кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$, если множество $$a$$ состоит из множеств таких, что множество $$g$$ является $$e$$-местной операцией на некоторой координате кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists h \quad h\in d \ \land \ \bigl( \forall i \quad i = f(h) \Rightarrow g\in \mathrm{Op}^e(i) \bigr) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup\limits_{\epsilon\in d} \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr)$$.

Совокупность кортежей операций на элементах кортежа элементов множества

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d,e\in c$$ - элементы множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(d,b)$$ - кортеж элементов множества.

Множество $$a$$ — совокупность кортежей $$e$$-местных операций (англ. set of tuples of $$e$$-place operations, нем. Menge der Tupeln der $$e$$-stellige Operationen) длины $$d$$ на элементах кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$, если множество $$a$$ состоит из кортежей длины $$d$$ элементов совокупности операций на элементах кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$ таких, что для любого элемента множества $$d$$ $h$-ая координата кортежа $$g$$ является $$e$$-местной операцией на $$h$$-ой координате кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g\in a \Leftrightarrow \Biggl( \Bigl( \forall h \quad h = \bigcup\limits_{\epsilon\in d} \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Rightarrow g\in \mathrm{Function}(d,h) \Bigr) \Rightarrow \Bigl( \forall h \quad h\in d \Rightarrow \bigl( \forall i \ \forall j \quad (i = f(h) \ \land \ j = g(h)) \Rightarrow j\in \mathrm{Op}^e(i) \bigr) \Bigr) \Biggr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in d}$$.

Кортеж операций на элементах кортежа элементов множества

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d,e\in c$$ - элементы множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(d,b)$$ - кортеж элементов множества.

Множество $$a$$ — кортеж $$e$$-местных операций (англ. tuple of $$e$$-place operations, нем. Tupel der $$e$$-stellige Operationen) длины $$d$$ на элементах кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности кортежей $$e$$-местных операций длины $$d$$ на элементах кортежа $$f$$ длины $$d$$ элементов множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g = \Bigl\langle \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in d} \Rightarrow a\in g $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \Bigl\langle \mathrm{Op}^e\bigl( f(\epsilon) \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in d}$$.