Теорема о существовании и единственности пересечения двух множеств

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любых двух множеств существует единственное пересечение множеств $$a,b$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \quad \Bigl( \ \exists c \quad \Upsilon(a,b,c) \ \land \ \bigl(\, \forall d \quad \Upsilon(a,b,d) \Rightarrow d = c \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl(\, \mathrm{d}\in \mathrm{a} \ \land \ \mathrm{d}\in \mathrm{b} \,\bigr)\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы пары следует существование пары множеств $$a,b$$ : $$ \exists d \quad d = \{ a,b \} $$ Из теоремы о существовании и единственности пересечения элементов множества следует существование пересечения элементов множества $$d$$ : $$ \exists c \quad c = \bigcap d $$ Построенное множество $$c$$ есть искомое пересечение множеств $$a,b$$. Таким образом, ввиду произвольности множеств $$a,b$$ доказано существование пересечения любых двух множеств.