Умножение

Умножение на множестве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$\cdot \, \in g$$ - символ операции.

Множество $$a$$ — умножение (англ. multiplication, нем. Multiplikation) на множестве $$c$$ или кратко умножение, если множество $$a$$ является интерпретацией символа операции $$\cdot$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \, \cdot_{\ b} $$

Связанные определения
Значение умножения от элементов множества $$b$$ — произведение (англ. product, нем. Produkt) элементов множества $$b$$.

Умножение вектора векторного пространства на скаляр

 * $$m,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,a,n$$ - множества,
 * $$g = \langle h,i,j \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$n = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение носителя поля и множества,
 * $$a\in \mathrm{Function}(n,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,a \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, поля, бинарной операции и функции,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,a)$$ - векторное пространство.

Функция $$a$$, действующая из прямого произведения $$n$$ носителя $$e$$ поля $$d$$ и множества $$c$$ в множество $$c$$ — умножение (англ. multiplication, нем. Multiplikation) вектора векторного пространства $$b$$ на скаляр или кратко умножение вектора на скаляр.

Связанные определения
Значение умножения вектора векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ на скаляр — произведение (англ. product, нем. Produkt) вектора векторного пространства $$b$$ на скаляр или кратко произведение вектора на скаляр.

Скалярное умножение векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in g \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in h \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdField}(d;j;k,l)$$ - линейно упорядоченное поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение носителя линейно упорядоченного поля и множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$a\in \mathrm{Function}(r,d)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,a \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функции,
 * $$p = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,a)$$ - векторное пространство со скалярным умножением векторов.

Функция $$a$$, действующая из декартова квадрата $$r$$ носителя $$b$$ векторного пространства $$q$$ в носитель $$d$$ линейно упорядоченного поля $$c$$ — скалярное (или внутреннее) умножение (англ. scalar multiplication, inner multiplication or dot multiplication, нем. Skalarmultiplikation, inneres Multiplikation oder Punktmultiplikation) векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ или кратко скалярное умножение векторов.

Связанные определения
Значение скалярного умножения векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ — скалярное (или внутреннее) произведение ((англ. scalar product, inner product or dot product, нем. Skalarprodukt, inneres Produkt oder Punktprodukt) векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ или кратко скалярное произведение векторов.

Векторное умножение векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in g \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in h \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdField}(d;j)$$ - линейно упорядоченное поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение носителя множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$r\in \mathrm{Function}(s,d)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функции,
 * $$p = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,r)$$ - векторное пространство со скалярным умножением векторов,
 * $$a\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$t = \langle p,a \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства со скалярным умножением векторов и бинарной операции,
 * $$t = \mathrm{VectorSpaceWithSVMoV}(b,c;m,n,r,a)$$ - векторное пространство со скалярным и векторным умножением векторов.

Бинарная операция $$a$$ на носителе $$b$$ векторного пространства $$p$$ со скалярным умножением векторов $$r$$ — векторное умножение (англ. vector multiplication or cross multiplication, нем. Vectormultiplikation, Kreuzmultiplikation, vektorielles Multiplikation oder äußeres Multiplikation) векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов $$p$$ или кратко векторное умножение векторов.

Связанные определения
Значение векторного умножения векторов векторного пространства со скалярным и ваекторным умножением векторов $$p$$ — векторное произведение ((англ. vector product or cross product, нем. Vectorprodukt, Kreuzprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt) векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов $$p$$ или кратко векторное произведение векторов.

Совокупность упорядоченных пар строк и столбцов элементов множества

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность.

Множество $$a$$ — совокупность упорядоченных пар строк и столбцов (англ. set of ordered pairs of rows and columns, нем. Menge von geordneten Paaren von Zeilen und Spalten) элементов множества $$b$$, если множество $$a$$ состоит из элементов прямого произведения {совокупности функций, действующих из прямого произведения единичного множества некоторого элемента множества-бесконечности $$c$$ и некоторого элемента множества-бесконечности $$c$$ в множество $$b$$}, и {совокупности функций, действующих из прямого произведения множества $$f$$ и некоторого элемента множества-бесконечности $$c$$ }: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \ \exists g \quad \bigl( (e\in c \ \land \ f\in c) \ \land \ g\in c \bigr) \ \land \ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \Bigr)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \ \forall i \ \forall j \ \forall k \ \forall l \ \forall m \ \forall n \quad \begin{cases} h = \{e\}\\ i = \{g\}\\ j = \mathrm{CartProd}(\langle h,f \rangle)\\ k = \mathrm{CartProd}(\langle f,i \rangle)\\ l = \mathrm{Function}(j,b)\\ m = \mathrm{Function}(k,b)\\ n = \mathrm{CartProd}(l,m)\\ \end{cases} \Rightarrow d\in n\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{OrdPairOfRowsAndColumns}(b)$$.

Мультипликатор строк и столбцов элементов множества над стандартным полукольцом

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N} \ \land \ \cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Ring}(c;+,\cdot)$$ - стандартное полукольцо,
 * $$i = \mathrm{OrdPairOfRowsAndColumns}(c)$$ - совокупность упорядоченных пар строк и столбцов элементов носителя стандартного полукольца,
 * $$a\in \mathrm{Function}(i,c)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из совокупности упорядоченных пар строк и столбцов $$i$$ носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ в носитель $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ — мультипликатор (англ. multiplier, нем. Multiplikator) строк и столбцов элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$, если для любых трёх натуральных чисел значение функции $$a$$ {произвольной функции, действующей из прямого произведения единичного множества натурального числа $$j$$ и натурального числа $$k$$ }, и {произвольной функции, действующей из прямого произведения натурального числа $$k$$ и единичного множества натурального числа $$l$$ }, определено индукцией по натуральному числу $$k$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall j \ \forall k \ \forall l \quad \bigl(\, (j\in \mathbb{N} \ \land \ k\in \mathbb{N}) \ \land \ l\in \mathbb{N} \,\bigr) \Rightarrow \bigl(\, \forall m \ \forall n \quad \Phi(a,\ldots,n) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,n) \,\bigr)\\ \\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \ \forall t \qquad \begin{cases} o = \{j\}\\ p = \{l\}\\ q = \mathrm{CartProd}(\langle o,k \rangle)\\ r = \mathrm{CartProd}(\langle k,p \rangle)\\ s = \mathrm{Function}(q,c)\\ t = \mathrm{Function}(r,c)\\ \end{cases} \Rightarrow (m\in s \ \land n\in t)\\ \\ \Chi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} k = \mathfrak{0} \Rightarrow \bigl(\, \exists o \quad o\in \mathrm{Neutral}(+_b) \ \land \ a(m,n) = o \,\bigr)\\ \exists o \quad \bigl(\, o\in \mathbb{N} \ \land \ k = \mathfrak{s}(o) \,\bigr) \Rightarrow \Psi(a,\ldots,o)\\ \end{cases}\\ \\ \Psi(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \qquad \begin{cases} p = \{j\}\\ q = \{l\}\\ r = \mathrm{CartProd}(\langle p,o \rangle)\\ s = \mathrm{CartProd}(\langle o,q \rangle)\\ \end{cases} \Rightarrow a(m,n) = +_b\Bigl( a\bigl( m\bigr|_r, n\bigr|_s \bigr), \cdot_b\bigl( m(j,o),n(o,l) \bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) если натуральное число $$k$$ равно нулю, то значение функции $$a$$ от функций $$m,n$$ равно некоторому нейтральному элементу сложения на множестве $$c$$;
 * 2) если натуральное число $$l$$ является последователем некоторого натурального числа, то значение функции $$a$$ от функций $$m,n$$ равно сумме {значения функции $$a$$ от {сужения функции $$m$$ на прямое произведение единичного множества натурального числа $$j$$ и натурального числа $$o$$} и {сужения функции $$n$$ на прямое произведение натурального числа $$o$$ и единичного множества натурального числа $$l$$}} и {произведения {значения функции $$m$$ от натурального числа $$j$$ и натурального числа $$o$$} и {значения функции $$n$$ от натурального числа $$o$$ и натурального числа $$l$$}}:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MultiplierOfRowsAndColumns}_b$$.

Мультипликатор матриц элементов носителя стандартного полукольца

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N} \ \land \ \cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semiring}(c;+,\,\cdot)$$ - стандартное полукольцо,
 * $$i = \mathrm{OrdPairOfAgreedMatrices}(c)$$ - совокупность упорядоченных пар согласованных матриц элементов носителя стандартного полукольца,
 * $$j = \mathrm{Matrix}(c)$$ - совокупность всех матриц элементов носителя стандартного полукольца,
 * $$a\in \mathrm{Function}(i,j)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из совокупности упорядоченных пар согласованных матриц $$i$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ в совокупность всех матриц $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ — мультипликатор (англ. multiplier, нем. Multiplikator) матриц элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$, если для любых трёх натуральных чисел значение функции $$a$$ от {произвольной матрицы размера $$k$$ на $$l$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ } и {произвольной матрицы размера $$l$$ на $$m$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ } является матрицей размера $$k$$ на $$m$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ такой, что для любого натурального числа, который является элементом натурального числа $$k$$, и для любого натурального числа , который является элементом натурального числа $$m$$, значение матрицы $$p$$ от натуральных чисел $$q,r$$ является значением мультипликатора строк и столбцов элементов множества $$b$$ над стандартным полукольцом $$b$$ от {сужения матрицы $$n$$ на прямое произведение единичного множества натурального числа $$q$$ и натурального числа $$l$$} и {сужения матрицы $$o$$ на прямое произведение натурального числа $$l$$ и единичного множества натурального числа $$r$$}: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \ \forall l \ \forall m \quad \bigl(\, (k\in \mathbb{N} \ \land \ l\in \mathbb{N}) \ \land \ m\in \mathbb{N} \,\bigr) \Rightarrow \Bigl( \ \forall n \ \forall o \quad \bigl(\, n\in \mathrm{Matrix}_{\langle k,l \rangle}(c) \ \land \ o\in \mathrm{Matrix}_{\langle l,m \rangle}(c) \,\bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,o) \ \Bigr)\\ \\ \Phi(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad a(n,o) = p \Leftrightarrow \begin{cases} p\in \mathrm{Matrix}_{\langle k,m \rangle}(c)\\ \forall q \ \forall r \quad \bigl(\, (q\in \mathbb{N} \ \land \ r\in \mathbb{N}) \ \land \ (q\in k \ \land \ r\in m) \,\bigr) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,r) \end{cases}\\ \\ \Chi(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \ \forall t \ \forall u \ \forall v \ \forall w \qquad \begin{cases} s = \{q\}\\ t = \{r\}\\ u = \mathrm{CartProd}(\langle s,l \rangle)\\ v = \mathrm{CartProd}(\langle l,t \rangle)\\ w = \mathrm{MultiplierOfRowsAndColumns}_b\\ \end{cases} \Rightarrow p(q,r) = w\bigl( n\bigr|_u, o\bigr|_v \bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{MultiplierOfMatrices}_b$$.

Умножение матриц над стандартным полукольцом

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N} \ \land \ \cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semiring}(c;+,\cdot)$$ - стандартное полукольцо,
 * $$(i\in \mathbb{N} \ \land \ j\in \mathbb{N}) \ \land \ k\in \mathbb{N}$$ - натуральные числа,
 * $$\bigl( l = \mathrm{Matrix}_{\langle i,j \rangle}(c) \ \land \ m = \mathrm{Matrix}_{\langle j,k \rangle}(c) \bigr) \ \land \ n = \mathrm{Matrix}_{\langle i,k \rangle}(b)$$ - совокупности матриц элементов множества,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle l,m \rangle)$$ - прямое произведение совокупностей матриц элементов множества,
 * $$a\in \mathrm{Function}(o,n)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из прямого произведения $$o$$ совокупности матриц $$l$$ размера $$i$$ на $$j$$ и совокупности матриц $$m$$ размера $$j$$ на $$k$$ в совокупность матриц $$n$$ размера $$i$$ на $$k$$ — умножение (англ. multiplication, нем. Multiplikation) матриц размера $$i$$ на $$j$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ на матрицы размера $$j$$ на $$k$$ элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ или кратко умножение матриц над стандартным полукольцом $$b$$, если множество $$a$$ является сужением мультипликатора матриц элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ на прямое произведение $$o$$ совокупностей матриц $$l,m$$ элементов множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{MultiplierOfMatrices}_b \Rightarrow a = r\bigr|_q $$