Линейная комбинация

Интуитивное определение
Рассматривая векторы и возможные операции над ними (сложение, умножение на скаляр), естественным становится вопрос о рассмотрении комбинации данных операций для кортежей векторов и скаляров конечной длины. Такая комбинация получила название линейной.

Таким образом, для введения определения линейной комбинации кортежей векторов и скаляров нам понадобятся сами кортежи векторов и скаляров, а так же функция, которая будет для данного набора векторов и скаляров вычислять их линейную комбинацию, которая в свою очередь является вектором. Удобнее всего определить данную функцию индукцией по длине кортежей. Для использования аппарата математической индукции воспользуемся построенной в теореме о существовании структуры натуральных чисел структурой натуральных чисел.

Совокупность упорядоченных пар кортежей из векторов и скаляров

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность.

Множество $$a$$ — совокупность упорядоченных пар кортежей (англ. set of ordered pairs of tuples, нем. Menge von geordneten Paaren von Tupeln) скаляров и векторов, если множество $$a$$ состоит из элементов прямого произведения совокупности функций, действующих из некоторого элемента множества-бесконечности $$p$$ в носитель $$e$$ поля $$d$$, и совокупности функций, действующих из множества $$r$$ в носитель $$c$$ векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall q \quad q\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists r \quad r\in p \ \land \ \bigl(\, \forall s \ \forall t \quad (s = \mathrm{Function}(r,e) \ \land \ t = \mathrm{Function}(r,c)) \Rightarrow q\in \mathrm{CartProd}(\langle s,t \rangle) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{OrdPairOfTuples}(b)$$.

Линейный комбинатор упорядоченных пар из кортежей скаляров и векторов

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p = \mathrm{OrdPairOfTuples}(b)$$ - совокупность упорядоченных пар кортежей скаляров и векторов,
 * $$a\in \mathrm{Function}(p,c)$$ - функция.

Функция $$a$$ — линейный комбинатор (англ. linear combinator, нем. Linearkombinator) упорядоченных пар из кортежей скаляров и векторов, если для любого натурального числа значение функции $$a$$ от {произвольного кортежа скаляров длины $$p$$ } и {произвольного кортежа векторов длины $$p$$ } определено индукцией по натуральному числу $$p$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in\mathbb{N} \Rightarrow \Bigl( \ \forall q \ \forall r \quad \bigl(\, q\in \mathrm{Function}(p,e) \ \land \ r\in \mathrm{Function}(p,c) \,\bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,r) \ \Bigr)\\ \\ \Phi(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} p = \mathfrak{o} \Rightarrow a(q,r) = \vec{0}_b\\ \exists s \quad (s\in\mathbb{N} \ \land \ p = \mathfrak{s}(s)) \Rightarrow a(q,r) = m\Bigl( a\bigl( q\bigr|_s,r\bigr|_s \bigr), n(q(s),r(s)) \Bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases} $$
 * 1) если натуральное число $$p$$ равно нулю, то значение функции $$a$$ от кортежей $$q,r$$ равна нулевому вектору векторного пространства $$b$$;
 * 2) если натуральное число $$p$$ является последователем некоторого натурального числа, то значение функции $$a$$ от кортежей $$q,r$$ равна сумме {значения функции $$a$$ от {сужения кортежа $$q$$ на на натуральное число $$s$$} и {сужения кортежа $$r$$ на натуральное число $$s$$} } и {произведения $s$-й координаты кортежа $$r$$ на $$s$$-ю координату кортежа $$q$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinearCombinator}_b$$.

Линейная комбинация упорядоченной пары из кортежей скаляров и векторов

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$a\in c$$ - вектор,
 * $$p\in \mathbb{N}$$ - натуральное число,
 * $$q\in \mathrm{Function}(p,e)$$ - кортеж скаляров,
 * $$r\in \mathrm{Function}(p,c)$$ - кортеж векторов.

Вектор $$a$$ — линейная комбинация (англ. linear combination, нем. Linearkombination) упорядоченной пары из кортежей $$q,r$$ длины $$p$$ скаляров и векторов или кратко линейная комбинация $$p$$ векторов, если вектор $$a$$ является значением линейного комбинатора от кортежей $$q,r$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \quad s = \mathrm{LinearCombinator}_b \Rightarrow a = s(q,r) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinearComb}_b(q,r)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinearComb}(q,r)$$.