Группа

Группа по операции

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — группа (англ. group, нем. Gruppe) по операции $$h$$ или кратко группа, если алгебраическая структура $$a$$ является моноидом по операции $$h$$ и для любого элемента множества $$b$$ существует инверсия данного элемента множества $$b$$ относительно интерпретации символа операции $$h$$ и некоторого её нейтрального элемента: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{Monoid}(b;h)\\ \forall i \quad i\in b \Rightarrow \Bigl( \ \exists j \quad (\, j\in b \ \land \ j\in \mathrm{Neutral}(h_a) \,) \ \land \ \bigl(\, \exists k \quad k\in \mathrm{Inversion}_{h_a}^j(i) \,\bigr) \ \Bigr) \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Group}(b;h)$$.

Замечание
Группу по операции $$+$$ будем называть аддитивной группой (англ. additive group, нем. additiv Gruppe).

Группу по операции $$\cdot$$ будем называть мультипликативной группой (англ. multiplicative group, нем. multiplikativ Gruppe).

Коммутативная группа по операции

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — коммутативная группа (или абелева группа) (англ. commutative group or abelian group, нем. kommutative Gruppe oder abelsche Gruppe) по операции $$h$$ или кратко коммутативная группа, если алгебраическая структура $$a$$ является группой по операции $$h$$ и интерпретация символа бинарной операции $$h$$ является коммутативной операцией на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Group}(b;h) \ \land \ h_a\in \mathrm{CommOp}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CommGroup}(b;h)$$.

Замечание
Коммутативную группу по операции $$+$$ будем называть коммутативной аддитивной группой (англ. commutative additive group, нем. kommutative additiv Gruppe).

Коммутативную группу по операции $$\cdot$$ будем называть коммутативной мультипликативной группой (англ. commutative multiplicative group, нем. kommutative multiplikativ Gruppe).

Связанные статьи
Кольцо;

Тело;

Поле.