Моном

Производящая функция мономов от одной переменной над мультипликативной полугруппой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,i,j,k,l,m,n,o,p,q$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semigroup}(c;\, \cdot \, )$$ - мультипликативная полугруппа,
 * $$l = \langle m,n,o \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}(m,n,o)$$ - сигнатура,
 * $$m = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$n = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$o = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p = \mathrm{CartProd}(\langle j,c \rangle)$$ - прямое произведение множества натуральных чисел и носителя мультипликативной полугруппы,
 * $$q = \mathrm{Op}^1(c)$$ - совокупность унарных операций,
 * $$a\in \mathrm{Function}(p,q)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из прямого произведения $$p$$ множества натуральных чисел $$j$$ и носителя $$c$$ мультипликативной полугруппы $$b$$ в совокупность унарных операций на носителе $$c$$ мультипликативной полугруппы $$b$$ — производящая функция мономов (англ. generating function of monomials, нем. erzeugenden Funktion der Monomen) от одной переменной над мультипликативной полугруппой $$b$$ или кратко производящая функция мономов, если для произвольного натурального числа и для любого элемент носителя $$c$$ мультипликативной полугруппы $$b$$ значение функции $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$r,s$$ определяется индукцией по натуральному числу $$r$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall r \ \forall s \quad (r\in j \ \land \ s\in c) \Rightarrow \begin{cases} \forall t \quad t = a(r,s) \Rightarrow \Bigl( r = \mathfrak{0}_i \Rightarrow \bigl( \forall u \quad u\in c\Rightarrow t(u) = s \bigr) \Bigr)\\ \forall t \quad t = a(r,s) \Rightarrow \Bigl( \exists u \quad \bigl( u\in j \ \land \ u = \mathfrak{s}_i(r) \bigr) \ \land \ \bigl( \forall v \quad v\in c \Rightarrow \Phi(a,\ldots,v) \bigr) \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall w \quad w = a(u,s) \Rightarrow t(v) = \,\cdot_{\ b}\bigl( w(v),v \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) если натуральное число $$r$$ является нолём на множестве натуральных чисел $$j$$, то для любого элемента носителя $$c$$ мультипликативной полугруппы $$b$$ значение унарной операции от множества $$u$$ равно множеству $$s$$;
 * 2) если существует натуральное число такое, что натуральное число $$r$$ является последователем натурального числа $$u$$, то для любого элемента носителя $$c$$ мультипликативной полугруппы $$b$$ значение унарной операции $$t$$ от множества $$v$$ равно произведению {значения {значения функции $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$u,s$$} от множества $$v$$} и множества $$v$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{GenFunctionOfMonomials}(b)$$.

Моном натуральной степени над мультипликативной полугруппой с коэффициентом от одной переменной

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semigroup}(c;\, \cdot \, )$$ - мультипликативная полугруппа,
 * $$i\in c$$ - элемент носителя алгебраической структуры,
 * $$m = \langle n,o,p \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$m = \mathrm{\Sigma}(n,o,p)$$ - сигнатура,
 * $$n = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$o = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$p = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$j = \langle k,l,m \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$j = \mathrm{AlgStruct}(k,l,m)$$ - алгебраическая структура,
 * $$j\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$k = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$q\in k$$ - натуральное число,
 * $$a\in \mathrm{Op}^1(c)$$ - унарная операция.

Унарная операция $$a$$ на носителе $$c$$ мультипликативной полугруппы $$b$$ — моном (или одночлен) (англ. monomial, нем. Monom) степени $$q$$ над мультипликативной полугруппой $$b$$ с коэффициентом $$i$$ от одной переменной или кратко моном степени $$q$$ с коэффициентом $$i$$, если унарная операция $$a$$ является значением порождающей функции мономов от упорядоченной пары множеств $$q,i$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall r \quad r = \mathrm{GenFunctionOfMonomials}(b) \Rightarrow a = r(q,i) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Monomial}(q,i)$$.

Связанные статьи
Полином.