Выпуклая функция

Выпуклая функция, действующая из носителя векторного пространства в носитель согласованного стандартного линейно упорядоченного поля

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in f \ \land \ h(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$(+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdField}(c; \leqslant; +,\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
 * $$b\in \mathrm{AssocLinOrdField}(c; \leqslant; +,\cdot)$$ - согласованное стандартное линейно упорядоченное поле,
 * $$k\in \mathrm{Op}^2(j)$$ - бинарная операция,
 * $$m = \mathrm{CartProd}(\langle c,j \rangle)$$ - прямое произведение носителя согласованного стандартного линейно упорядоченного поля и множества,
 * $$l\in \mathrm{Function}(m,j)$$ - функция,
 * $$i = \mathrm{VectorSpace}(j,b;k,l)$$ - векторное пространство,
 * $$a\in \mathrm{Function}(j,c)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из носителя $$j$$ векторного пространства $$i$$ в носитель $$c$$ согласованного стандартного линейно упорядоченного поля $$b$$ — выпуклая функция (англ. convex function, нем. konvexe Funktion), действующая из носителя $$j$$ векторного пространства $$i$$ в носитель $$c$$ согласованного стандартного линейно упорядоченного поля $$b$$, если для любых двух элементов носителя $$c$$ согласованного стандартного линейно упорядоченного поля $$b$$ и для любых двух элементов носителя $$j$$ векторного пространства $$i$$ если {упорядоченная пара ноля согласованного стандартного линейно упорядоченного поля $$b$$ и множества $$n$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$} и {упорядоченная пара ноля согласованного стандартного линейно упорядоченного поля $$b$$ и множества $$o$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$} и {сумма множеств $$n,o$$ равна единице согласованного стандартного линейно упорядоченного поля $$b$$}, то упорядоченная пара {значения функции $$a$$ от суммы {произведения множеств $$n,p$$} и {произведения множеств $$o,q$$}} и {суммы {произведения множества $$n$$ и значения функции $$a$$ от множества $$p$$} и {произведения множества $$o$$ и значения функции $$a$$ от множества $$q$$}} принадлежит интерпретации символа отношения $$\leqslant$$ на множестве $$c$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \ \forall p \ \forall q \quad \bigl( (n\in c \ \land \ o\in c) \ \land \ (p\in j \ \land \ q\in j) \bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,q)\\ \Phi(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall r \quad r = \mathrm{Neutral}(+_b) \Rightarrow ( \langle r,n \rangle\in \leqslant_b \ \land \ \langle r,o \rangle\in \leqslant_b )\\ \forall r \quad r = \mathrm{Neutral}(\cdot_{\,b}) \Rightarrow +_b(n,o) = r\\ \end{cases} \Rightarrow \Biggl\langle a\Bigl( +_b\bigl( \,\cdot_{\,b}(n,p),\,\cdot_{\,b}(o,q) \bigr) \Bigr), +_b\Bigl( \,\cdot_{\,b}\bigl( n,a(p) \bigr), \,\cdot_{\,b}\bigl( o,a(q) \bigr) \Bigr) \Biggr\rangle\in \leqslant_b\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{ConvexFunction}(j,c)$$.