Арифметика

Арифметика (англ. arithmetic, нем. Arithmetik; от др.-греч. ἀριθμός — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и операции над ними.

Арифметика алгебраической структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,i,j,k,l,m$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g), j = \mathrm{\Sigma}(k,l,m)$$ - сигнатуры,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d), h = \mathrm{AlgStruct}(b,i,j)$$ - алгебраические структуры.

Алгебраическая структура $$a$$ — арифметика (англ. arithmetic, нем. Arithmetik) алгебраической структуры $$h$$, если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} e = k\\ f = l\cup \{\, +,\ \cdot \ \,\}\\ \forall n \quad n = k\cup l \Rightarrow m = g\bigr|_n\\ h = a\bigr|_j \end{cases} $$
 * 1) алфавит отношений $$e$$ равен алфавиту отношений $$k$$;
 * 2) алфавит операций $$f$$ равен объединению алфавита операций $$l$$ и множества $$\{\, +,\ \cdot \ \,\}$$;
 * 3) сужение функции местности $$g$$ сигнатуры $$d$$ на объединение {алфавита отношений $$k$$ сигнатуры $$j$$ и алфавита операций $$l$$ сигнатуры $$j$$} является функцией местности $$m$$ сигнатуры $$j$$;
 * 4) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$j$$ является алгебраической структурой $$h$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(h)$$.

Примеры
Арифметика натуральных чисел;

Арифметика целых чисел;

Арифметика рациональных чисел;

Арифметика вещественных чисел;

Арифметика комплексных чисел.