Прямое произведение

Первичное определение

 * $$a,b,c$$ – множества.

Множество $$a$$ — прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt oder Mengenprodukt) множеств $$b,c$$, если множество $$a$$ состоит из пар элемента множества $$b$$ и элемента множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad \bigl( e\in b \ \land \ f\in c \bigr) \ \land \ d = \{e,f\} \Bigr) $$

Из теоремы об эквивалентности пары множеств и упорядоченной пары множеств следует справедливость следующего обозначения для прямого произведения множеств $$b,c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(\{b,c\}) $$

Эквивалентное определение

 * $$a,b,c$$ – множества.

Множество $$a$$ — прямое произведение (или декартово произведение) множеств $$b,c$$, если множество $$a$$ состоит из упорядоченных пар с первой координатой, которая является элементом множества $$b$$, и второй координатой, которая является элементом множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad \bigl( e\in b \ \land \ f\in c \bigr) \ \land \ d = \langle e,f \rangle \Bigr) $$

Из теоремы о существовании и единственности прямого произведения двух множеств следует справедливость следующего обозначения для прямого произведения множеств $$b,c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(\langle b,c \rangle) $$

Замечание
Всюду, где не будет оговорено, под прямым произведением множеств будем понимать эквивалентное определение.

Совокупность прямых произведений элементов двух множеств

 * $$a,b,c$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность прямых произведений (или совокупность декартовых произведений) (англ. set of cartesian products, нем. Menge der kartesische Produkten) элементов множеств $$b,c$$, если множество $$a$$ состоит из прямых произведений некоторого элемента множества $$b$$ и некоторого элемента множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists e \ \exists f \quad e\in b \ \land \ f\in c \ \land \ d = \mathrm{CartProd}\bigl( \langle e,f \rangle \bigr) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\{ \mathrm{CartProd}\bigl( \langle \epsilon,\iota \rangle \bigr) \Bigr\}_{\epsilon\in b \atop \iota\in c}$$.

Прямое произведение координат двух кортежей элементов множеств

 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$b = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$c\in b$$ - элемент множества бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Function}(c,d) \ \land \ g\in \mathrm{Function}(c,e)$$ - кортеж элементов множества.

Множество $$a$$ — прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt) координат кортежа $$f$$ длины $$c$$ элементов множества $$d$$ и координат кортежа $$g$$ длины $$c$$ элементов множества $$e$$, если множество $$a$$ является кортежем длины $$c$$ элементов совокупности прямых произведений элементов {области значений кортежа $$f$$ длины $$c$$ элементов множества $$d$$} и {области значений кортежа $$g$$ длины $$c$$ элементов множества $$e$$} таким, что для любого элемента элемента $$c$$ множества-бесконечности $$b$$ $h$-ая координата кортежа $$a$$ является прямым произведением {$$h$$-й координаты кортежа $$f$$ длины $$c$$ элементов множества $$d$$} и {$$h$$-й координаты кортежа $$g$$ длины $$c$$ элементов множества $$e$$}: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \Rightarrow \Chi(a,b,c,d,e,f,g)\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \ \forall i \quad \bigl( h = \mathrm{Range}(f) \ \land \ i = \mathrm{Range}(g) \bigr) \Rightarrow \Biggl( \forall j \quad j = \Bigl\{ \mathrm{CartProd}\bigl( \langle \epsilon,\iota \rangle \bigr) \Bigr\}_{\epsilon\in h \atop \iota\in i} \Rightarrow a\in \mathrm{Function}(c,j) \Biggr)\\ \Chi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad h\in c \Rightarrow \Bigl( \forall i \ \forall j \ \forall k \quad \bigl( (i = f(h) \ \land \ j = g(h) ) \ \land \ k = a(h) \bigr) \Rightarrow k = \mathrm{CartProd}\bigl( \langle h,i \rangle \bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \mathrm{CartProd}\bigl( \langle f(\epsilon),g(\epsilon) \rangle \bigr) \Bigr\rangle_{\epsilon\in c}$$.

Прямое произведение элементов множества

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$b = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$c\in b$$ - элемент множества бесконечности,
 * $$d\in \mathrm{Function}(c,e)$$ - кортеж элементов множества.

Множество $$a$$ — прямое произведение (или декартово произведение) (англ. cartesian product, нем. kartesisches Produkt) координат кортежа $$d$$ длины $$c$$ элементов множества $$e$$ или кратко прямое произведение $$c$$ элементов множества $$e$$, если множество $$a$$ состоит из кортежей длины $$c$$ элементов {объединения элементов набора из $$c$$ элементов множества $$e$$, порождённого кортежем $$d$$}, которые удовлетворяют следующему условию: для любого элемента множества-бесконечности такого, что множество $$i$$ является элементом множества $$c$$, $$i$$-я координата данного кортежа принадлежит $$i$$-й координате кортежа $$d$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall f \quad f\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall g \ \forall h \quad \Bigl(\, g = \{ d(\alpha) \}_{\alpha\in c} \ \land \ h = \bigcup g \,\Bigr) \Rightarrow \Bigl(\, f\in \mathrm{Function}(c,h) \ \land \ \bigl(\forall i \quad (i\in b \ \land \ i\in c) \Rightarrow f(i)\in d(i)\bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartProd}(d)$$.

Декартова степень множества

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$b = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$c\in b$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — $$c$$-я декартова степень (англ. $$c$$-th cartesian power, нем. $$c$$-te kartesische Potenz oder $$c$$-te Mengenpotenz) множества $$d$$, если множество $$a$$ является совокупностью функций, действующих из элемента $$c$$ множества-бесконечности $$b$$ в множество $$d$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(c,d) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CartPower}^c(d)$$.

Связанные статьи
Декарт, Рене.