Арифметика вещественных чисел

Из теоремы о метризации линейно упорядоченной арифметики рациональных чисел и теоремы о замкнутости совокупности фундаментальных последовательностей рациональных чисел относительно арифметических операций следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\omega \rangle, \langle +,2_\omega \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\omega \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\omega \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\omega \rangle, \langle +, 2_\omega \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\omega \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$f = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$j = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$l = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\omega \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$q = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\omega \rangle, \langle \leq,2_\omega \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\omega \rangle, \langle +,2_\omega \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\omega \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$m = f\setminus\{\, \mathfrak{o}_e \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle j,m \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$n = \mathrm{AlgStruct}(o,p,q)$$ - алгебраическая структура,
 * $$s = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\omega \rangle, \langle \leq,2_\omega \rangle, \langle +,2_\omega \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\omega \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$r = n\bigr|_s$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$r\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$n\in \mathrm{LinOrdStruct}(o;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$n\in \mathrm{Group}(o;+)$$ - группа,
 * $$u = \left|\circ\right|_{+_n}^{\leq_n}$$ - операция взятия модуля,
 * $$v = \mathrm{DistanceOp}_u^n(o)$$ - операция расстояния,
 * $$t = \langle o,n,v \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$t = \mathrm{MetricSpace}(o,n;v)$$ - метрическое пространство,
 * $$b = \mathrm{CauchySequence}_f^t(o)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — арифметика вещественных чисел (англ. arithmetic of real numbers, нем. Arithmetik der reellen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\bigr|_l\in \mathfrak{R}\\ \forall w \ \forall x \quad (\, w\in b \ \land \ x\in b \,) \Rightarrow \Bigr( \ \exists y \quad y\in b \ \land \ \bigl( \, \forall z \quad z\in f \Rightarrow y(z) = +_n(w(z),x(z)) \, \bigr) \ \Bigr)\\ \forall w \ \forall x \quad (\, w\in b \ \land \ x\in b \,) \Rightarrow \Bigr( \ \exists y \quad y\in b \ \land \ \bigl( \, \forall z \quad z\in f \Rightarrow y(z) = \, \cdot_{\ n}(w(z),x(z)) \, \bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{R}_b)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{R})$$.
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$l$$ является структурой вещественных чисел,
 * 2) сумма двух произвольных элементов множества $$b$$ является некоторым элементом множества $$b$$ таким, что для любого натурального числа член данного элемента множества $$b$$, соответствующий данному натуральному числу, равен сумме члена первого элемента множества $$b$$, соответствующего данному натуральному числу, и члена второго элемента множества $$b$$, соответствующего данному натуральному числу;
 * 3) произведение двух произвольных элементов множества $$b$$ является некоторым элементом множества $$b$$ таким, что для любого натурального числа член данного элемента множества $$b$$, соответствующий данному натуральному числу, равен произведению члена первого элемента множества $$b$$, соответствующего данному натуральному числу, и члена второго элемента множества $$b$$, соответствующего данному натуральному числу:

Связанные статьи
Теорема о свойствах арифметики вещественных чисел.