Отношение порядка

Совокупность отношений порядка на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность отношений порядка (англ. set of order relations, нем. Menge der Ordnung Relationen) на множестве $$b$$, если произвольное бинарное отношение на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда бинарное отношение $$c$$ является рефлексивным отношением на множестве $$b$$, антисимметричным отношением на множестве $$b$$ и транзитивным отношением на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \bigl( \, c\in \mathrm{ReflexRel}(b) \ \land \ c\in \mathrm{AntisymRel}(b) \ \land \ c\in \mathrm{TransitRel}(b) \, \bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{OrdRel}(b)$$.

Отношение порядка на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — отношение порядка (англ. order relation, нем. Ordnung Relation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности отношений порядка на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{OrdRel}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{OrdRel}(b)$$.