Полукольцо множеств

Полукольцо подмножеств множества

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень,
 * $$a\subseteq c$$ - система множеств,
 * $$d = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность.

Система подмножеств $$a$$ множества $$b$$ — полукольцо подмножеств (англ. semiring of subsets, нем. Teilmengensemiring oder Teilmengenhalbring) множества $$b$$ или кратко полукольцо множеств, если система множеств $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \varnothing \in a\\ \forall e \ \forall f \quad (e\in a \ \land \ f\in a) \Rightarrow (e\cap f)\in a\\ \forall e \ \forall f \quad (e\in a \ \land \ f\in a) \Rightarrow \Bigl( \ e\subseteq f \Rightarrow \bigl(\, \exists g \quad (g\in d \ \land \ 0_\mathrm{N}\in g) \ \land \ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists h \quad h\in \mathrm{Function}(g,a) \ \land \ \Bigl( \ h(0_\mathrm{N}) = e \ \land \ \bigl(\, \forall i \quad i = \mathrm{Range}(h) \Rightarrow (i^\perp \ \land \ \bigcup i = d) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * система множеств $$a$$ содержит пустое множество;
 * для любых двух элементов системы множеств $$a$$ пересечение множеств $$e, f$$ принадлежит множеству $$a$$;
 * для любых двух элементов множества $$a$$ если множество $$e$$ является подмножеством множества $$f$$, то для некоторого элемента множества-бесконечности $$d$$, содержащего ноль множества-бесконечности $$d$$, существует функция, действующая из множества $$g$$ в систему множеств $$a$$ , такая, что значение функции $$h$$ от ноля множества-бесконечности $$d$$ равно множеству $$e$$, область значений функции $$h$$ является дизъюнктным множеством и объединение элементов области значений функции $$h$$ равно множеству $$f$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Semiring}(b)$$.