Кортеж

Упорядоченная пара множеств

 * $$a,b,c$$ – множества.

Множество $$a$$ — упорядоченная пара (англ. ordered pair, нем. geordnetes Paar) множеств $$b,c$$, если множество $$a$$ состоит из единичного множества множества $$b$$ и пары множеств $$b,c$$ : $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \bigl(\, d = \{b\} \ \lor \ d = \{b,c\} \,\bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \langle b,c \rangle$$.

Связанные определения
Первая координата упорядоченной пары множеств;

Вторая координата упорядоченной пары множеств.

Из теоремы о свойствах координат упорядоченной пары множеств следует законность того, что упорядоченную пару множеств $$b,c$$ будем также называть упорядоченной парой с первой координатой $$b$$ и второй координатой $$c$$ или кратко упорядоченной парой с координатами $$b,c$$ (или упорядоченной парой).

Кортеж элементов множества

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d\in c$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — кортеж (англ. tuple, нем. Tupel) из $$d$$ элементов множества $$b$$, если множество $$a$$ является функцией, действующей из множества $$d$$ в множество $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Function}(d,b) $$

Связанные определения
Длина кортежа;

Координата кортежа.

Таким образом, кортеж из $$d$$ элементов множества $$b$$ будем также называть кортежем элементов множества $$b$$ длины $$d$$ или кратко кортежем.

Примеры
Кортеж длины $$0$$ — пустой кортеж (англ. empty tuple, нем. leere Tupel), равен пустому множеству.

Кортеж длины $$1$$ элементов множества $$\{a\}$$ — множество $$a$$.

Кортеж длины $$2$$ элементов множества $$\{a,b\}$$ отождествляется с упорядоченной парой множеств $$a,b$$.

Кортеж длины $$3$$ элементов множества $$\{a,b,c\}$$ отождествляется с упорядоченной парой {упорядоченной пары множеств $$a,b$$} и множества $$c$$ и т.д.

Совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$b = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$c\in b$$ - элемент множества-бесконечности,
 * $$\bigl( h\in \mathrm{Function}(c,d) \ \land \ i\in \mathrm{Function}(c,e) \bigr) \ \land \ \bigl( j\in \mathrm{Function}(c,f) \ \land \ k\in \mathrm{Function}(c,g) \bigr)$$ - кортежи элементов множеств.

Множество $$a$$ — совокупность упорядоченных четвёрок (англ. set of ordered quartets, нем. Menge der geordneter Quartette) координат кортежей $$h,i,j,k$$ длины $$c$$ элементов множеств $$d,e,f,g$$, если множество $$a$$ состоит из упорядоченных четвёрок некоторых элементов областей значений кортежей $$h,i,j,k$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall h \quad l\in a \Leftrightarrow \Biggl( \exists m \ \exists n \ \exists o \ \exists p \quad \Bigl( \bigl( m\in \mathrm{Range}(h) \ \land \ n\in \mathrm{Range}(i) \bigr) \ \land \ \bigl( o\in \mathrm{Range}(j) \ \land \ p\in \mathrm{Range}(k) \bigr) \Bigr) \ \land \ l = \langle m,n,o,p \rangle \Biggr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\{ \bigl\langle h(\epsilon), i(\vartheta), j(\varkappa), k(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in c \atop \vartheta\in c} \atop {\varkappa\in c \atop \varpi\in c}}$$.

Кортеж упорядоченных четвёрок координат кортежей

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$b = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$c\in b$$ - элемент множества-бесконечности,
 * $$\bigl( h\in \mathrm{Function}(c,d) \ \land \ i\in \mathrm{Function}(c,e) \bigr) \ \land \ \bigl( j\in \mathrm{Function}(c,f) \ \land \ k\in \mathrm{Function}(c,g) \bigr)$$ - кортежи элементов множеств,
 * $$l = \Bigl\{ \bigl\langle h(\epsilon), i(\vartheta), j(\varkappa), k(\varpi) \bigr\rangle \Bigr\}_{{\epsilon\in c \atop \vartheta\in c} \atop {\varkappa\in c \atop \varpi\in c}}$$ - совокупность упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств,
 * $$a\in \mathrm{Function}(c,l)$$ - кортеж элементов совокупности упорядоченных четвёрок координат кортежей элементов множеств.

Кортеж $$a$$ длины $$c$$ элементов совокупности упорядоченных четвёрок $$l$$ координат кортежей $$h,i,j,k$$ длины $$c$$ элементов множеств $$d,e,f,g$$ $$a$$ — кортеж (англ. tuple, нем. Tupel) длины $$c$$ упорядоченных четвёрок координат кортежей $$h,i,j,k$$ длины $$c$$ элементов множеств $$d,e,f,g$$, если множество $$a$$ для любого элемента элемента $$c$$ множества-бесконечности $$b$$ $m$-я координата кортежа $$a$$ является упорядоченной четвёркой {$$m$$-й координаты кортежа $$h$$ длины $$c$$ элементов множества $$d$$}, {$$m$$-й координаты кортежа $$i$$ длины $$c$$ элементов множества $$e$$}, {$$m$$-й координаты кортежа $$j$$ длины $$c$$ элементов множества $$f$$}, {$$m$$-й координаты кортежа $$k$$ длины $$c$$ элементов множества $$g$$}: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m\in c \Rightarrow \Phi(a,\ldots,m)\\ \Phi(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \qquad \begin{cases} n = h(m)\\ o = i(m)\\ p = j(m)\\ q = k(m)\\ r = a(m)\\ \end{cases} \Rightarrow r = \langle n,o,p,q \rangle\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \Bigl\langle \bigl\langle h(\epsilon), i(\epsilon), j(\epsilon), k(\epsilon) \bigr\rangle \Bigr\rangle_{\epsilon\in c}$$.