Отношение

Совокупность отношений на множестве

 * $$a,b,c,d$$ – множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d\in c$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — совокупность $$d$$-местных отношений (или совокупность $$d$$-арных отношений) (англ. set of $$d$$-place relations or set of $$d$$-ary relations, нем. Menge der $$d$$-stellige Relationen oder Menge der $$d$$-äre Relationen) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является множеством-степенью $d$-ой декартовой степени множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{CartPower}^d(b) \Rightarrow a = \mathrm{PowerSet}(e) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Rel}^d(b)$$.

Отношение на множестве

 * $$a,b,c,d$$ – множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d\in c$$ - элемент множества-бесконечности.

Множество $$a$$ — $$d$$-местное отношение (или $$d$$-арное отношение) (англ. $$d$$-place relation or $$d$$-ary relation, нем. $$d$$-stellige Relation oder $$d$$-äre Relation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности $d$-местных отношений на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{Rel}^d(b) \Rightarrow a\in e $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Rel}^d(b)$$.

Связанные определения
Местность отношения.

Таким образом, $$d$$-местное отношение на множестве $$b$$ будем также называть отношение на множестве $$b$$ с местностью $$d$$.

Примеры
Отношение на множестве $$b$$ местности $$0_\mathrm{N}$$ — пустое отношение (англ. empty relation, нем. leere Relation) множества $$b$$ или кратко пустое отношение.

Отношение на множестве $$b$$ местности $$1_\mathrm{N}$$ — одноместное (или унарное) отношение (англ. unary relation, нем. unäre Relation) на множестве $$b$$ или кратко одноместное отношение.

Отношение на множестве $$b$$ местности $$2_\mathrm{N}$$ — двухместное (или бинарное) отношение (англ. binary relation, нем. binäre Relation) на множестве $$b$$ или кратко двухместное отношение.

Отношение на множестве $$b$$ местности $$3_\mathrm{N}$$ — трёхместное (или тернарное) отношение (англ. ternary relation, нем. ternäre Relation) на множестве $$b$$ или кратко трёхместное отношение.

Совокупность всех отношений на множестве

 * $$a,b,c$$ – множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность.

Множество $$a$$ — совокупность всех отношений (англ. set of relations, нем. Menge der Relationen) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ состоит из отношений на множестве $$b$$ некоторой местности: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow \bigr( \exists e \quad e\in c \ \land \ d\in\mathrm{Rel}^e(b) \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Rel}(b)$$.

Связанные статьи
Рефлексивное отношение;

Иррефлексивное отношение;

Симметричное отношение;

Асимметричное отношение;

Антисимметричное отношение;

Транзитивное отношение;

Полное отношение;

Отношение эквивалентности;

Отношение порядка;

Отношение строгого порядка;

Отношение линейного порядка;

Теорема о существовании совокупности отношений на множестве;

Теорема о существовании совокупности всех отношений на множестве.