Отношение ортогональности векторов

Отношение ортогональности векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$r\in \mathrm{Function}(s,d)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,r)$$ - векторное пространство со скалярным умножением векторов,
 * $$a\in \mathrm{Rel}^2(b)$$ - бинарное отношение на носителе векторного пространства со скалярным умножением векторов.

Бинарное отношение $$a$$ на носителе $$b$$ векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ — отношение ортогональности (или перпендикулярности) (англ. orthogonality relation or perpendicularity relation, нем. Orthogonalitätsrelation) векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ или кратко отношение ортогональности векторов, если для любых двух векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ упорядоченная пара векторов $$t,u$$ принадлежит бинарному отношению $$a$$ тогда и только тогда скалярное произведение векторов $$t,u$$ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $$j$$ на множестве $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall t \ \forall u \quad (t\in b \ \land \ u\in b) \Rightarrow \Bigl( \ \langle t,u \rangle\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \exists v \quad v\in \mathrm{Neutral}(j_d) \ \land \ r(t,u) = v \,\bigr) \ \Bigr) $$

Из теоремы о существовании и единственности отношения ортогональности векторов следует справедливость следующего обозначения для отношения ортогональности векторов $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \,\perp_p$$.

Всюду в дальнейшем для любых двух векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$, если упорядоченная пара векторов $$t,u$$ принадлежит отношению ортогональности векторов $$a$$, то будем говорить, что вектор $$t$$ ортогонален вектору $$u$$ и писать $$\langle u,v \rangle\in \,\perp_p$$

Связанные статьи
Теорема о существовании и единственности отношения ортогональности векторов;

Теорема о свойствах отношения ортогональности векторов.