Натуральное число


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$f = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$g = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$h = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$e = \Sigma(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$c = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел.

Множество $$a$$ — натуральное число (англ. natural number, нем. natürlichen Zahl), если множество $$a$$ является элементом множества натуральных чисел $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in c $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathbb{N}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathbb{N}$$.

Замечание
Так как сужение арифметики натуральных чисел до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой натуральных чисел, элемент носителя арифметики натуральных чисел будем также называть натуральным числом.