Линейно упорядоченная арифметика вещественных чисел

Из теоремы о линейном упорядочении арифметики вещественных чисел следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$f = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$j = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$l = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$q = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$m = f\setminus\{\, \mathfrak{o}_e \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle j,m \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$n = \mathrm{AlgStruct}(o,p,q)$$ - алгебраическая структура,
 * $$s = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$r = n\bigr|_s$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$r\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$n\in \mathrm{LinOrdStruct}(o;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$n\in \mathrm{Group}(o;+)$$ - группа,
 * $$u = \left|\circ\right|_{+_n}^{\leq_n}$$ - операция взятия модуля,
 * $$v = \mathrm{DistanceOp}_u^n(o)$$ - операция расстояния,
 * $$t = \langle o,n,v \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$t = \mathrm{MetricSpace}(o,n;v)$$ - метрическое пространство,
 * $$b = \mathrm{CauchySequence}_f^t(o)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — линейно упорядоченная арифметика вещественных чисел (англ. linearly ordered arithmetic of real numbers, нем. linear geordnete Arithmetik der reellen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall w \quad w = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_w\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Q})\\ \forall w \ \forall x \quad (\, w\in b \ \land \ x\in b \,) \Rightarrow \Bigl( \ \langle w,x \rangle \in \, \leq_a \, \Leftrightarrow \bigl(\, \exists y \quad y\in b \ \land \ x = +_a(w,y) \,\bigr) \ \Bigr) \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{R}_b)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{R})$$.
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ является арифметикой вещественных чисел,
 * 2) для любых двух элементов множества $$b$$ упорядоченная пара первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве $$b$$ тогда и только тогда, когда второй элемент множества $$b$$ равен сумме первого элемента множества $$b$$ и некоторого элемента множества $$b$$: