Теорема о существовании и единственности пересечения элементов множества

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любого непустого множества существует единственное пересечение элементов множества $$a$$: $$ \begin{cases} \forall a \quad {}^\neg(a = \varnothing) \Rightarrow \Bigl( \ \exists b \quad \Upsilon(a,b) \ \land \ \bigl(\, \forall c \quad \Upsilon(a,c) \Rightarrow c = b \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow (\, \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{c}\in \mathrm{d} \,)\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы объединения следует существование объединения элементов множества $$a$$ : $$ \exists c \quad \Bigl( \ \forall d \quad d\in c \Leftrightarrow \bigl(\, \exists e \quad d\in e \ \land \ e\in a \,\bigr) \ \Bigr) $$ Из аксиомы схемы выделения следует существование совокупности элементов множества $$b$$, которые принадлежат каждому элементу множества $$a$$ : $$ \exists b \quad \Bigl( \ \forall d \quad d\in b \Leftrightarrow \bigl(\, d\in c \ \land \ (\forall e \quad e\in a \Rightarrow d\in e) \,\bigr) \ \Bigr) $$ Построенное множество $$b$$ есть искомое пересечение элементов множества $$a$$. Таким образом, ввиду произвольности множества $$a$$ доказано существование пересечения элементов произвольного непустого множества.

Единственность
$$ \begin{cases} \exists a \quad {}^\neg(a = \varnothing) \ \land \ \Bigl( \ \forall b \quad \Upsilon(a,b) \Rightarrow \bigl(\, \exists c \quad \Upsilon(a,c) \ \land \ {}^\neg(c = b) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow (\, \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{c}\in \mathrm{d} \,)\\ \end{cases} $$