Теорема о существовании и единственности объединения элементов множества

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности.

Тогда для любого множества существует единственное объединение элементов множества $$a$$: $$ \begin{cases} \forall a \quad \Bigl( \ \exists b \quad \Upsilon(a,b) \ \land \ \bigl(\, \forall c \quad \Upsilon(a,c) \Rightarrow c = b \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow (\exists \mathrm{d} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{d} \ \land \ \mathrm{d}\in \mathrm{a})\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы объединения следует существование объединения элементов множества $$a$$ : $$ \begin{cases} \exists b \quad \Upsilon(a,b)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{c} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{b} \Leftrightarrow (\exists \mathrm{d} \quad \mathrm{c}\in \mathrm{d} \ \land \ \mathrm{d}\in \mathrm{a})\\ \end{cases} $$ Построенное множество $$b$$ есть искомое объединение элементов множества $$a$$. Таким образом, ввиду произвольности множества $$a$$ доказано существование объединения элементов произвольного множества.