Отношение эквивалентности

Совокупность отношений эквивалентности на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность отношений эквивалентности (англ. set of equivalence relations, нем. Menge der Äquivalenzrelationen) на множестве $$b$$, если произвольное бинарное отношение на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда бинарное отношение $$c$$ является рефлексивным отношением на множестве $$b$$, симметричным отношением на множестве $$b$$ и транзитивным отношением на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \bigl( \, c\in \mathrm{ReflexRel}(b) \ \land \ c\in \mathrm{SymRel}(b) \ \land \ c\in \mathrm{TransitRel}(b) \, \bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{EquivRel}(b)$$.

Отношение эквивалентности на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — отношение эквивалентности (англ. equivalence relation, нем. Äquivalenzrelation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности отношений эквивалентности на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{EquivRel}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{EquivRel}(b)$$.