Иррефлексивное отношение

Совокупность рефлексивных отношений на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность иррефлексивных отношений (англ. set of irreflexive relations, нем. Menge der irreflexiv Relationen) на множестве $$b$$, если произвольное бинарное отношение на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда бинарное отношение $$c$$ и диагональ множества $$b$$ являются взаимнодизъюнктными множествами: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \forall d \quad d = \mathrm{Diagonal}(b) \Rightarrow c \perp d \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{IrreflexRel}(b)$$.

Иррефлексивное отношение на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — иррефлексивное отношение (англ. irreflexive relation, нем. irreflexive Relation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности рефлексивных отношений на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{IrreflexRel}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{IrreflexRel}(b)$$.