Замкнутый шар

Замкнутый шар в метрическом пространстве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$o\in c$$ - точка,
 * $$p\in e$$ - элемент.

Множество $$a$$ — замкнутый шар (англ. closed ball, нем. geschlossenen Kugel) радиуса $$p$$ с центром в $$o$$ в метрическом пространстве $$b$$ или кратко шар радиуса $$p$$ с центром в $$o$$, если упорядоченная пара {расстояния точки $$o$$ до любой точки множества $$a$$} и множества $$p$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$k$$: $$ \Upsilon(a,\ldots, p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall q \quad q\in a \Leftrightarrow \langle n(o,q),p \rangle \in k_d $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{ClosedBall}_b(o,p)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{ClosedBall}(o,p)$$.