Размерность векторного пространства

Размерность конечномерного векторного пространства над полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция.
 * $$l = \mathrm{FinDimVectorSpace}(b,c;m,n)$$ - конечномерное векторное пространство,
 * $$a\in \mathrm{N}$$ - элемент множества-бесконечности.

Элемент $$a$$ множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$ — размерность (или ранг) (англ. dimension, нем. Dimension) конечномерного векторного пространства $$l$$ над полем $$d$$ или кратко размерность векторного пространства $$l$$, если существует базис векторного пространства $$a$$ над полем $$c$$ такой, что существует кортеж длины $$a$$ элементов базиса $$p$$, который является биекцией, действующей из множества $$a$$ в базис $$p$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists p \quad p\in \mathrm{Basis}(l) \ \land \ \bigl(\, \exists q \quad (q\in \mathrm{Function}(a,p) \ \land \ q\in \mathrm{Bijection}(a,p) \,\bigr) $$

Из теоремы о равномощности базисов векторного пространства следует справедливость следующего обозначения для размерности конечномерного векторного пространства $$l$$ $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Dim}(l)$$.