Алгебра множеств

Алгебра подмножеств множества

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень,
 * $$a\subseteq c$$ - система множеств.

Система подмножеств $$a$$ множества $$b$$ — алгебра подмножеств (англ. algebra of subsets, нем. Mengenalgebra) множества $$b$$ или кратко кольцо множеств, если система множеств $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} {}^\neg(a = \varnothing)\\ \forall d \quad d\in a \Rightarrow \bigl( \forall e \quad e = \mathrm{Compl}_b(d) \Rightarrow e \in a \bigr)\\ \forall d \ \forall e \quad (e\in a \ \land \ f\in a) \Rightarrow (e\cup f)\in a\\ \end{cases} $$
 * система множеств $$a$$ непуста;
 * для любого элемента системы множеств $$a$$ дополнение множества $$d$$ до множества $$b$$ принадлежит системе множеств $$a$$;
 * для любых двух элементов системы множеств $$a$$ объединение множеств $$d,e$$ принадлежит множеству $$a$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Algebra}(b)$$.

σ-алгебра подмножеств множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$g = \Sigma(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$h = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$i = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$j = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$e = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень,
 * $$a\subseteq c$$ - система множеств.

Система подмножеств $$a$$ множества $$b$$ — σ-алгебра подмножеств (сигма-алгебра подмножеств) (англ. σ-algebra of subsets, нем. σ-Mengenalgebra) множества $$b$$ или кратко σ-алгебра множеств, если система множеств $$a$$ является алгеброй подмножеств множества $$b$$ и для произвольной последовательности элементов системы множеств $$a$$ объединение элементов системы множеств $$a$$ по множеству натуральных чисел $$e$$ последовательностью $$k$$ принадлежит системе множеств $$a$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{Algebra}(b)\\ \forall k \quad k\in \mathrm{Sequence}_e(a) \Rightarrow \Bigl( \forall l \quad l = \bigcup\limits_k a \Rightarrow l\in a \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{\sigma Algebra}(b)$$.