Теорема о построении внешней меры на множестве на основе меры на полукольце множеств

Пусть
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,n,m,k,l,o,p,q,r,s,t,u$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(a)$$ - множество-степень,
 * $$b\subseteq c$$ - система множеств,
 * $$b\in \mathrm{Semiring}(c)$$ - полукольцо множеств,
 * $$g = \langle h,i,j \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$g = \Sigma(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in h \ \land \ j(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in i \ \land \ j(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{LinOrdGroup}(e;\leqslant,+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$m = \mathrm{PowerSet}(e)$$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\subseteq m$$ - система множеств,
 * $$l\in \mathrm{Top}(e)$$ - топология на множестве,
 * $$k = \mathrm{TopSpace}(e,l)$$ - топологическое пространство,
 * $$n\in \mathrm{Function}(b,e)$$ - функция,
 * $$n\in \mathrm{Measure}_d(b,e)$$ - мера на полукольце множеств,
 * $$r = \langle s,t,u \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$r = \Sigma(s,t,u)$$ - сигнатура,
 * $$s = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$t = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$u = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$o = \langle p,q,r \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$o = \mathrm{AlgStruct}(p,q,r)$$ - алгебраическая структура,
 * $$o\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$p = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,

тогда функция, действующая из множества-степени $$c$$ множества $$a$$ в носитель $$e$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$, удовлетворяющая следующему условию:

для любого подмножества множества $$a$$ значение функции $$v$$ от множества $$w$$ равно инфимуму множества, состоящего из сумм рядов из членов последовательностей элементов носителя $$e$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$, удовлетворяющих следующему условию: существует счётное покрытие множества $$w$$ полукольцом множеств $$b$$ такое, что для любого натурального числа $$\beta$$-й член последовательности $$z$$ равен значению меры $$n$$ от $$\beta$$-го члена счётного покрытия $$\alpha$$,

является внешней мерой на множестве $$c$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$e$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \ldots \ \forall u \qquad \begin{cases} c = \mathrm{PowerSet}(a)\\ b\subseteq c\\ b\in \mathrm{Semiring}(c)\\ g = \langle h,i,j \rangle\\ g = \Sigma(h,i,j)\\ \leqslant\in h \ \land \ j(\leqslant) = 2_\mathrm{N}\\ +\in i \ \land \ j(+) = 2_\mathrm{N}\\ d = \langle e,f,g \rangle\\ d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)\\ d\in \mathrm{LinOrdGroup}(e;\leqslant,+)\\ m = \mathrm{PowerSet}(e)\\ l\subseteq m\\ l\in \mathrm{Top}(e)\\ k = \mathrm{TopSpace}(e,l)\\ n\in \mathrm{Function}(b,e)\\ n\in \mathrm{Measure}_d(b,e)\\ r = \langle s,t,u \rangle\\ r = \Sigma(s,t,u)\\ s = \varnothing\\ t = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}\\ u = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}\\ o = \langle p,q,r \rangle\\ o = \mathrm{AlgStruct}(p,q,r)\\ o\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})\\ p = \mathbb{N}\\ \end{cases} \Rightarrow \Biggl( \forall v \quad \Bigl( v\in \mathrm{Function}(c,e) \Rightarrow \bigl( \forall w \quad w\subseteq a \Rightarrow \Upsilon(a,\ldots,w) \bigr) \Bigr) \Rightarrow v\in \mathrm{OuterMeasure}_{\langle d,k \rangle}(c,e) \Biggr)\\ \\ \Upsilon(a,\ldots,w) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall x \quad \Bigl( \forall y \quad y\in x \Leftrightarrow \Psi(a,\ldots,y) \Bigr) \Rightarrow v(w) = \mathrm{Infimum}(x)\\ \Phi(a,\ldots,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists z \quad \Bigl( z\in \mathrm{Sequence}_p(e) \ \land \ \Chi(a,\ldots,z) \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall \alpha \quad \alpha = \mathrm{Series}_d(z) \Rightarrow y\in \mathrm{Limits}_k(\alpha) \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,z) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \alpha \quad \alpha\in \mathrm{CountableCoverage}_b(w) \ \land \ \Bigl( \forall \beta \quad \beta\in p \Rightarrow z(\beta) = n\bigl(\alpha(\beta)\bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $$