Нижняя грань

Совокупность нижних граней подмножества носителя линейно упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры.

Множество $$a$$ — совокупность нижних граней (англ. set of lower bounds, нем. Menge der untere Schranken) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ или кратко совокупность нижних граней множества $$j$$, если множество $$a$$ состоит из элементов носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ таких, что для произвольного элемента подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ упорядоченная пара множеств $$k,l$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$i$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in a \Leftrightarrow \Bigl( k\in c \ \land \ \bigl( \forall l \quad l\in j \Rightarrow \langle k,l \rangle\in i_b \bigr) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LowerBound}_{i_b}(j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LowerBound}(j)$$.

Нижняя грань подмножества носителя линейно упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры.

Множество $$a$$ — нижняя грань (или миноранта) (англ. lower bound, нем. untere Schranke) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ или кратко нижняя грань множества $$j$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности нижних граней подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{LowerBound}_{i_b}(j) \Rightarrow a\in k $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LowerBound}_{i_b}(j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LowerBound}(j)$$.

Связанные определения
Верхняя грань.