Полное отношение

Совокупность полных отношений на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность полных отношений (англ. set of total relations, нем. Menge der totale Relationen) на множестве $$b$$, если произвольное бинарное отношение на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда для любых двух элементов множества $$b$$ упорядоченная пара множества $$d$$ и множества $$e$$ принадлежит бинарному отношению $$c$$ или упорядоченная пара множества $$e$$ и множества $$d$$ принадлежит бинарному отношению $$c$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \Bigl(\, \forall d \ \forall e \quad (d\in b \ \land \ e\in b) \Rightarrow \bigl( \langle d,e \rangle \in c \ \lor \ \langle e,d \rangle \in c \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{TotalRel}(b)$$.

Полное отношение на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — полное отношение (англ. total relation, нем. totale Relation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности полных отношений на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{TotalRel}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{TotalRel}(b)$$.