Линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел

Из теоремы о линейном упорядочении арифметики натуральных чисел следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \leq \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$f = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел (англ. linearly ordered arithmetic of natural numbers, нем. linear geordnete Arithmetik der natürlichen Zahlen) по отношению $$\leq$$, если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall h \quad h = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})\\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \Bigl( \ \langle h,i \rangle \in \, \leq_a \, \Leftrightarrow \bigl(\, \exists j \quad j\in b \ \land \ i = +_a(h,j) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}\left(\mathfrak{N}\right)$$.
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является арифметикой натуральных чисел,
 * 2) упорядоченная пара двух произвольных элементов множества $$b$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ тогда и только тогда, когда второй элемент множества $$b$$ равен сумме первого элемента множества $$b$$ и некоторого элемента множества $$b$$: