Арифметика натуральных чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$f = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — арифметика натуральных чисел (англ. arithmetic of natural numbers, нем. Arithmetik der natürlichen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим свойствам: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall h \quad h = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_h\in \mathfrak{N}\\ \\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \begin{cases} i = \mathfrak{o}_a \Rightarrow +_a(h,i) = h\\ \exists j \quad j\in b \ \land \ i = \mathfrak{s}_a(j) \ \land \ +_a( h,i) = \mathfrak{s}_a \bigl( +_a(h,j) \bigr)\\ \end{cases}\\ \\ \forall h \ \forall i \quad (h\in b \ \land \ i\in b) \Rightarrow \begin{cases} i = \mathfrak{o}_a \Rightarrow \ \cdot_{\ a}(h,\mathfrak{o}_a) = \mathfrak{o}_a\\ \exists j \quad j\in b \ \land \ i = \mathfrak{s}_a(j) \ \land \ \cdot_{\ a}(h,i) = +_a \bigl( \ \cdot_{\ a}(h,j), j \bigr)\\ \end{cases}\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}\left(\mathfrak{N}_b\right)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Arithmetic}\left(\mathfrak{N}\right)$$.
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой натуральных чисел,
 * 2) сумма двух произвольных элементов множества $$b$$ определяется индукцией по второму элементу множества $$b$$:
 * 3) *если второй элемент множества $$b$$ равен нулю, то сумма первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ является первым элементом множества $$b$$;
 * 4) *второй элемент множества $$b$$ равен последователю некоторого элемента множества $$b$$ и сумма первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ является последователем суммы первого элемента множества $$b$$ и данного элемента множества $$b$$;
 * 5) произведение двух произвольных элементов множества $$b$$ определяется индукцией по второму элементу множества $$b$$:
 * 6) *если второй элемент множества $$b$$ равен нулю, то произведение первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ равно нулю;
 * 7) *второй элемент множества $$b$$ равен последователю некоторого элемента множества $$b$$ и сумма первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ является суммой произведения первого элемента множества $$b$$ на данный элемент множества $$b$$ и данного элемента множества $$b$$:

Связанные статьи
Теорема о существовании арифметики натуральных чисел;

Некоторые свойства арифметики натуральных чисел;

Рекурсивная функция.