Векторное пространство со скалярным и векторным умножением векторов

Векторное пространство со скалярным и векторным умножением векторов над линейно упорядоченным полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$r\in \mathrm{Function}(s,d)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,r)$$ - векторное пространство со скалярным умножением векторов,
 * $$t\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$a = \langle p,t \rangle$$ - упорядоченная пара множеств.

Упорядоченная пара $$a$$ векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ и бинарной операции $$t$$ — векторное пространство со скалярным и векторным умножением векторов (англ. vector space with scalar and vector multiplication of vectors, нем. Vektorraum mit der skalar und vektorielles Multiplikation von Vektoren) над линейно упорядоченным полем $$c$$ или кратко векторное пространство со скалярным и векторным умножением векторов, если операция $$t$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall u \quad u\in b \Rightarrow t(u,u) = \vec{0}_q\\ \forall u \ \forall v \quad (u\in b \ \land \ v\in b) \Rightarrow \Bigl( \ \forall w \quad w\in b \Rightarrow \bigl(\, w = t(v,u) \Rightarrow t(u,v) = \mathrm{Inversion}_m^{\vec{0}_q}(w) \,\bigr) \ \Bigr)\\ t\in \mathrm{RightDistribOp}_m(b)\\ \forall u \ \forall v \ \forall w \quad \bigl( u\in d \ \land \ (v\in b \ \land \ w\in b) \bigr) \Rightarrow t\bigl( n(u,v),w \bigr) = n\bigl( u, t(v,w) \bigr)\\ \forall u \ \forall v \ \forall w \quad \bigl( u\in b \ \land \ (v\in b \ \land \ w\in b) \bigr) \Rightarrow \Bigl( \ \forall x \quad x\in b \Rightarrow \Bigl(\, x = n\bigl( r(u,v),w \bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,x) \,\Bigr) \ \Bigr)\\ \forall u \ \forall v \ \forall w \quad \bigl( u\in b \ \land \ (v\in b \ \land \ w\in b) \bigr) \Rightarrow r\bigl( t(u,v),w \bigr) = r\bigl( u,t(v,w) \bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall y \quad y= \mathrm{Inversion}_m^{\vec{0}_q}(x) \Rightarrow t\bigl( u,t(v,w) \bigr) = m\Bigl( n\bigl( r(u,w),v \bigr),y \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) для любого вектора векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ значение операции $$t$$ от векторов $$u,u$$ равно нулевому вектору;
 * 2) для любых двух векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ значение операции $$t$$ от векторов $$u,v$$ равно инверсии [ значения операции $$t$$ от векторов $$v,u$$ ] относительно сложения векторов $$m$$ и нулевого вектора;
 * 3) операция $$t$$ является праводистрибутивной операцией на множестве $$b$$ относительно сложения векторов $$m$$ на множестве $$b$$;
 * 4) для любого скаляра векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ и для любых двух векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ значение операции $$t$$ от [ произведения вектора $$v$$ на скаляр $$u$$ ] и вектора $$w$$ равно произведению [ значения операции $$t$$ от векторов $$v,w$$ ] на скаляр $$u$$;
 * 5) для любых трёх векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ значение операции $$t$$ от вектора $$u$$ и [ значения операции $$t$$ от векторов $$v,w$$ ] равно сумме [ произведения вектора $$v$$ на скалярное произведение векторов $$u,w$$ ] и инверсии [ произведения вектора $$w$$ на скалярное произведение векторов $$u,v$$ ] относительно сложения векторов и нулевого вектора;
 * 6) для любых трёх векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ скалярное произведение [ значения операции $$t$$ от векторов $$u,v$$ ] и вектора $$w$$ равно скалярному произведению вектора $$u$$ и [ значения операции $$t$$ от векторов $$v,w$$ ]:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{VectorSpaceWithSVMoV}(b,c;m,n,r,t)$$.

Связанные статьи
Векторное умножение векторов векторного пространства со скалярным и векторным умножением векторов.