Теорема о существовании и единственности упорядоченной пары множеств

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома множества-степени,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любых двух множеств существует единственная упорядоченная пара множеств $$a,b$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \quad \Bigl( \ \exists c \quad \Upsilon(a,b,c) \ \land \ \bigl(\, \forall d \quad \Upsilon(a,b,d) \Rightarrow d = c \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl( \mathrm{d} = \{\, \mathrm{a} \,\} \ \lor \ \mathrm{d} = \{\, \mathrm{a},\mathrm{b} \,\} \bigr)\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы пары следует существование пары множеств $$a,b$$ : $$ \exists d \quad d = \{a,b\} $$ Из аксиомы множества-степени следует существование множества-степени множества $$d$$ : $$ \exists e \quad e = \mathrm{PowerSet}(d) $$ Из аксиомы схемы выделения следует существование совокупности элементов множества $$e$$, которые содержат множество $$a$$ : $$ \exists c \quad \bigl(\, \forall f \quad f\in c \Leftrightarrow (f\in e \ \land \ a\in f) \,\bigr) $$ Построенное множество $$c$$ есть искомая упорядоченная пара множеств $$a,b$$. Таким образом, ввиду произвольности множеств $$a,b$$ доказано существование упорядоченной пары любых двух множеств.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.

Пусть для некоторых двух множеств для произвольной упорядоченной пары множеств $$a,b$$ существует упорядоченная пара множеств $$a,b$$ неравная множеству $$c$$: $$ \begin{cases} \exists a \ \exists b \quad \Bigl( \ \forall c \quad \Upsilon(a,b,c) \Rightarrow \bigl(\, \exists d \quad \Upsilon(a,b,d) \ \land \ {}^\neg(d = c) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl( \mathrm{d} = \{ \mathrm{a} \} \ \lor \ \mathrm{d} = \{ \mathrm{a},\mathrm{b} \} \bigr)\\ \end{cases} $$

Из определения упорядоченной пары множеств следует, что: $$ \begin{cases} \forall e \quad e\in c \Leftrightarrow \bigl(\, e = \{a\} \ \lor \ e = \{a,b\} \,\bigr)\\ \forall e \quad e\in d \Leftrightarrow \bigl(\, e = \{a\} \ \lor \ e = \{a,b\} \,\bigr)\\ \end{cases} $$ Таким образом, множества $$c,d$$ состоят из одних и тех же элементов: $$ \forall e \quad e\in c \Leftrightarrow e\in d $$ Из аксиомы объёмности следует, что множества $$c,d$$ равны: $$ c = d $$ Пришли к необходимому противоречию. Таким образом доказана единственность упорядоченной пары любых двух множеств.
 * множество $$c$$ состоит из единичного множества множества $$a$$ и пары множеств $$a,b$$,
 * множество $$d$$ состоит из единичного множества множества $$a$$ и пары множеств $$a,b$$: