Транзитивное отношение

Совокупность транзитивных отношений на множестве

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — совокупность транзитивных отношений (англ. set of transitive relations, нем. Menge der transitiv Relationen) на множестве $$b$$, если произвольное бинарное отношение на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда композиция бинарного отношения $$c$$ и бинарного отношения $$c$$ является подмножеством бинарного отношения $$c$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in \mathrm{Rel}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ c\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \forall d \quad d = \mathrm{CompRel}(c,c) \Rightarrow d\subseteq c \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{TransitRel}(b)$$.

Транзитивное отношение на множестве

 * $$a,b$$ - множества,
 * $$a = \mathrm{TransitRel}(b)$$ -.

Множество $$a$$ — транзитивное отношение (англ. transitive relation, нем. transitive Relation) на множестве $$b$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности транзитивных отношений на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c = \mathrm{TransitRel}(b) \Rightarrow a\in c $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{TransitRel}(b)$$.