Объединение

Объединение элементов множества

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — объединение (или множество-сумма) (англ. union or sum-set, нем. Vereinigungsmenge) элементов множества $$b$$, если множество $$a$$ состоит из элементов множеств, содержащихся в множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall c \quad c\in a \Leftrightarrow (\exists d \quad c\in d \ \land \ d\in b) $$

Из теоремы о существовании и единственности объединения элементов множества следует справедливость следующего обозначения для объединения элементов множества $$a$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup b $$

Дизъюнктное объединение элементов множества

 * $$a,b$$ - множества.

Множество $$a$$ — дизъюнктное объединение (англ. disjoint union, нем. disjunkte Vereinigungsmenge) элементов множества $$b$$, если множество $$b$$ является дизъюнктным множеством и множество $$a$$ является объединением элементов множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ b^\perp \ \land \ a = \bigcup b $$

Из теоремы о существовании и единственности объединения элементов множества следует справедливость следующего обозначения для дизъюнктного объединения элементов множества $$a$$: $$ \Upsilon(a,b) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigsqcup b $$

Объединение двух множеств

 * $$a,b,c$$ - множества.

Множество $$a$$ — объединение (англ. union, нем. Vereinigungsmenge) множеств $$b,c$$, если множество $$a$$ состоит из элементов множества $$b$$ и элементов множества $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in a \Leftrightarrow (d\in b \ \lor \ d\in c) $$ Из теоремы о существовании и единственности объединения двух множеств следует справедливость следующего обозначения для объединения множеств $$b,c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = (b\cup c) $$

Объединение элементов множества по множеству функцией

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$d\in \mathrm{Function}(c,b)$$ - функция.

Множество $$a$$ — объединение (англ. union, нем. Vereinigungsmenge) элементов множества $$b$$ по множеству $$c$$ функцией $$d$$ или кратко объединение элементов множества $$b$$ функцией $$d$$, если множество $$a$$ является объединением элементов области значений функции $$d$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e = \mathrm{Range}(d) \Rightarrow a = \bigcup e $$ Из теоремы о существовании и единственности объединения элементов множества по множеству функцией следует справедливость следующего обозначения для объединения элементов множества $$b$$ по множеству $$c$$ функцией $$d$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup\limits_{\epsilon\in c} b_{d(\epsilon)} $$ или кратко $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \bigcup\limits_d b. $$