Кольцо

Кольцо по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — кольцо (англ. ring, нем. Ring) по операциям $$h,i$$ или кратко кольцо, если алгебраическая структура $$a$$ является коммутативной группой по операции $$h$$, полугруппой по операции $$i$$ и интерпретация символа операции $$i$$ на множестве $$b$$ является дистрибутивной операцией на множестве $$b$$ относительно интерпретации символа операции $$h$$ на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \bigl( a\in \mathrm{CommGroup}(b;h) \ \land \ a\in \mathrm{Semigroup}(b;i) \bigr) \ \land \ i_a\in \mathrm{DistribOp}_{h_a}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Ring}(b;h,i)$$.

Замечание
Кольцо по операциям $$+, \cdot$$ будем называть стандартным кольцом (англ. standard ring, нем. standard Ring).

Кольцо с нейтральным элементом по операциям

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N} \ \land \ i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — кольцо с нейтральным элементом (или кольцо с единицей) (англ. unital ring or unitary ring, ring with unity, ring with identity, нем. unitären Ring oder Ring mit Eins) по операциям $$h,i$$ или кратко кольцо с нейтральным элементом, если алгебраическая структура $$a$$ является кольцом по операциям $$h,i$$ и существует нейтральный элемент интерпретации символа операции $$i$$ на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Ring}(b;h,i) \ \land \ \bigl( \ \exists j \quad j\in b \ \land \ j\in \mathrm{Neutral}(i_a) \ \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{UnitalRing}(b;h,i)$$.

Связанные определения
Кольцо с сопряжением;

Тело;

Поле.