Мера

Мера на полукольце множеств над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$b\subseteq d$$ - система множеств,
 * $$b\in \mathrm{Semiring}(d)$$ - полукольцо множеств,
 * $$h = \langle i,j,k \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$h = \Sigma(i,j,k)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in i \ \land \ k(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{LinOrdGroup}(f;\leqslant,+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$a\in \mathrm{Function}(b, f)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из полукольца множеств $$b$$ в носитель $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$ — мера (англ. measure, нем. Maß) на полукольце множеств $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$e$$, или кратко мера на полукольце множеств $$b$$, если функция $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a\in \mathrm{AdditiveFunction}_e(b,f)\\ \forall l \quad l\in b \Rightarrow \Bigl( \ \forall m \quad m = \mathrm{Neutral}(+_e) \Rightarrow \langle m,a(l) \rangle\in \leqslant_e \ \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) функция $$a$$ является аддитивной функцией системы множеств $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$e$$;
 * 2) для произвольного элемента полукольца множеств $$b$$ упорядоченная пара ноля стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$ и значения функции $$a$$ от множества $$m$$ принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$l$$ на множестве $$f$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Measure}_e(b,f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Measure}(b,f)$$.

Внешняя мера на множестве над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень,
 * $$g = \langle h,i,j \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in i \ \land \ j(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in i \ \land \ j(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{LinOrdGroup}(e;+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$m = \mathrm{PowerSet}(e)$$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\subseteq m$$ - подмножество множества-степени носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$l\in \mathrm{Top}(e)$$ - топология на носителе стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$k = \mathrm{TopSpace}(e,l)$$ - топологическое пространство,
 * $$a\in \mathrm{Function}(c,f)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из множества-степени $$c$$ множества $$b$$ в носитель $$e$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$d$$ — внешняя мера (англ. outer measure, нем. äußeres Maß) на множестве $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$, или кратко внешняя мера на множестве $$b$$, если функция $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} a(\varnothing) = \mathrm{Neutral}(+_d)\\ \forall n \ \forall o \quad (n\in c \ \land \ o\in c) \Rightarrow \Bigl( n\subseteq o \Rightarrow \bigl\langle a(n),a(o) \bigr\rangle\in \leqslant_d \Bigr)\\ a\in \mathrm{\sigma SubadditiveFunction}_{\langle d,k \rangle}(c,e)\\ \end{cases} $$
 * 1) значение функции $$a$$ от пустого множества равно нолю стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$d$$;
 * 2) для любых двух элементов множества-степени $$c$$ множества $$b$$ если множество $$n$$ является подмножеством множества $$o$$, то упорядоченная пара {значения функции $$a$$ от множества $$n$$} и {значения функции $$a$$ от множества $$o$$} принадлежит интерпретации символа бинарного отношения $$\leqslant$$ на множестве $$e$$;
 * 3) функция $$a$$ является σ-субаддитивной функцией системы множеств $$c$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{OuterMeasure}_{\langle d,k \rangle}(c,e)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{OuterMeasure}(c,e)$$.

Внешняя мера на множестве над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой, ассоциированной с топологическим пространством, порождённая мерой на полукольце множеств

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,o,n,l,m,p,q,r,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень,
 * $$c\subseteq d$$ - система множеств,
 * $$c\in \mathrm{Semiring}(d)$$ - полукольцо множеств,
 * $$h = \langle i,j,k \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$h = \Sigma(i,j,k)$$ - сигнатура,
 * $$\leqslant\in i \ \land \ k(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$+\in j \ \land \ k(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{LinOrdGroup}(f;\leqslant,+)$$ - стандартная линейно упорядоченная аддитивная группа,
 * $$n = \mathrm{PowerSet}(f)$$ - множество-степень носителя стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы,
 * $$m\subseteq n$$ - система множеств,
 * $$m\in \mathrm{Top}(f)$$ - топология на множестве,
 * $$l = \mathrm{TopSpace}(f,m)$$ - топологическое пространство,
 * $$o\in \mathrm{Function}(c,f)$$ - функция,
 * $$o\in \mathrm{Measure}_e(c,f)$$ - мера на полукольце множеств,
 * $$s = \langle t,u,v \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$s = \Sigma(t,u,v)$$ - сигнатура,
 * $$t = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$u = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$v = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$p = \langle q,r,s \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$p = \mathrm{AlgStruct}(q,r,s)$$ - алгебраическая структура,
 * $$p\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$q = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$a\in \mathrm{Function}(d,f)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из множества-степени $$d$$ множества $$b$$ в носитель $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$, ассоциированной с топологическим пространством — внешняя мера (англ. outer measure, нем. äußeres Maß) на множестве $$b$$ над стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой $$d$$, ассоциированной с топологическим пространством $$k$$, порождённая мерой $$o$$ на полукольце множеств $$c$$, или кратко внешняя мера на множестве $$b$$ порождённая мерой $$o$$, если для любого подмножества множества $$b$$ значение функции $$v$$ от множества $$w$$ равно инфимуму множества, состоящего из сумм рядов из членов последовательностей элементов носителя $$f$$ стандартной линейно упорядоченной аддитивной группы $$e$$, ассоциированной с топологическим пространством $$l$$, удовлетворяющих следующему условию: существует счётное покрытие множества $$w$$ полукольцом множеств $$c$$ такое, что для любого натурального числа $$\beta$$-й член последовательности $$z$$ равен значению меры $$o$$ от $$\beta$$-го члена счётного покрытия $$\alpha$$ $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall w \quad w\subseteq b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,w)\\ \Phi(a,\ldots,w) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall x \quad \Bigl( \forall y \quad y\in x \Leftrightarrow \Chi(a,\ldots,y) \Bigr) \Rightarrow a(w) = \mathrm{Infimum}(x)\\ \Chi(a,\ldots,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists z \quad \Bigl( z\in \mathrm{Sequence}_q(f) \ \land \ \Psi(a,\ldots,z) \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall \alpha \quad \alpha = \mathrm{Series}_e(z) \Rightarrow y\in \mathrm{Limits}_l(\alpha) \Bigr)\\ \Psi(a,\ldots,z) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \alpha \quad \alpha\in \mathrm{CountableCoverage}_c(w) \ \land \ \Bigl( \forall \beta \quad \beta\in q \Rightarrow z(\beta) = o\bigl(\alpha(\beta)\bigr) \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{GenOuterMeasure}_{\langle e,l \rangle}^n(d,f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{GenOuterMeasure}(d,f)$$.