Дистрибутивная операция

Совокупность леводистрибутивных операций на множестве относительно бинарной операции

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $${}^\neg (c\in a)$$ - не элемент множества.

Множество $$a$$ — совокупность леводистрибутивных операций (англ. set of left-distributive operations, нем. Menge der linksdistributiv Operationen) на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ или кратко совокупность леводистрибутивных операций, если произвольная бинарная операция на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда для любых трёх элементов множества $$b$$ значение бинарной операции $$d$$ от множества $$e$$ и {значения бинарной операции $$c$$ от множества $$f$$ и множества $$g$$} равно значению бинарной операции $$c$$ от {значения бинарной операции $$d$$ от множества $$e$$ и множества $$f$$} и {значения бинарной операции $$d$$ от множества $$e$$ и множества $$g$$}: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in \mathrm{Op}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \, \forall e \ \forall f \ \forall g \quad (e\in b \ \land \ f\in b \ \land \ g\in b) \Rightarrow d\bigl( \, e, c(f,g) \, \bigr) = c\bigl( \, d(e,f), d(e,g) \, \bigr) \, \Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LeftDistribOp}_c(b)$$.

Леводистрибутивная операция на множестве относительно бинарной операции

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция на множестве,
 * $${}^\neg(a = c)$$ - неравные множества.

Множество $$a$$ — леводистрибутивная операция (англ. left-distributive operation, нем. linksdistributive Operation) на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ или кратко леводистрибутивная операция, если множество $$a$$ является элементом совокупности леводистрибутивных операций на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \mathrm{LeftDistribOp}_c(b) \Rightarrow a\in d $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LeftDistribOp}_c(b)$$.

Совокупность праводистрибутивных операций на множестве относительно бинарной операции

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $${}^\neg (c\in a)$$ - не элемент множества.

Множество $$a$$ — совокупность праводистрибутивных операций (англ. set of right-distributive operations, нем. Menge der rechtsdistributiv Operationen) на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ или кратко совокупность праводистрибутивных операций, если произвольная бинарная операция на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда для трёх произвольных элементов множества $$b$$ значение бинарной операции $$d$$ от {значения бинарной операции $$d$$ от множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$} и третьего элемента множества $$b$$ равно значению бинарной операции $$d$$ от {значения данного элемента множества $$c$$ от первого элемента множества $$b$$ и третьего элемента множества $$b$$} и {значения данного элемента множества $$c$$ от второго элемента множества $$b$$ и третьего элемента множества $$b$$}: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in \mathrm{Op}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ d\in a \Leftrightarrow \Bigl( \, \forall e \ \forall f \ \forall g \quad (e\in b \ \land \ f\in b \ \land \ g\in b) \Rightarrow d\bigl( \, c(e,f), g \, \bigr) = c\bigl( \, d(e,g), d(f,g) \, \bigr) \, \Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{RightDistribOp}_c(b)$$.

Праводистрибутивная операция на множестве относительно бинарной операции

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция на множестве,
 * $${}^\neg(a = c)$$ - неравные множества.

Множество $$a$$ — праводистрибутивная операция (англ. right-distributive operation, нем. rechtsdistributive Operation) на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ или кратко праводистрибутивная операция, если множество $$a$$ является элементом совокупности праводистрибутивных операций на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \mathrm{RightDistribOp}_c(b) \Rightarrow a\in d $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{RightDistribOp}_c(b)$$.

Совокупность дистрибутивных операций на множестве относительно бинарной операции

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $${}^\neg (d\in a)$$ - не элемент множества.

Множество $$a$$ — совокупность дистрибутивных операций (англ. set of distributive operations, нем. Menge der distributiv Operationen) на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ или кратко совокупность дистрибутивных операций, если произвольная бинарная операция на множестве $$b$$ принадлежит множеству $$a$$ тогда и только тогда, когда бинарная операция $$d$$ является леводистрибутивной операцией на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ и бинарная операция $$d$$ является праводистрибутивной операцией на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d\in \mathrm{Op}^2(b) \Rightarrow \Bigl( \ d\in a \Leftrightarrow \bigl( \, d\in \mathrm{LeftDistribOp}_c(b) \ \land \ d\in \mathrm{RightDistribOp}_c(b) \, \bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DistribOp}_c(b)$$.

Дистрибутивная операция на множестве относительно бинарной операции

 * $$a,b,c$$ - множества,
 * $$c\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция на множестве,
 * $${}^\neg(a = c)$$ - неравные множества.

Множество $$a$$ — дистрибутивная операция (англ. distributive operation, нем. distributive Operation) на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$ или кратко дистрибутивная операция, если множество $$a$$ является элементом совокупности дистрибутивных операций на множестве $$b$$ относительно бинарной операции $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall d \quad d = \mathrm{DistribOp}_c(b) \Rightarrow a\in d $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DistribOp}_c(b)$$.