Структура натуральных чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \Sigma(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \varnothing$$ - пустое множество,
 * $$f = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — структура натуральных чисел (англ. structure of natural numbers, нем. Struktur der natürlichen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} {}^\neg\Bigl( \exists h \quad h\in b \ \land \ \mathfrak{s}_a(h) = \mathfrak{0}_a \Bigr)\\ \mathfrak{s}_a \in \mathrm{Injection}(b,b)\\ \forall \Phi \quad \Phi\in\mathrm{Pred}^1(b) \Rightarrow \Bigl( \ \Bigl( \ \Phi(\mathfrak{0}_a) \ \land \ \bigl( \ \forall h \quad h\in b \Rightarrow \bigl(\, \Phi(h) \Rightarrow \Phi (\mathfrak{s}_a(h)) \,\bigr) \ \bigr) \ \Bigr) \Rightarrow \bigl(\, \forall i \quad i\in b \Rightarrow \Phi(i) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) неверно, что последователь некоторого элемента множества $$b$$ равен нулю;
 * 2) операция следования на множестве $$b$$ является инъекцией, действующей из множества $$b$$ в множество $$b$$;
 * 3) если произвольный одноместный предикат, определённый на множестве $$b$$, истинен для нуля и из истинности данного предиката для любого элемента множества $$b$$ следует истинность данного предиката на последователе данного элемента множества $$b$$, то данный предикат истинен для любого элемента множества $$b$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{N}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{N}$$.

Связанные определения
Множество натуральных чисел;

Арифметика натуральных чисел.

Связанные статьи
Пеано, Джузеппе;

Теорема о существовании структуры натуральных чисел.