Линейно упорядоченная группа

Линейно упорядоченная группа по отношению и операции

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in e \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$i\in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ сигнатуры $$d$$, образованная множествами $$b,c$$ — линейно упорядоченная группа (англ. linearly ordered group, нем. linear geordnete Gruppe) по отношению $$h$$ и операции $$i$$, если алгебраическая структура $$a$$ является линейно упорядоченной структурой по отношению $$h$$ и алгебраическая структура $$a$$ является группой по операции $$i$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a \in \mathrm{LinOrdStruct}(b;h) \ \land \ a \in \mathrm{Group}(b;i) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdGroup}(b;h,i)$$.

Замечание
Линейно упорядоченную группу по отношению $$\leqslant$$ и операции $$+$$ будем называть стандартной линейно упорядоченной аддитивной группой (англ. standard linearly ordered additive group, нем. standard linear geordnete additiv Gruppe).

Линейно упорядоченную группу по отношению $$\leqslant$$ и операции $$\cdot$$ будем называть стандартной линейно упорядоченной мультипликативной группой (англ. standard linearly ordered multiplicative group, нем. standard linear geordnete multiplikativ Gruppe).