Верхняя грань

Совокупность верхних граней подмножества носителя линейно упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры.

Множество $$a$$ — совокупность верхних граней (англ. set of upper bounds, нем. Menge der obere Schranken) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ или кратко совокупность верхних граней множества $$j$$, если множество $$a$$ состоит из элементов носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ таких, что для произвольного элемента носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ упорядоченная пара множеств $$l,k$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$i$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall l \quad l\in c \Rightarrow \langle l,k \rangle\in i_b \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{UpperBound}_{i_b}(c)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{UpperBound}(c)$$.

Верхняя грань подмножества носителя линейно упорядоченной структуры

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$i\in f \ \land \ h(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ отношения бинарного отношения,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{LinOrdStruct}(c;i)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$j\subseteq c$$ - подмножество носителя линейно упорядоченной структуры.

Множество $$a$$ — верхняя грань (или мажоранта) (англ. upper bound, нем. obere Schranke) подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$ или кратко верхняя грань множества $$j$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности верхних граней подмножества $$j$$ носителя $$c$$ линейно упорядоченной структуры $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \quad k = \mathrm{UpperBound}_{i_b}(j) \Rightarrow a\in k $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{UpperBound}_{i_b}(j)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{UpperBound}(j)$$.

Связанные определения
Нижняя грань.