Дифференцируемый оператор

Совокупность дифференцируемых в точке операторов метрического нормированного векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$w = \mathrm{Operator}(q)$$ - совокупность операторов,
 * $$a\subseteq w$$ - подмножество совокупности операторов,
 * $$x\in b$$ - точка метрического нормированного векторного пространства.

Множество $$a$$ — совокупность дифференцируемых в точке $$x$$ операторов (англ. set of differentiable at point $$x$$ operators, нем. Menge von differenzierbar im Punkt $$x$$ Operatoren) метрического нормированного пространства $$t$$ кратко совокупность дифференцируемых в точке $$x$$ операторов, если для любого элемента множества $$a$$ существуют ограниченный линейный оператор и оператор, удовлетворяющие следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall y \quad y\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists z \ \exists \alpha \quad \Bigl(\, \bigl( z\in \mathrm{LinOperator}(q) \ \land \ z\in \mathrm{BoundedOperator}(p) \bigr) \alpha\in \mathrm{Operator}(q) \,\Bigr) \ \land \ \bigl( \forall \beta \quad \beta\in b \Rightarrow \Phi(a,\ldots,\beta) \bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,\beta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ y\bigl(m(x,\beta)\bigr) = m\Bigl( m\bigl( y(x),z(\beta) \bigr),\alpha(\beta) \Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall \gamma \quad \Bigl(\, \gamma\in \mathrm{Operator}(q) \ \land \ \bigl( \forall \delta \quad \delta\in b \Rightarrow \Chi(a,\ldots,\delta) \bigr) \,\Bigr) \Rightarrow \lim\limits_{\epsilon\to \vec{0}_t} \gamma(\epsilon) = \vec{0}_t \Bigr)\\ \Chi(a,\ldots,\delta) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists \varepsilon \ \exists \zeta \quad \Bigl(\, \varepsilon\in \mathrm{Neutral}(k_d) \ \land \ \zeta\in\mathrm{Inversion}_{k_d}^\varepsilon\bigl( r(\delta) \bigr) \,\Bigr) \ \land \ \gamma(\delta) = n\bigl( \zeta,\alpha(\delta) \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) для произвольной точки метрического нормированного векторного пространства $$t$$ значение оператора $$y$$ от суммы векторов $$x,\beta$$ равно сумме {суммы значения оператора $$y$$ в точке $$x$$ и значения оператора $$z$$ в точке $$\beta$$} и значения оператора $$\alpha$$ в точке $$\beta$$;
 * 2) предел произвольного оператора такого, что для любой точки метрического нормированного векторного пространства $$t$$ значение оператора $$\gamma$$ в точке $$\delta$$ равно {произведению {значения оператора $$\alpha$$ в точке $$\delta$$} на инверсию {нормы вектора $$\delta$$} относительно интерпретации символа бинарной операции $$k$$ на множестве $$d$$ и некоторого её нейтрального элемента}, в нулевом векторе метрического нормированного векторного пространства $$t$$ равен нулевому вектору метрического нормированного векторного пространства $$t$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DifferentiableOperator}_x(t)$$.

Дифференцируемый в точке оператор метрического нормированного векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$w = \mathrm{Operator}(q)$$ - совокупность операторов,
 * $$x\subseteq w$$ - подмножество совокупности операторов,
 * $$y\in b$$ - точка метрического нормированного векторного пространства,
 * $$x = \mathrm{DifferentiableOperator}_y(t)$$ - совокупность дифференцируемых в точке операторов,
 * $$a\in x$$ - элемент совокупности дифференцируемых в точке операторов.

Множество $$a$$ — дифференцируемый в точке $$y$$ оператор (англ. differentiable at point $$y$$ operator, нем. differenzierbar im Punkt $$y$$ Operator) метрического нормированного векторного пространства $$t$$ или кратко дифференцируемый в точке $$y$$ оператор.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,y) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DifferentiableOperator}_y(t)$$.

Совокупность дифференцируемых операторов метрического нормированного векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$w = \mathrm{Operator}(q)$$ - совокупность операторов,
 * $$a\subseteq w$$ - подмножество совокупности операторов.

Множество $$a$$ — совокупность дифференцируемых операторов (англ. set of differentiable operators, нем. Menge von differenzierbar Operatoren) метрического нормированного векторного пространства $$t$$ или кратко совокупность дифференцируемых операторов, если для любого элемента множества $$a$$ и для каждой точки метрического нормированного векторного пространства $$t$$ оператор $$x$$ является дифференцируемым в точке $y$ оператором: $$ \Upsilon(a,\ldots,w) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall x \quad x\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall y \quad y\in b \Rightarrow x\in \mathrm{DifferentiableOperator}_y(t) \bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,w) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{DifferentiableOperator}(t)$$.

Дифференцируемый оператор метрического нормированного векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$r\in \mathrm{Functional}(q)$$ - функционал,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала,
 * $$p = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,d)$$ - функция,
 * $$t = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара нормированного векторного пространства и функции,
 * $$t = \mathrm{MetricNormedVectorSpace}(b,c;m,n,r,u)$$ - метрическое нормированное векторное пространство,
 * $$w = \mathrm{Operator}(q)$$ - совокупность операторов,
 * $$x\subseteq w$$ - подмножество совокупности операторов,
 * $$x = \mathrm{DifferentiableOperator}(t)$$ - совокупность дифференцируемых операторов,
 * $$a\in x$$ - элемент совокупности дифференцируемых операторов.

Множество $$a$$ — дифференцируемый оператор (англ. differentiable operator, нем. differenzierbar Operator) метрического нормированного векторного пространства $$t$$ или кратко дифференцируемый оператор.

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{DifferentiableOperator}(t)$$.