Нормированное векторное пространство со скалярным умножением векторов

Нормированное векторное пространство со скалярным умножением векторов над линейно упорядоченным полем
Из теоремы о нормировании векторного пространства со скалярным умножением векторов следует справедливость следующего определения:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$q = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b\rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$q = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$q = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$s = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$r\in \mathrm{Function}(s,d)$$ - функция,
 * $$p = \langle q,r \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функции,
 * $$p = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,r)$$ - векторное пространство со скалярным умножением векторов,
 * $$t = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля.
 * $$u\in \mathrm{Functional}(p)$$ - функционал,
 * $$a = \langle p,u \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства со скалярным умножением и функционала.

Упорядоченная пара $$a$$ векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ и функционала $$u$$ — нормированное векторное пространство со скалярным умножением векторов (англ. normed vector space with scalar muliplication, нем. normierter Vektorraum mit der Skalarmultiplikation von Vektoren) над линейно упорядоченным полем $$c$$ или кратко нормированное векторное пространство со скалярным умножением векторов, если для любого вектора векторного пространства со скалярным умножением векторов $$p$$ значение функционала $$u$$ от вектора $$v$$ равно скалярному произведению векторов $$v,v$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \quad v\in b \Rightarrow u(v) = r(v,v) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,r,u)$$.