Теорема о существовании и единственности прямого произведения двух множеств

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома множества-степени,
 * аксиома объединения,
 * аксиома объёмности,
 * аксиома пары,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любых двух множеств существует единственное прямое произведение множеств $$a,b$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \quad \Bigl( \ \exists c \quad \Upsilon(a,b,c) \ \land \ \bigl(\, \forall d \quad \Upsilon(a,b,d) \Rightarrow d = c \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl(\, \exists \mathrm{e} \ \exists \mathrm{f} \quad (\mathrm{e}\in \mathrm{a} \ \land \ \mathrm{f}\in \mathrm{b}) \ \land \ \mathrm{d} = \langle \mathrm{e},\mathrm{f} \rangle \,\bigr)\\ \end{cases} $$

Существование
Из теоремы о существовании и единственности объединения двух множеств следует существование объединения множеств $$a,b$$ : $$ \exists d \quad d = (a\cup b) $$ Из аксиомы множества-степени следует существование множества-степени множества $$d$$ : $$ \exists e \quad e = \mathrm{PowerSet}(d) $$ Из аксиомы множества-степени следует существование множества-степени множества $$e$$ : $$ \exists f \quad f = \mathrm{PowerSet}(e) $$ Из аксиомы схемы выделения следует существование совокупности элементов множества $$f$$, которые являются упорядоченными парами некоторого элемента множества $$a$$ и некоторого элемента множества $$b$$ : $$ \exists c \quad \Bigl( \ \forall g \quad g\in c \Leftrightarrow \Bigl( \ g\in f \ \land \ \bigl(\, \exists h \ \exists i \quad (h\in a \ \land \ i\in b) \ \land \ g = \langle h,i \rangle \,\bigr) \ \Bigr) \ \Bigr) $$ Построенное множество $$c$$ есть искомое прямое произведение множеств $$a,b$$. Таким образом, ввиду произвольности множеств $$a,b$$ доказано существование прямого произведения любых двух множеств.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.

$$ \begin{cases} \exists a \ \exists b \quad \Bigl( \ \forall c \quad \Upsilon(a,b,c) \Rightarrow \bigl(\, \exists d \quad \Upsilon(a,b,d) \ \land \ {}^\neg(d = c) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl(\, \exists \mathrm{e} \ \exists \mathrm{f} \quad (\mathrm{e}\in \mathrm{a} \ \land \ \mathrm{f}\in \mathrm{b}) \ \land \ \mathrm{d} = \langle \mathrm{e},\mathrm{f} \rangle \,\bigr)\\ \end{cases} $$