Теорема о метризации нормированного векторного пространства

Пусть


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$q = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}$$ - операция взятия модуля,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b\rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r\in \mathrm{Functional}(p)$$ - функционал векторного пространства,
 * $$a = \langle p,r \rangle$$ - упорядоченна пара множеств,
 * $$a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)$$ - нормированное векторное пространство,

тогда упорядоченная тройка множества $$b$$, линейно упорядоченной группы $$c$$ и функции, действующей из декартова квадрата множества $$b$$ в носитель $$d$$ линейно-упорядоченного поля $$c$$, такой, что для любых двух векторов нормированного векторного пространства $$a$$ значение функции $$t$$ от векторов $$u,v$$ равно значению нормы $$r$$ от {значения операции $$m$$ от вектора $$u$$ и некоторой инверсии вектора $$v$$ относительно операции $$m$$ и нулевого вектора векторного пространства $$p$$ над линейно упорядоченным полем $$c$$}, является метрическим пространством над линейно упорядоченной группой $$c$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \ldots \ \forall r \qquad \begin{cases} f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)\\ \left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}\\ j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}\\ l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}\\ c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)\\ c\in \mathrm{Field}(d;j,k)\\ c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)\\ q = \left|\circ\right|_{j_c}^{l_c}\\ m\in \mathrm{Op}^2(b)\\ o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b\rangle)\\ n\in \mathrm{Function}(o,b)\\ p = \langle b,c,m,n \rangle\\ p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)\\ r\in \mathrm{Function}(b,d) \\ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;m,n,r)\\ \end{cases} \Rightarrow \Upsilon(a,\ldots,r)\\ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \ \forall t \quad \begin{cases} s = \mathrm{CartPower}^2(b)\\ t\in \mathrm{Function}(s,d)\\ \end{cases} \Rightarrow \Bigl( \ \Phi(a,\ldots,t) \Rightarrow \bigl(\, \forall u \quad u = \langle b,c,t \rangle \Rightarrow u = \mathrm{MetricSpace}(b,c;t) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \ \forall v \quad (u\in b \ \land \ v\in b) \Rightarrow \Bigl(\, \exists w \quad w\in \mathrm{Inrersion}_m^{\vec{0}_p}(v) \ \land \ t(u,v) = r\bigl( m(u,w) \bigr) \,\Bigr)\end{cases} $$

Связанные статьи
Метрическое нормированное векторное пространство.