Теорема о существовании и единственности разности двух множеств

Пусть выполнены следующие аксиомы:
 * аксиома объёмности,
 * аксиома схемы выделения.

Тогда для любых двух множеств существует единственная разность множеств $$a,b$$: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \quad \Bigl( \ \exists c \quad \Upsilon(a,b,c) \ \land \ \bigl(\, \forall d \quad \Upsilon(a,b,d) \Rightarrow d = c \,\bigr) \ \Bigr)\\ \Upsilon(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \mathrm{d} \quad \mathrm{d}\in \mathrm{c} \Leftrightarrow \bigl(\, \mathrm{d}\in \mathrm{a} \ \land \ {}^\neg(\mathrm{d}\in \mathrm{b}) \,\bigr)\\ \end{cases} $$

Существование
Из аксиомы схемы выделения следует существование совокупности элементов множества $$a$$, которые не принадлежат множеству $$b$$ : $$ \exists c \quad \forall d \quad d\in c \Leftrightarrow \bigl(\, d\in a \ \land \ {}^\neg(d\in b) \,\bigr) $$ Построенное множество $$c$$ есть искомая разность множеств $$a,b$$. Таким образом, ввиду произвольности множеств $$a,b$$ доказано существование разности любых двух множеств.

Единственность
Докажем единственность методом от противного.