Множество рациональных чисел

Из теоремы о свойствах отношения структуры рациональных чисел и теоремы о разбиении множества на классы эквивалентности следует:


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$f = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений сигнатуры,
 * $$g = \varnothing$$ - пустой алфавит операций сигнатуры,
 * $$h = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle\,\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}(m,n,o)$$ - сигнатура,
 * $$m = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений сигнатуры,
 * $$n = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$o = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$q = \mathrm{CartPower}^2(j)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$p = \mathrm{AlgStruct}(q,r,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$p\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$q = \mathbb{Z}$$ - множество целых чисел,
 * $$s = j\setminus\{\, \mathfrak{o}_i \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$c = \mathrm{CartProd}(\langle q,s \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathfrak{Q}$$ - структура рациональных чисел.

Множество $$a$$ — множество рациональных чисел (англ. set of rational numbers, нем. Menge der rationalen Zahlen), если множество $$a$$ является фактор-множеством множества $$c$$ по интерпретации символа отношения $$\sim$$ на множестве $$c$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{QuotientSet}_{\sim_b}(c) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathbb{Q}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathbb{Q}$$.

Замечание
Так как сужение линейно упорядоченной арифметики рациональных чисел до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +,\ \cdot\, \,\}, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot\,, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является арифметикой рациональных чисел и сужение арифметики рациональных чисел до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой рациональных чисел, фактор-множество носителя линейно упорядоченной арифметики рациональных чисел по интерпретации символа отношения $$\sim$$ на данном носителе и фактор-множество носителя арифметики рациональных чисел по интерпретации символа отношения $$\sim$$ на данном носителе будем также называть множеством рациональных чисел.