Гомоморфизм

Гомоморфизм алгебраической структуры в алгебраическую структуру

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$e = \langle i,j,k \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(i,j,k)$$ - сигнатура,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle \ \land \ f = \langle g,h,e \rangle$$ - упорядоченные тройки множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e) \ \land \ f = \mathrm{AlgStruct}(g,h,e)$$ - алгебраические структуры,
 * $$a\in \mathrm{Function}(c,g)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из носителя $$c$$ алгебраической структуры $$b$$ в носитель $$g$$ алгебраической структуры $$f$$ — гомоморфизм (англ. homomorphism, нем. Homomorphismus) алгебраической структуры $$b$$ в алгебраическую структуру $$f$$ или кратко гомоморфизм, если функция $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall l \ \quad l\in i \Rightarrow \Bigl( \ \forall m \quad m\in \mathrm{Function}(k(l),c) \Rightarrow \bigl(\, m\in l_c \Rightarrow \Phi(a,\ldots,m) \,\bigr) \ \Bigr)\\ \forall l \ \quad l\in j \Rightarrow \Bigl( \ \forall m \quad m\in \mathrm{Function}(k(l),c) \Rightarrow \Bigl(\, \forall n \quad n\in c \Rightarrow \bigl( n = l_c(m) \Rightarrow \Chi(a,\ldots,n) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \quad \Bigl( \ n\in \mathrm{Function}(k(l),g) \ \land \ \Bigl(\, \forall o \quad \bigl( o\in \mathrm{N} \ \land \ o\in k(l) \bigr) \Rightarrow n(o) = a\bigl( m(o) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) \Rightarrow n\in l_g \\ \Chi(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall o \quad \Bigl( \ o\in \mathrm{Function}(k(l),g) \ \land \ \Bigl(\, \forall p \quad \bigl( p\in \mathrm{N} \ \land \ p\in k(l) \bigr) \Rightarrow o(p) = a\bigl( m(p) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) \Rightarrow a(n) = l_g(o)\\ \end{cases} $$
 * 1) для любого символа отношения сигнатуры $$e$$, для любого кортежа элементов множества $$c$$ длины, равной значению функции местности $$k$$ от символа $$l$$ , если кортеж $$m$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$l$$ на множестве $$c$$, то для любого кортежа элементов множества $$g$$ длины, равной значению функции местности $$k$$ от символа отношения $$l$$ , такого, что для любого элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$, который является элементом значения функции местности $$k$$ от символа отношения $$l$$ , значение кортежа $$n$$ от множества $$o$$ равно значению функции $$a$$ от {значения кортежа $$m$$ от множества $$o$$}, кортеж $$o$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$l$$ на множестве $$g$$
 * 2) для любого символа операции сигнатуры $$e$$, для любого кортежа элементов множества $$c$$ длины, равной значению функции местности $$k$$ от символа операции $$l$$ , и для произвольного элемента множества $$c$$ если множество $$n$$ является значением интерпретации символа операции $$l$$ на множестве $$c$$ от кортежа $$m$$, то для любого кортежа элементов множества $$g$$ длины, равной значению функции местности $$k$$ от символа $$l$$ , такого, что для любого элемента множества-бесконечности $$\mathrm{N}$$, который является элементом значения функции местности $$k$$ от символа $$l$$ , значение кортежа $$o$$ от множества $$p$$ равно значению функции $$a$$ от {значения кортежа $$m$$ от множества $$p$$}, значение функции $$a$$ от множества $$n$$ равно значению интерпретации символа операции $$l$$ на множестве $$g$$ от кортежа $$o$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Homomorphism}(b,f)$$.

Связанные определения
Изоморфизм.