Аффинное пространство

Аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$p = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат,
 * $$q\in \mathrm{Function}(r,c)$$ - функция,
 * $$a = \langle b,p,q \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств.

Упорядоченная тройка $$a$$ множества $$b$$, векторного пространства $$p$$ и функции $$q$$ — аффинное пространство (англ. affine space, нем. affine Raum), ассоциированное с векторным пространством $$p$$ или кратко аффинное пространство, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall s \ \forall t \quad (s\in b \ \land \ t\in c) \Rightarrow \Bigl( \ \exists u \quad u\in b \ \land \ q(s,u) = t \ \land \ \Bigl(\, \forall v \quad v\in b \Rightarrow \bigl(\, q(s,v) = t \Rightarrow v = u \,\bigr) \,\Bigr) \ \Bigr)\\ \forall s \ \forall t \ \forall u \quad (s\in b \ \land \ t\in b \ \land \ u\in b) \Rightarrow m\bigl( q(s,t),q(t,u) \bigr) = q(s,u)\\ \end{cases} $$
 * 1) для любого элемента множества $$b$$ и для любого элемента $$c$$ существует единственный элемент множества $$b$$ такой, что значение функции $$q$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$ равно данному элементу множества $$c$$;
 * 2) для любых трёх элементов множества $$b$$ значение бинарной операции $$m$$ от {значения функции $$q$$ от первого элемента множества $$b$$ и второго элемента множества $$b$$} и {значения функции $$q$$ от второго элемента множества $$b$$ и третьего элемента множества $$b$$} равно значению функции $$q$$ от первого элемента множества $$b$$ и третьего элемента множества $$b$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AffineSpace}(b,p;q)$$.

Связанные статьи
Точка.