Периодическая функция

Периодическая функция над аддитивной коммутативной группой, действующая в множество

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$+\in f \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - бинарная операция,
 * $$b\in \mathrm{CommGroup}(c;+)$$ - аддитивная коммутативная группа,
 * $$a\in \mathrm{Function}(c,i)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из носителя $$c$$ аддитивной коомутативной группы $$b$$ в множество $$i$$ — периодическая функция (англ. periodic function, нем. periodische Funktion) над аддитивной коммутативной группой $$b$$, если существует элемент носителя $$c$$ аддитивной коммутативной группы $$b$$ такой, что множество $$j$$ не является нолём аддитивной коммутативной группы $$b$$ и для любого элемента носителя $$c$$ аддитивной коммутативной группы $$b$$ значение функции $$a$$ от суммы множеств $$k,j$$ равно значению функции от множества $$k$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists j \quad j\in c \ \land \ \Bigl( \forall k \quad k\in c \Rightarrow a\bigl( +(k,j) \bigr) = a(k) \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{PeriodicFunction}_b(c,i)$$.