Степенная функция

Функция возведения в натуральную степень элементов носителя мультипликативного моноида

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,o,p$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \mathrm{\Sigma}(f,g,h)$$ - сигнатура
 * $$\cdot\,\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Monoid}(c;\ \cdot \ )$$ - мультипликативный моноид,
 * $$l = \langle m,n,o \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}(m,n,o)$$ - сигнатура,
 * $$m = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$n = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$o = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p = \mathrm{CartProd}(\langle c,j \rangle)$$ - прямое произведение носителя мультипликативного моноида и множества натуральных чисел,
 * $$a\in \mathrm{Function}(r,c)$$ - функция, действующая из прямого произведения носителя мультипликативного моноида и множества натуральных чисел в носитель мультипликативного моноида.

Функция $$a$$, действующая из прямого произведения $$r$$ носителя $$c$$ мультипликативного моноида $$b$$ и множества натуральных чисел $$l$$ в носитель $$c$$ мультипликативного моноида $$b$$ — функция возведения в натуральную степень (англ. function of raising to a natural power, нем. Funktion der natürliche Potenzierung) элементов носителя $$c$$  мультипликативного моноида $$b$$ или кратко функция возведения в натуральную степень, если функция $$a$$ удовлетворяет следующему условию

для произвольного элемента носителя $$c$$ мультипликативного моноида $$b$$ и для любого натурального числа значение функции $$a$$ от натурального числа $$t$$ и множества $$s$$ определено индукцией по второму аргументу: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \ \forall t \quad (s\in c \ \land \ t\in j) \Rightarrow \begin{cases} t = \mathfrak{o}_i \Rightarrow a(s,t)\in \mathrm{Neutral}(\, \cdot_{\ b})\\ \exists u \quad \bigl( u\in j \ \land \ t = \mathfrak{s}_i(u) \bigr) \ \land \ a(s,t) = \, \cdot_{\ b}\bigl( a(s,u),s \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) если натуральное число $$t$$ является нулём на множестве натуральных чисел $$l$$, то значение функции $$a$$ от множества $$s$$ и натурального числа $$t$$ является нейтральным элементом умножения;
 * 2) натуральное число $$t$$ является последователем некоторого натурального числа, и значение функции $$a$$ от множества $$s$$ и натурального числа $$t$$ равно произведению {значения функции $$a$$ от множества $$s$$ и натурального числа $$u$$} и множества $$s$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NaturalPower}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NaturalPower}$$.