Предел

Предел последовательности точек топологического пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$i = \Sigma(j,k,l)$$ - сигнатура,
 * $$j = \{\, \leq \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$k = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$l = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$f = \mathrm{AlgStruct}(g,h,i)$$ - алгебраическая структура,
 * $$f\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$g = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$m\in \mathrm{Sequence}_g(c)$$ - последовательность точек,
 * $$a\in c$$ - точка.

Точка $$a$$ — предел (англ. limit, нем. Grenzwert oder Limes) последовательности $$n$$ точек топологического пространства $$b$$, если для любой окрестности точки $$a$$ существует натуральное число такое, что для произвольного натурального числа, если упорядоченная пара первого натурального числа и второго натурального числа принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве натуральных чисел $$g$$, то член последовательности, соответствующий второму натуральному числу, принадлежит данной окрестности точки $$a$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,m) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall n \quad n\in \mathrm{O}_b(a) \Rightarrow \Bigl( \ \exists o \quad o\in g \ \land \ \bigl(\, \forall p \quad p\in g \Rightarrow (\langle o,p \rangle \in \,\leqslant_f\, \Rightarrow m(p)\in n) \,\bigr) \ \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a \in \mathrm{Limit}_b(n)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,n) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a \in \mathrm{Limit}(n)$$.

Сумма ряда из членов последовательности элементов носителя аддитивной полугруппы, ассоциированной с топологическим пространством

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semigroup}(c;+)$$ - аддитивная полугруппа,
 * $$k = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень носителя аддитивной полугруппы,
 * $$j\subseteq k$$ - подмножество множества-степени носителя аддитивной полугруппы,
 * $$j\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на носителе аддитивной полугруппы,
 * $$i = \mathrm{TopSpace}(c,j)$$ - топологическое пространство,
 * $$o = \langle p,q,r \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$o = \Sigma(p,q,r)$$ - сигнатура,
 * $$p = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$q = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$r = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$l = \langle m,n,o \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$l = \mathrm{AlgStruct}(m,n,o)$$ - алгебраическая структура,
 * $$l\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$m = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$s\in \mathrm{Sequence}_m(c) \ \land \ t\in \mathrm{Sequence}_m(c)$$ - последовательности элементов носителя аддитивной полугруппы,
 * $$t = \mathrm{Series}_b(s)$$ - ряд из членов последовательности,
 * $$a\in c$$ - точка.

Точка $$a$$ топологического пространства $$i$$ — сумма (англ. sum, нем. Summe) ряда $$t$$ из членов последовательности $$s$$ элементов носителя $$c$$ аддитивной полугруппы $$b$$, ассоциированной с топологическим пространством $$i$$, или кратко сумма ряда $$t$$, если точка $$a$$ является пределом ряда $$t$$ из членов последовательности $$s$$ элементов носителя $$c$$ аддитивной полугруппы $$b$$, ассоциированной с топологическим пространством $$i$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Limit}_i(t) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Sum}_b(t)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Sum}(t)$$.

Предел функции в точке метрического пространства
для любой окрестности предела существует выколотая окрестность данной точки такая, что образ данной выколотой окрестности является подмножеством окрестности предела $$\begin{cases} f\colon A\to B \ \land \ x\in A \ \land \ y\in B\\ \forall C \quad C\in \mathrm{O}(y) \Rightarrow \bigl(\, \exists D \quad D\in \dot\mathrm{O}(x) \ \land \ f(D) \subseteq C \,\bigr)\\ \end{cases}$$