Замыкание

Замыкание множества в топологическом пространстве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$f\subseteq c$$ - подмножество.

Множество $$a$$ — замыкание (англ. closure, нем. abgeschlossene Hülle oder Abschluss, Abschließung) множества $$f$$ в топологическом пространстве $$b$$ или кратко замыкание множества $$f$$, если множество $$a$$ является пересечением элементов множества всех замкнутых множеств топологического пространства $$b$$, которые являются надмножествами множества $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad \bigl( \ \forall h \quad h\in g \Leftrightarrow (\, h\in \mathrm{ClosedSet}(b) \ \land \ h\supseteq f \,) \ \bigr) \Rightarrow a = \bigcap g $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Closure}_b(f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Closure}(f)$$.

Замыкание множества в метрическом пространстве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат,
 * $$n = \mathrm{Function}(m,e,o)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$o\subseteq c$$ - подмножество.

Множество $$a$$ — замыкание (англ. closure, нем. abgeschlossene Hülle oder Abschluss, Abschließung) множества $$o$$ в метрическом пространстве $$b$$ или кратко замыкание множества $$o$$, если множество $$a$$ является пересечением элементов множества всех замкнутых множеств метрического пространства $$b$$, которые являются надмножествами множества $$o$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad \bigl( \ \forall q \quad q\in p \Leftrightarrow (\, q\in \mathrm{ClosedSet}(b) \ \land \ q\supseteq o \,) \ \bigr) \Rightarrow a = \bigcap p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Closure}_b(o)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Closure}(o)$$.