Функционал

Совокупность функционалов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность функционалов (англ. set of functionals, нем. Menge von Funktionalen) векторного пространства $$b$$ или кратко совокупность функционалов, если множество $$a$$ является совокупностью функций, действующих из носителя $$c$$ векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ в носитель $$e$$ поля $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Function}(c,e) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Functional}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность операторов векторного пространства.

Функционал векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — функционал (англ. functional, нем. Funktional) векторного пространства $$b$$ или кратко функционал, если множество $$a$$ является элементом совокупности функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{Functional}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Functional}(b)$$.

Связанные определения
Оператор векторного пространства.

Совокупность однородных функционалов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность однородных функционалов (англ. set of homogeneous functionals, нем. Menge von homogen Funktionalen) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ состоит из функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что для любого скаляра векторного пространства $$b$$ и для любого вектора векторного пространства $$b$$ значение данного функционала от {произведения вектора $$r$$ на скаляр $$q$$} равно значению операции $$g$$ от скаляра $$q$$ и {значения данного функционала от вектора $$r$$}: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in \mathrm{Functional}(b) \ \land \ \Bigl(\, \forall q \ \forall r \quad (q\in e \ \land \ r\in c) \Rightarrow p\bigl( n(q,r) \bigr) = g\bigl( q,p(r) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{HomFunctional}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность однородных операторов векторного пространства.

Однородный функционал векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — однородный функционал (англ. homogeneous functional, нем. homogene Funktional) векторного пространства $$b$$ или кратко однородный функционал, если множество $$a$$ является элементом совокупности однородных функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{HomFunctional}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{HomFunctional}(b)$$.

Связанные определения
Однородный оператор векторного пространства.

Совокупность аддитивных функционалов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность аддитивных функционалов (англ. set of additive operators, нем. Menge von additiv Operatoren) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ состоит из функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что для любых двух векторов векторного пространства $$b$$ значение данного функционала от суммы векторов $$q,r$$ равно значению операции $$f$$ от {значения данного функционала от вектора $$q$$} и {значения данного функционала от вектора $$r$$}: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in \mathrm{Functional}(b) \ \land \ \Bigl(\, \forall q \ \forall r \quad (q\in c \ \land \ r\in c) \Rightarrow p\bigl( m(q,r) \bigr) = f\bigl( p(q),p(r) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{AddFunctional}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность аддитивных операторов векторного пространства.

Аддитивный функционал векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — аддитивный функционал (англ. additive operator, нем. additive Operator) векторного пространства $$b$$ или кратко аддитивный функционал, если множество $$a$$ является элементом совокупности аддитивных функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{AddFunctional}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{AddFunctional}(b)$$.

Связанные определения
Аддитивный оператор векторного пространства.

Совокупность линейных функционалов векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — совокупность линейных функционалов (англ. set of linear operators, нем. Menge von lineare Operatoren) векторного пространства $$b$$, если множество $$a$$ состоит из функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ таких, что данные функционалы являются однородными функционалами векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$ и аддитивными функционалами векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ p\in \mathrm{Functional}(b) \ \land \ \bigl(\, p\in \mathrm{HomFunctional}(b) \ \land \ p\in \mathrm{AddFunctional}(b) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinFunctional}(b)$$.

Связанные определения
Совокупность линейных операторов векторного пространства.

Линейный функционал векторного пространства

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство.

Множество $$a$$ — линейный функционал (англ. linear operator, нем. linearer Operator) векторного пространства $$b$$ или кратко линейный функционал, если множество $$a$$ является элементом совокупности линейных функционалов векторного пространства $$b$$ над полем $$d$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p = \mathrm{LinFunctional}(b) \Rightarrow a\in p $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinFunctional}(b)$$.

Связанные определения
Линейный оператор векторного пространства.