Полугруппа

Полугруппа по операции

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h$$ - множества,
 * $$d = \langle e,f,g \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h\in f \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \langle b,c,d \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — полугруппа (англ. semigroup, нем. Halbgruppe) по операции $$h$$ или кратко полугруппа, если интерпретация символа операции $$h$$ на множестве $$b$$ является ассоциативной операцией на множестве $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_a\in \mathrm{AssocOp}(b) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{Semigroup}(b;h)$$.

Замечание
Полугруппу по операции $$+$$ будем называть аддитивной полугруппой (англ. additive semigroup, нем. additiv Halbgruppe).

Полугруппу по операции $$\cdot$$ будем называть мультипликативной полугруппой (англ. multiplicative semigroup, нем. multiplikativ Halbgruppe).

Связанные статьи
Моноид.