Полином

Совокупность упорядоченных пар натуральных чисел и кортежей элементов множества длины последующих натуральных чисел

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$g = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$h = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$i = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$d = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел.

Множество $$a$$ — совокупность (англ. set, нем. Menge) упорядоченных пар натуральных чисел и кортежей элементов множества $$b$$ длины последующих натуральных чисел, если множество $$a$$ состоит из упорядоченных пар некоторого натурального числа и некоторого кортежа элементов множества $$b$$ длины равной последователю натурального числа $$k$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall j \quad j\in a \Leftrightarrow \Bigl( \exists k \ \exists l \quad \Bigl( \ k\in d \ \land \ \Bigl( \forall m \quad m = \mathfrak{s}_c(k) \Rightarrow l\in \mathrm{Function}(m,b) \Bigr) \ \Bigr) \ \land \ j = \langle k,l \rangle \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g,h,i) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{SetOfOrdPairs}(\epsilon\in \mathbb{N},\vartheta\in b^{\mathfrak{s}_c(\epsilon)})$$.

Производящая функция полиномов над стандартным полукольцом от одной переменной

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,i,j,k,l,m,n,o,p,q$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N} \ \land \ \,\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semiring}(c;+,\, \cdot \, )$$ - стандартное полукольцо,
 * $$l = \langle m,n,o \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}(m,n,o)$$ - сигнатура,
 * $$m = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$n = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$o = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p = \mathrm{SetOfOrdPairs}(\epsilon\in \mathbb{N},\vartheta\in b^{\mathfrak{s}_c(\epsilon)})$$ - совокупность упорядоченных пар натуральных чисел и кортежей элементов множества длины последующих натуральных чисел,
 * $$q = \mathrm{Op}^1(c)$$ - совокупность унарных операций,
 * $$a\in \mathrm{Function}(p,q)$$ - функция.

Функция $$a$$, действующая из совокупности $$p$$ упорядоченных пар натуральных чисел и кортежей элементов множества длины последующих натуральных чисел в совокупность унарных операций на носителе $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ — производящая функция полиномов (англ. generating function of polynomials, нем. erzeugenden Funktion der Polynomen) над стандартным полукольцом $$b$$ от одной переменной или кратко производящая функция полиномов, если для произвольного натурального числа и для любого кортежа элементов носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ длины равной последователю натурального числа $$r$$ значение функции $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$r,s$$ определяется индукцией по натуральному числу $$r$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall r \ \forall s \quad (r\in j \ \land \ s\in c) \Rightarrow \begin{cases} \forall t \quad t = a(r,s) \Rightarrow \Bigl( r = \mathfrak{0}_i \Rightarrow \bigl( \forall u \quad u\in c\Rightarrow t(u) = s(\mathfrak{0}_i) \bigr) \Bigr)\\ \forall t \quad t = a(r,s) \Rightarrow \Bigl( \exists u \quad \bigl( u\in j \ \land \ u = \mathfrak{s}_i(r) \bigr) \ \land \ \bigl( \forall v \quad v\in c \Rightarrow \Phi(a,\ldots,v) \bigr) \Bigr)\\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall w \quad w = s\bigr|_r \Rightarrow \Bigl( \forall x \ \forall y \quad (\, x = a(u,w) \ \land \ y = \mathrm{Monomial}(r,s(r)) \,) \Rightarrow t(v) = +_b\bigl( x(v),y(v) \bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) если натуральное число $$r$$ является нолём на множестве натуральных чисел $$j$$, то для любого элемента носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ значение унарной операции от множества $$u$$ равно $r$-й координате кортежа $$s$$;
 * 2) если существует натуральное число такое, что натуральное число $$r$$ является последователем натурального числа $$u$$, то для любого элемента носителя $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ значение унарной операции $$t$$ от множества $$v$$ равно сумме {значения {значения функции $$a$$ от упорядоченной пары натурального числа $$u$$ и сужения кортежа на натуральное число $$r$$} от множества $$v$$} и {значения монома степени $$r$$ с коэффициентом равным $$r$$-й координате кортежа $$s$$ от множества $$v$$}:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{GenFunctionOfPolynomials}(b)$$.

Полином натуральной степени над стандартным полукольцом с кортежем коэффициентов от одной переменной

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$e = \langle f,g,h \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$e = \Sigma(f,g,h)$$ - сигнатура,
 * $$+\in g \ \land \ h(+) = 2_\mathrm{N} \ \land \ \,\cdot\in g \ \land \ h(\cdot) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$b = \langle c,d,e \rangle$$ - упорядоченная тройка,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(c,d,e)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathrm{Semiring}(c;+,\, \cdot \, )$$ - стандартное полукольцо,
 * $$l = \langle m,n,o \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$l = \mathrm{\Sigma}(m,n,o)$$ - сигнатура,
 * $$m = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$n = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$o = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \mathrm{AlgStruct}(j,k,l)$$ - алгебраическая структура,
 * $$i\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел,
 * $$j = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p\in \mathbb{N}$$ - натуральное число,
 * $$r = \mathfrak{s}_i(p)$$ - последователь натурального числа,
 * $$q\in \mathrm{Function}(r,c)$$ - кортеж элементов носителя стандартного полукольца,
 * $$a\in \mathrm{Op}^1(c)$$ - унарная операция.

Унарная операция $$a$$ на носителе $$c$$ стандартного полукольца $$b$$ — полином (или многочлен) (англ. polynomial, нем. Polynom) степени $$p$$ над мультипликативной полугруппой $$b$$ с кортежем коэффициентов $$q$$ от одной переменной или кратко полином степени $$p$$ с кортежем коэффициентов $$q$$, если унарная операция $$a$$ является значением производящей функции полиномов от упорядоченной пары множеств $$p,q$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall s \quad s = \mathrm{GenFunctionOfPolynomials}(b) \Rightarrow a = s(p,q) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Polynomial}(p,q)$$.