Точка прикосновения

Точка прикосновения множества в топологическом пространстве

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень множества,
 * $$e\subseteq d$$ - подмножество множества-степени множества,
 * $$e\in \mathrm{Top}(c)$$ - топология на множестве,
 * $$b = \mathrm{TopSpace}(c,e)$$ - топологическое пространство,
 * $$f\subseteq c$$ - подмножество топологического пространства,
 * $$a\in c$$ - точка.

Точка $$a$$ — точка прикосновения (англ. point of closure, нем. Berührpunkt oder Adhärenzpunkt) множества $$f$$ в топологическом пространстве $$b$$ или кратко точка прикосновения множества $$f$$, если любая окрестность точки $$a$$ содержит некоторую точку множества $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \quad g\in \mathrm{O}_b(a) \Rightarrow (\, \exists h \quad h\in g \ \land \ h\in f \,) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{PointOfClosure}_b(f)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{PointOfClosure}(f)$$.

Точка прикосновения множества в метрическом пространстве

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k \in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$l \in i \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d \in \mathrm{LinOrdStruct}(e;k)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$d \in \mathrm{Group}(e;l)$$ - группа,
 * $$m = \mathrm{CartPower}^2(c)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$n\in \mathrm{Function}(m,e)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,n \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$b = \mathrm{MetricSpace}(c,d;n)$$ - метрическое пространство,
 * $$a\in c$$ - точка,
 * $$o\subseteq c$$ - подмножество метрического пространства.

Точка $$a$$ — точка прикосновения (англ. point of closure, нем. Berührpunkt oder Adhärenzpunkt) подмножества $$o$$ метрического пространства $$b$$ или кратко точка прикосновения множества $$o$$, если любая окрестность точки $$a$$ содержит некоторую точку множества $$o$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall p \quad p\in \mathrm{O}_b(a) \Rightarrow (\, \exists q \quad q\in p \ \land \ q\in o \,) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{PointOfClosure}_b(o)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{PointOfClosure}(o)$$.