Линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел

Из теоремы о линейном упорядочении арифметики рациональных чисел следует:
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}\Bigl(\, \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \,\Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$h = \mathrm{\Sigma}\Bigl(\, \{\, \leq \,\}, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \,\Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$e = \mathrm{AlgStruct}(f,g,h)$$ - алгебраическая структура,
 * $$e\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$f = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$i = \mathrm{CartPower}^2(f)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$j = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$k = f\setminus\{\, \mathfrak{o}_e \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$b = \mathrm{CartProd}(\langle i,k \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел (англ. linearly ordered arithmetic of rational numbers, нем. linear geordnete Arithmetik der rationalen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующим условиям: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall l \quad l = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr) \Rightarrow a\bigr|_l\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{Q})\\ \forall l \ \forall m \ \forall n \ \forall o \ \forall p \ \forall q \ \forall r \ \forall s \quad \Bigl( \ (l\in b \ \land \ m\in b) \ \land \ \bigl(\, l = \bigl\langle \langle n,o \rangle, p \bigr\rangle \ \land \ m = \bigl\langle \langle q,r \rangle, s \bigr\rangle \,\bigr) \ \Bigr) \Rightarrow \Phi(a,\ldots,s) \\ \end{cases}\\ \Phi(a,\ldots,s) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \langle l,m \rangle \in \ \leq_a\, \Leftrightarrow \Bigl\langle\, +_e\bigl( \cdot_{\, e}(n,s), \cdot_{\, e}(r,p) \bigr), +_e\bigl( \cdot_{\, e}(q,p), \cdot_{\, e}(o,s) \bigr) \,\Bigr\rangle \in \ \leq_e\\ \end{cases} $$
 * 1) сужение алгебраической структуры $$a$$ до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ является арифметикой рациональных чисел,
 * 2) для любых двух элементов множества $$b$$ упорядоченная пара множеств $$l,m$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве $$b$$ тогда и только тогда, когда упорядоченная пара {суммы {произведения первой координаты первого элемента множества $$j$$ и второго элемента множества $$m$$} и {произведения второй координаты второго элемента множества $$j$$ и первого элемента множества $$m$$}} и {суммы {произведения первой координаты второго элемента множества $$j$$ и первого элемента множества $$m$$} и {произведения второй координаты первого элемента множества $$j$$ и второго элемента множества $$m$$}} принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве натуральных чисел $$f$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q}_b)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,k) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$.