Множество натуральных чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g$$ - множества,
 * $$d = \Sigma(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений сигнатуры,
 * $$f = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$g = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$b = \mathrm{AlgStruct}(a,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$b\in \mathfrak{N}$$ - структура натуральных чисел.

Множество $$a$$ — множество натуральных чисел (англ. set of natural numbers, нем. Menge der natürlichen Zahlen).

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathbb{N}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f,g) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathbb{N}$$.

Замечание
Так как сужение арифметики натуральных чисел до сигнатуры $$\mathrm{\Sigma} \Bigl( \varnothing, \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s} \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ является структурой натуральных чисел, носитель арифметики натуральных чисел будем также называть множеством натуральных чисел.