Покрытие

Совокупность покрытий подмножества множества системой подмножеств множества

 * $$a,b,c,d,e$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень множества,
 * $$d\subseteq c$$ - система множеств,
 * $$e\subseteq b$$ - подмножество множества.

Множество $$a$$ — совокупность покрытий (англ. set of covers, нем. Menge von Überdeckungen) подмножества $$e$$ множества $$b$$ системой подмножеств $$d$$ множества $$b$$ или кратко совокупность покрытий множества $$e$$, если множество $$a$$ состоит из функций, действующих из некоторого множества в систему множеств $$d$$, таких, что множество $$e$$ является подмножеством объединения элементов системы множеств $$b$$ по множеству $$g$$ функцией $$f$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall f \quad f\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists g \quad f\in \mathrm{Function}(g,d) \ \land \ \Bigl( \forall h \quad h = \bigcup\limits_f d \Rightarrow e\subseteq h \Bigr) \ \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Coverage}_d(e)$$ или кратко $$\Upsilon(a,b,c,d,e) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Coverage}(e)$$.

Совокупность конечных покрытий подмножества множества системой подмножеств множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень множества,
 * $$d\subseteq c$$ - система множеств,
 * $$e\subseteq b$$ - подмножество множества,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \Sigma(j,k,l)$$ - сигнатура,
 * $$j = \{\, \leq \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$k = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$l = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{AlgStruct}(g,h,i)$$ - алгебраическая структура,
 * $$f\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$g = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,

Множество $$a$$ — совокупность конечных покрытий (англ. set of finite covers, нем. Menge von endliche Überdeckungen) подмножества $$e$$ множества $$b$$ системой подмножеств $$d$$ множества $$b$$ или кратко совокупность конечных покрытий множества $$e$$, если множество $$a$$ состоит функций, действующих из отрезка линейно упорядоченной арифметики натуральных чисел $$f$$ некоторой длины в систему множеств $$d$$, таких, что множество $$e$$ является подмножеством объединения элементов системы множеств $$b$$ по отрезку $$o$$ длины $$n$$ функцией $$m$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \exists n \quad n\in g \ \land \ \Bigl( \forall o \quad \bigl( o = \mathrm{LineSegment}_f(n) \Rightarrow m\in \mathrm{Function}(o,d) \bigr) \Rightarrow \bigl( \forall p \quad p = \bigcup\limits_m d \Rightarrow e\subseteq p \bigr) \Bigr) \ \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{FiniteCoverage}_d(e)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{FiniteCoverage}(e)$$.

Совокупность счётных покрытий подмножества множества системой подмножеств множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень множества,
 * $$d\subseteq c$$ - система множеств,
 * $$e\subseteq b$$ - подмножество множества,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \Sigma(j,k,l)$$ - сигнатура,
 * $$j = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$k = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$l = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{AlgStruct}(g,h,i)$$ - алгебраическая структура,
 * $$f\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$g = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел.

Множество $$a$$ — совокупность счётных покрытий (англ. set of countable covers, нем. Menge von abzählbare Überdeckungen) подмножества $$e$$ множества $$b$$ системой подмножеств $$d$$ множества $$b$$ или кратко совокупность счётных покрытий множества $$e$$, если множество $$a$$ состоит последовательностей элементов системы множеств $$d$$ таких, что множество $$e$$ является подмножеством объединения элементов системы множеств $$b$$ по множеству натуральных чисел $$g$$ последовательностью $$m$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m\in \mathrm{Sequence}_g(d) \Rightarrow \Bigl( m\in a \Leftrightarrow \bigl( \forall n \quad n = \bigcup\limits_m b \Rightarrow e\subseteq n \bigr) \Bigr) $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CountableCoverage}_d(e)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CountableCoverage}(e)$$.

Счётное покрытие подмножества множества системой подмножеств множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{PowerSet}(b)$$ - множество-степень множества,
 * $$d\subseteq c$$ - система множеств,
 * $$e\subseteq b$$ - подмножество множества,
 * $$i = \langle j,k,l \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$i = \Sigma(j,k,l)$$ - сигнатура,
 * $$j = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений,
 * $$k = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$l = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{AlgStruct}(g,h,i)$$ - алгебраическая структура,
 * $$f\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$g = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел.

Множество $$a$$ — счётное покрытие (англ. countable cover, нем. abzählbare Überdeckunge) подмножества $$e$$ множества $$b$$ системой подмножеств $$d$$ множества $$b$$ или кратко счётное покрытие множества $$e$$, если множество $$a$$ является элементом совокупности счётных покрытий подмножества $$e$$ множества $$b$$ системой подмножеств $$d$$ множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \quad m = \mathrm{CountableCoverage}_d(e) \Rightarrow a\in m $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CountableCoverage}_d(e)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CountableCoverage}(e)$$.