Векторное пространство со скалярным умножением векторов

Векторное пространство со скалярным умножением векторов над линейно упорядоченным полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$j\in h \ \land \ i(j) = 2_\mathrm{N} \ \land \ k\in h \ \land \ i(k) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$l\in g \ \land \ i(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{Field}(d;j,k)$$ - поле,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdStruct}(d;l)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,b)$$ - функция,
 * $$p = \langle b,c,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(b,c;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{CartPower}^2(b)$$ - декартов квадрат носителя векторного пространства,
 * $$q\in \mathrm{Function}(r,d)$$ - функция,
 * $$a = \langle p,q \rangle$$ - упорядоченная пара множеств.

Упорядоченная пара $$a$$ векторного пространства $$p$$ и функции $$q$$ — векторное пространство со скалярным умножением векторов (англ. vector space with scalar multiplication of vectors, нем. Vektorraum mit der Skalarmultiplikation von Vektoren) над линейно упорядоченным полем $$c$$ или кратко векторное пространство со скалярным умножением векторов, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall s \ \forall t \ \forall u \quad \bigl( (s\in b \ \land \ t\in b) \ \land \ u\in b \bigr) \Rightarrow q\bigl( s,m(t,u) \bigr) = j_d\bigl( q(s,t), q(s,u) \bigr)\\ \forall s \ \forall t \ \forall u \quad \bigl( (s\in b \ \land \ t\in b) \ \land \ u\in d \bigr) \Rightarrow q\bigl( s,n(u,t) \bigr) = k_d\bigl( u,q(s,t) \bigr)\\ \forall s \ \forall t \quad (s\in b \ \land \ t\in b) \Rightarrow q(s,t) = q(t,s)\\ \forall s \quad s\in b \Rightarrow \Bigl(\, \exists t \quad t\in \mathrm{Neutral}(j_d) \ \land \ \bigl\langle t,q(s,s) \bigr\rangle\in l_d \,\Bigr)\\ \forall s \quad s\in b \Rightarrow \Bigl(\, \bigl( \exists t \quad t\in \mathrm{Neutral}(j_d) \ \land \ q(s,s) = t \bigr) \Leftrightarrow s = \vec{0}_p \,\Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) для любых трёх векторов векторного пространства $$p$$ значение функции $$q$$ от вектора $$s$$ и {суммы векторов $$t,u$$} равно значению интерпретации символа бинарной операции $$j$$ на множестве $$d$$ от {значения функции $$q$$ от векторов $$s,t$$} и {значения функции $$q$$ от векторов $$s,u$$};
 * 2) для любых двух векторов векторного пространства $$p$$ и для произвольного скаляра векторного пространства $$p$$ значение функции $$q$$ от вектора $$s$$ и {произведения вектора $$t$$ на скаляр $$u$$} равно значению интерпретации символа бинарной операции $$k$$ на множестве $$d$$ от скаляра $$u$$ и {значения функции $$q$$ от векторов $$s,t$$};
 * 3) для любых двух векторов векторного пространства $$p$$ значение функции $$q$$ от векторов $$s,t$$ равно значению функции $$q$$ от векторов $$t,s$$;
 * 4) для каждого вектора векторного пространства $$p$$ упорядоченная пара {некоторого нейтрального элемента интерпретации символа бинарной операции $$j$$ на множестве $$d$$} и {значения функции $$q$$ от векторов $$s,s$$} принадлежит интерпретации символа отношения $$l$$ на множестве $$d$$;
 * 5) для произвольного вектора векторного пространства $$p$$ значение функции $$q$$ от векторов $$s,s$$ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $$j$$ на множестве $$d$$ тогда и только тогда, когда вектор $$s$$ является нулевым вектором векторного пространства $$p$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{VectorSpaceWithSMoV}(b,c;m,n,q)$$.

Связанные статьи
Скалярное умножение векторов векторного пространства со скалярным умножением векторов;

Теорема о нормировании векторного пространства со скалярным умножением векторов.