Прямая

Прямая в векторном пространстве, порождённая вектором

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p\in c$$ - вектор векторного пространства.

Множество $$a$$ — прямая (англ. line or straight line, нем. gerade Linie oder Gerade) в векторном пространстве $$b$$, порождённая вектором $$p$$, или кратко прямая, порождённая вектором $$p$$, если множество $$a$$ является классом эквивалентности вектора $$p$$ по отношению коллинеарности векторов: $$ \Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{EquivClass}_{\,\parallel}(p) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Line}_b(p)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,p) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Line}(p)$$.

Прямая в аффинном пространстве, порождённая вектором и проходящая через точку

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$p = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$p = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$r = \mathrm{CartPower}^2(b) $$ - декартов квадрат множества,
 * $$q\in \mathrm{Function}(r,c)$$ - функция,
 * $$s = \langle b,p,q \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$s = \mathrm{AffineSpace}(b,p;q)$$ - аффинное пространство,
 * $$t\in c$$ - вектор,
 * $$u\in b$$ - точка.

Множество $$a$$ — прямая (англ. line or straight line, нем. gerade Linie oder Gerade) в аффинном пространстве $$s$$, порождённая вектором $$t$$ и проходящая через точку $$u$$, или кратко прямая, порождённая вектором $$t$$ и проходящая через точку $$u$$, если множество $$a$$ состоит из точек аффинного пространства $$s$$ таких, что значение функции $$q$$ от точки $$u$$ и данной точки принадлежит прямой в векторном пространстве $$p$$, порождённой вектором $$t$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall v \quad v\in b \Rightarrow \Bigl( \ v\in a \Leftrightarrow \bigl(\, \forall w \quad w = q(u,v) \Rightarrow w\in \mathrm{Line}_p(t) \,\bigr) \ \Bigr) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Line}_s(t,u)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,u) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Line}(t,u)$$.