Структура рациональных чисел


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$e = \{\, \sim \,\}$$ - алфавит отношений сигнатуры,
 * $$f = \varnothing$$ - пустой алфавит операций сигнатуры,
 * $$g = \bigl\{\,\langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle\,\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$k = \mathrm{\Sigma}(l,m,n)$$ - сигнатура,
 * $$l = \varnothing$$ - пустой алфавит отношений сигнатуры,
 * $$m = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций сигнатуры,
 * $$n = \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности сигнатуры,
 * $$h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,k)$$ - алгебраическая структура,
 * $$h\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$i = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$p = \mathrm{CartPower}^2(i)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$o = \mathrm{AlgStruct}(p,q,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$o\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$r = i\setminus\{\, \mathfrak{o}_h \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$b = \mathrm{CartProd}(\langle p,r \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура.

Алгебраическая структура $$a$$ — структура рациональных чисел (англ. structure of rational numbers, нем. Struktur der rationalen Zahlen), если алгебраическая структура $$a$$ удовлетворяет следующему условию:

для любых двух элементов множества $$p$$ и для любых двух элементов множества $$r$$ упорядоченная пара {упорядоченной пары первого элемента множества $$p$$ и первого элемента множества $$r$$} и {упорядоченной пары второго элемента множества $$p$$ и второго элемента множества $$r$$} принадлежит интерпретации символа отношения $$\sim$$ на множестве $$b$$ тогда и только тогда, когда упорядоченная пара {упорядоченной пары {произведения первой координаты первого элемента множества $$p$$ и второго элемента множества $$r$$} и {произведения второй координаты первого элемента множества $$p$$ и второго элемента множества $$r$$}} и {упорядоченной пары {произведения первой координаты второго элемента множества $$p$$ и первого элемента множества $$r$$} и {произведения второй координаты второго элемента множества $$p$$ и первого элемента множества $$r$$}} принадлежит интерпретации символа отношения $$\sim$$ на множестве $$p$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall s \ \forall t \ \forall u \ \forall v \ \forall w \ \forall x \ \forall y \ \forall z \quad \begin{cases} y = \bigl\langle \langle s,t \rangle, u \bigr\rangle\\ z = \bigl\langle \langle v,w \rangle, x \bigr\rangle\\ y\in b\\ z\in b\\ \end{cases} \Rightarrow \Bigl( \, \langle y,z \rangle \in \ \sim_a \ \Leftrightarrow \Bigl\langle \bigl\langle \cdot_{\, h}(s,x), \, \cdot_{\, h}(t,x) \bigr\rangle, \bigl\langle \cdot_{\, h}(v,u), \, \cdot_{\, h}(w,u) \bigr\rangle \Bigr\rangle \in \ \sim_o \, \Bigr)\\ \end{cases} $$ Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{Q}_b$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathfrak{Q}$$.