Теорема о замкнутости совокупности фундаментальных последовательностей рациональных чисел относительно арифметических операций

Пусть


 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N})$$ - арифметика натуральных чисел,
 * $$e = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$i = \mathrm{CartPower}^2(e)$$ - декартов квадрат множества натуральных чисел,
 * $$h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,c)$$ - алгебраическая структура,
 * $$h\in \mathfrak{Z}$$ - структура целых чисел,
 * $$o = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\}$$ - сигнатура,
 * $$k = e\setminus\{\, \mathfrak{0}_d \,\}$$ - разность множества натуральных чисел и единичного множества нуля,
 * $$m = \mathrm{CartProd}(\langle i,k \rangle)$$ - прямое произведение декартова квадрата множества натуральных чисел и {разности множества натуральных чисел и единичного множества нуля},
 * $$l = \mathrm{AlgStruct}(m,n,o)$$ - алгебраическая структура,
 * $$q = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr)$$ - сигнатура,
 * $$p = l\bigr|_q$$ - сужение алгебраической структуры,
 * $$p\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q})$$ - линейно упорядоченная арифметика рациональных чисел,
 * $$l\in \mathrm{LinOrdStruct}(m;\leq)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$l\in \mathrm{Group}(m;+)$$ - группа,
 * $$s = \left|\circ\right|_{+_l}^{\leq_l}$$ - операция взятия модуля,
 * $$t = \mathrm{DistanceOp}_s^l(m)$$ - операция расстояния,
 * $$r = \langle m,l,t \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$r = \mathrm{MetricSpace}(m,l;t)$$ - метрическое пространство,
 * $$a = \mathrm{CauchySequence}_e^r(m)$$ - совокупность фундаментальных последовательностей,

тогда $$ \begin{cases} \forall a \ \ldots \ \forall t \qquad \begin{cases} c = \mathrm{\Sigma} \Bigl( \{\, \sim \,\}, \varnothing, \bigl\{\, \langle \sim, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr) \\ g = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \varnothing,\{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\} \Bigr)\\ d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g) \\ d\in \mathrm{Arithmetic}(\mathfrak{N}) \\ e = \mathbb{N} \\ i = \mathrm{CartPower}^2(e)\\ h = \mathrm{AlgStruct}(i,j,c) \\ h\in \mathfrak{Z} \\ o = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \, \left|\circ\right| \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \left|\circ\right|,1_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \\ k = e\setminus\{\, \mathfrak{0}_d \,\} \\ m = \mathrm{CartProd}(\langle i,k \rangle)\\ l = \mathrm{AlgStruct}(m,n,o) \\ q = \mathrm{\Sigma}\Bigl( \{\, \sim, \leq \,\}, \{\, +, \ \cdot \ \,\}, \bigl\{\, \langle \sim,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \leq,2_\mathrm{N} \rangle, \langle +,2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \ ,2_\mathrm{N} \rangle \,\} \Bigr) \\ p = l\bigr|_q \\ p\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{Q}) \\ l\in \mathrm{LinOrdStruct}(m;\leq) \\ l\in \mathrm{Group}(m;+) \\ s = \left|\circ\right|_{+_l}^{\leq_l} \\ t = \mathrm{DistanceOp}_s^l(m) \\ r = \mathrm{MetricSpace}(m,l;t) \\ a = \mathrm{CauchySequence}_e^r(m)\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,t)\\ \Phi(a,\ldots,t)\\ \end{cases}\\ \\ \Upsilon(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \ \forall v \quad (\, u\in a \ \land v\in a \,) \Rightarrow \Bigl( \ \forall w \quad \Bigl( \ w\in \mathrm{Sequence}_e(m) \ \land \ \bigl(\, \forall x \quad x\in e \Rightarrow w(x) = +_l\bigl(u(x),v(x)\bigr) \,\bigr) \ \Bigr) \Rightarrow w\in a \ \Bigr)\\ \\ \Phi(a,\ldots,t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall u \ \forall v \quad (\, u\in a \ \land v\in a \,) \Rightarrow \Bigl( \ \forall w \quad \Bigl( \ w\in \mathrm{Sequence}_e(m) \ \land \ \bigl(\, \forall x \quad x\in e \Rightarrow w(x) = \, \cdot_{\ l}\bigl(u(x),v(x)\bigr) \,\bigr) \ \Bigr) \Rightarrow w\in a \ \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) для любых двух элементов множества $$a$$ любая последовательность элементов множества $$m$$ такая, что для любого натурального числа член данной последовательности, соответствующий данному натуральному числу, равен сумме члена первого элемента множества $$a$$, соответствующего данному натуральному числу, и члена второго элемента множества $$a$$, соответствующего данному натуральному числу, является элементом множества $$a$$,
 * 2) для любых двух элементов множества $$a$$ любая последовательность элементов множества $$m$$ такая, что для любого натурального числа член данной последовательности, соответствующий данному натуральному числу, равен произведению члена первого элемента множества $$a$$, соответствующего данному натуральному числу, и члена второго элемента множества $$a$$, соответствующего данному натуральному числу, является элементом множества $$a$$: