Теорема о метризации линейно упорядоченной группы

Пусть тогда упорядоченная тройка множества $$b$$, линейно упорядоченной группы $$a$$ и бинарной операции на множестве $$b$$ такой, что значение данной бинарной операции от двух любых элементов множества $$b$$ равно значению операции взятия модуля в линейно упорядоченной группе $$a$$ от {значения интерпретации символа операции $$i$$ от первого элемента множества $$b$$ и некоторой инверсии второго элемента множества $$b$$ относительно интерпретации символа операции $$i$$ и некоторого её нейтрального элемента}, является метрическим пространством: $$ \begin{cases} \forall a \ \forall b \ \forall c \ \forall d \ \forall e \ \forall f \ \forall g \ \forall h \ \forall i \ \forall j \qquad \begin{cases} d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)\\ h \in e \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}\\ \left|\circ\right| \in f \ \land \ g(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}\\ i \in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}\\ a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)\\ a \in \mathrm{LinOrdStruct}(b;h)\\ a \in \mathrm{Group}(b;i)\\ j = \left|\circ\right|_{i_a}^{h_a}\\ \end{cases} \Rightarrow \Upsilon(a,\ldots,j)\\ \\ \Upsilon(a,\ldots,j) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall k \ \forall l \quad \begin{cases} k = \langle b,a,l \rangle\\ l\in \mathrm{Op}^2(b)\\ \Phi(a,\ldots,l)\\ \end{cases} \Rightarrow k = \mathrm{MetricSpace}(b,a;l)\\ \\ \Phi(a,\ldots,l) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall m \ \forall n \quad (\, m\in b \ \land \ n\in b \,) \Rightarrow \Bigl(\, \exists o \ \exists p \quad \bigl(\, o\in \mathrm{Neutral}(i_a) \ \land \ p\in \mathrm{Inversion}_{i_a}^o(n) \,\bigr) \ \land \ l(m,n) = j\bigl(i_a(m,p)\bigr) \,\Bigr) \end{cases} $$
 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$$ - множества,
 * $$d = \mathrm{\Sigma}(e,f,g)$$ - сигнатура,
 * $$h \in e \ \land \ g(h) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$\left|\circ\right| \in f \ \land \ g(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$i \in f \ \land \ g(i) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$a = \mathrm{AlgStruct}(b,c,d)$$ - алгебраическая структура,
 * $$a \in \mathrm{LinOrdStruct}(b;h)$$ - линейно упорядоченная структура,
 * $$b \in \mathrm{Group}(b;i)$$ - группа,
 * $$j = \left|\circ\right|_{i_a}^{h_a}$$ - операция взятия модуля,