Нормированное векторное пространство

Нормированное векторное пространство над стандартным линейно упорядоченным полем

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченна тройка множеств,
 * $$f = \mathrm{\Sigma}(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$\left|\circ\right| \in h \ \land \ i(\left|\circ\right|) = 1_\mathrm{N}$$ - символ унарной операции,
 * $$(+\in h \ \land \ i(+) = 2_\mathrm{N}) \ \land \ (\cdot\in h \ \land \ i(\cdot) = 2_\mathrm{N})$$ - символы бинарных операций,
 * $$\leqslant\in g \ \land \ i(\leqslant) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченна тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdField}(d;\leqslant,+\cdot)$$ - стандартное линейно упорядоченное поле,
 * $$o = \left|\circ\right|_{+_c}^{\leqslant_c}$$ - операция взятия модуля,
 * $$j\in \mathrm{Op}^2(b)$$ - бинарная операция,
 * $$l = \mathrm{CartProd}(\langle d,b \rangle)$$ - прямое произведение носителя стандартного линейно упорядоченного поля и множества,
 * $$k\in \mathrm{Function}(l,b)$$ - функция,
 * $$m = \langle b,c,j,k \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множества, стандартного линейно упорядоченного поля, бинарной операции и функции,
 * $$m = \mathrm{VectorSpace}(b,c;j,k)$$ - векторное пространство,
 * $$n\in \mathrm{Functional}(m)$$ - функционал,
 * $$a = \langle m,n \rangle$$ - упорядоченная пара векторного пространства и функционала векторного пространства.

Упорядоченная пара $$a$$ векторного пространства $$m$$ и функционала $$n$$ векторного пространства $$m$$ — нормированное векторное пространство (англ. normed vector space, нем. normierter Vektorraum) над стандартным линейно упорядоченным полем $$c$$ или кратко нормированное векторное пространство, если выполняются следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall p \quad p\in b \Rightarrow \bigl(\, (\exists q \quad q\in \mathrm{Neutral}(+_c) \ \land \ q = n(p)) \Leftrightarrow p\in \mathrm{Neutral}(j) \,\bigr)\\ \forall p \ \forall q \quad (p\in b \ \land \ q\in d) \Rightarrow n(k(q,p)) = \cdot_{\, c}(o(q),n(p))\\ n\in \mathrm{SubadditiveFunctional}(m)\\ \end{cases} $$
 * 1) для любого вектора векторного пространства $$m$$ значение функционала $$n$$ от вектора $$p$$ равно некоторому нейтральному элементу интерпретации символа бинарной операции $$j$$ тогда и только тогда, когда вектор $$p$$ является нулевым вектором векторного пространства $$m$$;
 * 2) для любого вектора векторного пространства $$m$$ и для произвольного скаляра векторного пространства $$m$$ значение функционала $$n$$ от {произведения вектора $$p$$ на скаляр $$q$$} равно значению интерпретации символа операции $$k$$ от модуля скаляра $$q$$ и значения функционала $$n$$ от вектора $$p$$;
 * 3) функционал $$n$$ является субаддитивным функционалом векторного пространства $$m$$ над стандартным линейно упорядоченным полем $$c$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,o) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{NormedVectorSpace}(b,c;j,k,n)$$.

Связанные статьи
Норма;

Теорема о метризации нормированного векторного пространства.