Транспонирование

Транспонированная матрица элементов множества относительно матрицы элементов множества

 * $$a,b,c,d,e,f$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d\in c \ \land \ e\in c$$ - элементы множества-бесконечности,
 * $$f\in \mathrm{Matrix}_{\langle d,e \rangle}(b)$$ - матрица элементов множества,
 * $$a\in \mathrm{Matrix}_{\langle e,d \rangle}(b)$$ - матрица элементов множества.

Матрица $$a$$ размера $$e$$ на $$d$$ — транспонированная матрица (англ. transposed matrix, нем. transponierte Matrix) элементов множества $$b$$ относительно матрицы $$f$$ элементов множества $$b$$, если для произвольного элемента {элемента $$d$$ множества-бесконечности $$c$$} и для произвольного элемента {элемента $$e$$ множества-бесконечности $$c$$} значение матрицы $$a$$ от упорядоченной пары множеств $$h,g$$ равно значению матрицы $$f$$ от упорядоченной пары множеств $$g,h$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall g \ \forall h \quad (g\in d \ \land \ h\in e) \Rightarrow a(h,g) = f(g,h) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d,e,f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Transpose}(f)$$.

Операция транспонирования квадратных матриц элементов множества

 * $$a,b,c,d$$ - множества,
 * $$c = \mathrm{N}$$ - множество-бесконечность,
 * $$d = \mathrm{SquareMatrix}(b)$$ - совокупность всех квадратных матриц элементов множества,
 * $$a\in \mathrm{Op}^1(d)$$ - унарная операция.

Унарная операция $$a$$ на совокупности всех квадратных матриц $$d$$ — операция транспонирования матриц (англ. operation of transposition of matrices, нем. Operation der Transposition der Matrizen) элементов множества $$b$$, если для произвольного элемента совокупности всех квадратных матриц $$d$$ элементов множества $$b$$ значение унарной операции $$a$$ от матрицы $$e$$ является транспонированной матрицей элементов множества $$b$$ относительно матрицы $$e$$ элементов множества $$b$$: $$ \Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall e \quad e\in d \Rightarrow a(e) = \mathrm{Transpose}(e) $$

Обозначим $$\Upsilon(a,b,c,d) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{Transposition}_b$$.