Линейная оболочка

Совокупность носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p\subseteq c$$ - подмножество носителя векторного пространства,
 * $$q = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень носителя векторного пространства,
 * $$a\subseteq q$$ - подмножество множества-степени носителя векторного пространства.

Множество $$a$$ — совокупность носителей подпространств (англ. set of basic sets of subspaces, нем. Menge von Basis-Sets von Unterräume) векторного пространства $$b$$, содержащих множество $$p$$, если выполняются следующие условия: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall r \quad r\in a \Leftrightarrow \bigl( r\supseteq p \ \land \ \Phi(a,\ldots,r) \bigr)\\ \Phi(a,\ldots,r) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \exists s \ \exists t \quad \Bigl(\, s\in \mathrm{Op}^2(r) \ \land \ \bigl( \forall u \quad u = \mathrm{CartProd}(\langle e,r \rangle) \Rightarrow t\in \mathrm{Function}(u,r) \bigr) \,\Bigr) \ \land \ \Bigl( \forall v \quad v = \langle r,d,s,t \rangle \Rightarrow v = \mathrm{Subspace}_b(r,d;s,t) \Bigr)\\ \end{cases} $$
 * 1) каждый элемент множества $$a$$ является надмножеством множества $$p$$;
 * 2) для произвольного элемента множества $$a$$ существует бинарная операция на множестве $$r$$ и функция, действующая из {прямого произведения носителя $$e$$ поля $$d$$ и множества $$r$$} в множество $$r$$, такие, что упорядоченная четвёрка множеств $$r,d,s,t$$ является подпространством, порождённым множеством $$r$$:

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,q) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{SetOfBasicSetsOfSubspaces}_b(p)$$.

Линейная оболочка множества

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s$$ - множества,
 * $$g = \mathrm{\Sigma}(h,i,j)$$ - сигнатура,
 * $$k\in i \ \land \ j(k) = 2_\mathrm{N} \ \land \ l\in i \ \land \ j(l) = 2_\mathrm{N}$$ - символы бинарных операций,
 * $$d = \mathrm{AlgStruct}(e,f,g)$$ - алгебраическая структура,
 * $$d\in \mathrm{Field}(e;k,l)$$ - поле,
 * $$m\in \mathrm{Op}^2(c)$$ - бинарная операция,
 * $$o = \mathrm{CartProd}(\langle e,c \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$n\in \mathrm{Function}(o,c)$$ - функция,
 * $$b = \langle c,d,m,n \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств,
 * $$b = \mathrm{VectorSpace}(c,d;m,n)$$ - векторное пространство,
 * $$p\subseteq c$$ - подмножество носителя векторного пространства,
 * $$q = \mathrm{PowerSet}(c)$$ - множество-степень носителя векторного пространства,
 * $$r\subseteq q$$ - подмножество множества-степени носителя векторного пространства,
 * $$r = \mathrm{SetOfBasicSetsOfSubspaces}_b(p)$$ - совокупность носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество,
 * $$s = \bigcap r$$ - пересечение элементов совокупности носителей подпространств векторного пространства, содержащих множество,
 * $$t\in \mathrm{Op}^2(s)$$ - бинарная операция,
 * $$v = \mathrm{CartProd}(\langle e,s \rangle)$$ - прямое произведение двух множеств,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,s)$$ - функция,
 * $$a = \langle s,d,t,u \rangle$$ - упорядоченная четвёрка множеств.

Упорядоченная четвёрка $$a$$ множеств — линейная оболочка (англ. linear span or linear hull, нем. lineare Spann oder lineare Hülle) подмножества $$p$$ носителя $$c$$ векторного пространства $$b$$ или кратко линейная оболочка множества $$p$$, если выполнены следующие условия: $$ \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases} \forall w \quad w = \mathrm{CartProd}^2(s) \Rightarrow t = m\bigr|_w\\ u = n\bigr|_v\\ \end{cases} $$
 * 1) операция $$t$$ является сужением операции $$m$$ на декартов квадрат множества $$s$$;
 * 2) функция $$u$$ является сужением функции $$n$$ на множество $$v$$:

Из теоремы о существовании и единственности линейной оболочки множества следует справедливость следующего обозначения для линейной оболочки множества $$p$$ $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{LinearSpan}_b(p)$$.

Связанные статьи
Теорема о свойствах линейной оболочки множества.