Фундаментальная последовательность

Совокупность фундаментальных последовательностей точек метрического пространства над линейно упорядоченной группой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \Sigma(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$g = \{\, \leq \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$h = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$i = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$d = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$o = \mathrm{\Sigma}(p,q,r)$$ - сигнатура,
 * $$s \in p \ \land \ r(s) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$t \in q \ \land \ r(t) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$l = \mathrm{AlgStruct}(m,n,o)$$ - алгебраическая структура,
 * $$l \in \mathrm{LinOrdGroup}(m;s,t)$$ - линейно упорядоченная группа,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(k)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,m)$$ - функция,
 * $$j = \langle k,l,u \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$j = \mathrm{MetricSpace}(k,l;u)$$ - метрическое пространство,
 * $$b = \mathrm{Sequence}_d(k)$$ - совокупность последовательностей точек метрического пространства,
 * $$a\subseteq b$$ - подмножество совокупности последовательностей точек метрического пространства.

Подножество $$a$$ совокупности последовательностей $$b$$ точек метрического пространства $$j$$ — совокупность фундаментальных последовательностей (или совокупность последовательностей Коши ) (англ. set of Cauchy sequence or fundamental sequence, нем. Menge von Cauchy-Folge oder Menge von Fundamentalfolge) точек метрического пространства $$j$$ над линейно упорядоченной группой $$l$$ или кратко совокупность фундаментальных последовательностей, если множество $$a$$ состоит из последовательностей точек метрического пространства $$j$$ над линейно упорядоченной группой $$l$$ таких, что для любого элемента множества $$m$$ если {упорядоченная пара нейтрального элемента интерпретации символа бинарной операции $$t$$ на множестве $$m$$ и множества $$x$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$s$$}, то существует натуральное число такое, что для любых двух натуральных чисел если {упорядоченная пара натуральных чисел $$z,\alpha$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве натуральных чисел $$d$$ и упорядоченная пара натуральных чисел $$z,\beta$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$\leq$$ на множестве натуральных чисел $$d$$}, то упорядоченная пара {расстояния между $$\alpha$$-м членом последовательности $$w$$ и $$\beta$$-м членом последовательности $$w$$} и множества $$x$$ принадлежит интерпретации символа отношения $$s$$: $$ \begin{cases} \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall w \quad w\in a \Leftrightarrow \Bigl( \ \forall x \quad x\in m \Rightarrow \Bigl(\, \forall y \quad \bigl( y\in m \ \land \ (y = \mathrm{Neutral}(t_l) \ \land \ \langle y,x \rangle \in s_l) \bigr) \Rightarrow \bigl( \exists z \quad z\in d \ \land \ \Phi(a,\ldots,z) \bigr) \,\Bigr) \ \Bigr)\\ \Phi(a,\ldots,z) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall \alpha \ \forall \beta \quad (\alpha\in d \ \land \ \beta\in d) \Rightarrow  \Bigl( \bigl( \langle z,\alpha \rangle \in \ \leq_c \ \land \ \langle z,\beta \rangle \in \ \leq_c \bigr) \Rightarrow \bigl\langle u\bigl( w(\alpha),w(\beta) \bigr), x \bigr\rangle \in s_l \Bigr)\\ \end{cases} $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a = \mathrm{CauchySequence}_d^j(k)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CauchySequence}(k)$$.

Фундаментальная последовательность точек метрического пространства над линейно упорядоченной группой

 * $$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v$$ - множества,
 * $$f = \langle g,h,i \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$f = \Sigma(g,h,i)$$ - сигнатура,
 * $$g = \{\, \leq \,\}$$ - алфавит отношений,
 * $$h = \{\, \mathfrak{0}, \mathfrak{s}, +, \ \cdot \ \,\}$$ - алфавит операций,
 * $$i = \bigl\{\, \langle \leq, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{0}, 0_\mathrm{N} \rangle, \langle \mathfrak{s}, 1_\mathrm{N} \rangle, \langle +, 2_\mathrm{N} \rangle, \langle \ \cdot \, 2_\mathrm{N} \rangle \,\bigr\}$$ - функция местности,
 * $$c = \langle d,e,f \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$c = \mathrm{AlgStruct}(d,e,f)$$ - алгебраическая структура,
 * $$c\in \mathrm{LinOrdArithmetic}(\mathfrak{N})$$ - линейно упорядоченная арифметика натуральных чисел,
 * $$d = \mathbb{N}$$ - множество натуральных чисел,
 * $$o = \mathrm{\Sigma}(p,q,r)$$ - сигнатура,
 * $$s \in p \ \land \ r(s) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарного отношения,
 * $$t \in q \ \land \ r(t) = 2_\mathrm{N}$$ - символ бинарной операции,
 * $$l = \mathrm{AlgStruct}(m,n,o)$$ - алгебраическая структура,
 * $$l \in \mathrm{LinOrdGroup}(m;s,t)$$ - линейно упорядоченная группа,
 * $$v = \mathrm{CartPower}^2(k)$$ - декартов квадрат множества,
 * $$u\in \mathrm{Function}(v,m)$$ - функция,
 * $$j = \langle k,l,u \rangle$$ - упорядоченная тройка множеств,
 * $$j = \mathrm{MetricSpace}(k,l;u)$$ - метрическое пространство,
 * $$b = \mathrm{Sequence}_d(k)$$ - совокупность последовательностей точек метрического пространства.

Множество $$a$$ — фундаментальная последовательность (или последовательность Коши ) (англ. Cauchy sequence or fundamental sequence, нем. Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge) точек метрического пространства $$f$$ над линейно упорядоченной группой $$h$$ или кратко фундаментальная последовательность, если множество $$a$$ является элементом совокупности фундаментальных последовательностей точек метрического пространства $$f$$ над линейно упорядоченной группой $$h$$: $$ \Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \forall w \quad \Bigl( w\subseteq b \Rightarrow w = \mathrm{CauchySequence}_d^j(k) \Bigr) \Rightarrow a\in w $$

Обозначим $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CauchySequence}_d^j(k)$$ или кратко $$\Upsilon(a,\ldots,v) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ a\in \mathrm{CauchySequence}(k)$$.